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Kurvendiskussion: Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:07 Mo 12.02.2018
Autor: Mathilda1

Aufgabe
Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion.
f(x) = x - ln(x)

Ich habe bereits herausgefunden, dass diese Funktion keine Nullstellen hat. Meine Frage: wie kann man dies rechnerisch zeigen?

Danke im Vorraus.

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Mo 12.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion.
> f(x) = x - ln(x)
> Ich habe bereits herausgefunden, dass diese Funktion keine
> Nullstellen hat.

Das ist korrekt. [ok]

> Meine Frage: wie kann man dies rechnerisch
> zeigen?

Der gewöhnliche Weg - gerade in der Schule - wäre der, nachzurechnen, dass die Funktion an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] ihr globales Minimum mit f(1)=1>0 annimmt.

Mit der Kenntnis insbesondere der Logarithmusfunktion kann man sich leicht klarmachen, dass der Bereich für mögliche Nullstellen wenn überhaupt dann bei x-Werten mit x>1 beginnt (denn links von x=1 ist die ln-Funktion negativ). Nun besitzt die erste Winkelhalbierende, also die Gerade y=x überall die Steigung 1, die Steigung der Logarithmusfunktion ist jedoch oberhalb von x=1 durchgehend kleiner als 1 und strebt ja für [mm] x->\infty [/mm] gegen Null.

Daraus ergibt sich dann die Tatsache rein argumentativ.

Was natürlich nicht funktioniert, ist der Versuch, die Lösungsmenge für die Gleichung

x-ln(x)=0

durch Auflösen nach x zu bestimmen (aber ich denke, dass war dir klar und deshalb hast du ja erst die Frage gestellt).


Gruß, Diophant

Bezug
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