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Kurvendiskussion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Mi 06.09.2006
Autor: Matrix08

Aufgabe
f(x) = (6x - 2t) : (x²)

Ich habe die Aufgabe eine vollständige Kurvendiskussion für die angegebene Funktionsschar anzufertigen. Die
Definitionslücken,
Nullstellen
und die Asymptotenfunktion
habe ich bereits ermittelt.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Extrempunkte, mögliche Wendepunkte, das Verhalten im Unendlichen sowie die Art der Annäherung an die Definitionslücke bestimmen kann; da es sich um eine Funktionsschar handelt.

Ich freue mich über jeden Tipp!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mi 06.09.2006
Autor: Gonozal_IX

Moin,

dazu kann man dir ohne konkrete Nachfragen nicht viel helfen, ausser dir zu sagen: Es ist nichts anderes :-)

Du machst alles so, wie du es bisher kennst und behandelst dein "t" einfach, wie eine normale Zahl.
Du hast dann zwar keine richtigen Werte, sondern bekommst abhängigkeiten von t.

Mal als Beispiel an der ersten Ableitung:

f(x) = [mm] \bruch{6x-2t}{x^2} [/mm]

f'(x) [mm] =\bruch{6*x^2 - (6x-2t)*2x}{x^4} [/mm]  = [mm] \bruch{-6x^2 + 4tx}{x^4} [/mm]

Nach dem notwendigen Kriterium für Extremstellen muss gelten:

[mm]f'(x) = 0 \gdw \bruch{-6x^2 + 4tx}{x^4} = 0 |*x^4 \gdw -6x^2+4tx = 0 \gdw x^2 - \bruch{2}{3}tx = 0 \gdw x(x - \bruch{2}{3}t) = 0 |:x \gdw x - \bruch{2}{3}t = 0 \gdw x = \bruch{2}{3}t[/mm]

Somit hast du deine kritischen Stellen eben nicht bei einem festen Wert, sondern bei einem von t abhängigen Wert.

Zweites Beispiel:

Verhalten gegen [mm] \infty: [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) = \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{6x-2t}{x^2} = \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{6}{x} - \bruch{2t}{x^2}) = \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{6}{x} - \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2t}{x^2} [/mm]

[mm] \bruch{6}{x} [/mm] geht gegen Null (klar?)

[mm] \bruch{2t}{x^2} [/mm] geht auch gegen Null, da 2t zwar beliebig, aber fest ist, d.h. es ist nicht anderes als ein fester Wert, und wenn als Zähler ein fester Wert ist und der Nenner gegen unendlich strebt, ist der Grenzwert halt Null, somit gilt:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) = 0 + 0 = 0[/mm]


Gruß,
Gono.

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Kurvendiskussion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Sa 09.09.2006
Autor: Matrix08

Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich habe die Aufgabe jetzt größtenteils verstanden, allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wieso (6):(x) und (2t):(x²) gegen Null gehen. Eigentlich habe ich im Allgemeinen nicht verstanden, wie man das Verhalten im Unendlichen bestimmt...
(Ich war in der 11. Klasse im Ausland und bisher konnte mir niemand wirklich erklären wie das funktioniert....).

Wäre super wenn du mir nochmal helfen könntest!;-)

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Kurvendiskussion: Nullfolge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Sa 09.09.2006
Autor: VNV_Tommy

Hallo Matrix08!

> Vielen Dank für deine Hilfe!
>  
> Ich habe die Aufgabe jetzt größtenteils verstanden,
> allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wieso (6):(x) und
> (2t):(x²) gegen Null gehen. Eigentlich habe ich im
> Allgemeinen nicht verstanden, wie man das Verhalten im
> Unendlichen bestimmt...
>  (Ich war in der 11. Klasse im Ausland und bisher konnte
> mir niemand wirklich erklären wie das funktioniert....).
>  
> Wäre super wenn du mir nochmal helfen könntest!;-)

[mm] \bruch{6}{x} [/mm] und [mm] \bruch{2t}{x^2} [/mm] haben den Grenzwert 0 für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] weil sie sogenannte Nullfolgen darstellen, deren Grenzwert nunmal 0 ist.

Das ist damit zu erklären, daß beide Terme Brüche darstellen, bei denen der Zähler stets eine konstante Zahl (z.B. 6) ist und der Nenner eine Variable (z.B. x). Lässt man bei solchen Brüchen nun den Nenner immer größer werden, so wird der Wert des Terms, also der des Bruchs immer kleiner.

Beispiel:
Gegeben sei der Term [mm] \bruch{1}{x} [/mm] . Lässt man nun den Nenner immer größer werden, so wird der Wert des Bruch immer kleiner.
Für x=1 hat der Term den Wert [mm] \bruch{1}{1}=1,0 [/mm] .
Für x=10 hat der Term den Wert [mm] \bruch{1}{10}=0,1 [/mm] .
Für x=100 hat der Term den Wert [mm] \bruch{1}{100}=0,01 [/mm] .
Für x=1000 hat der Term den Wert [mm] \bruch{1}{1000}=0,001 [/mm] .
.
.
.
Für x=10000000000 hat der Term den Wert [mm] \bruch{1}{10000000000}=0,0000000001 [/mm] .

Du siehst also, daß dieser Term für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] gegen den Wert 0 strebt.

Das könnte man reell mit der Teilung einer Torte vergleichen.
Wenn du die Torte auf 1 Person verteilen sollst, dann bekommt diese eine Person die ganze Torte (also [mm] \bruch{1}{1} [/mm] Torte). Sollst du die gleiche Torte aber auf 10 Personen aufteilen, so bekommt jeder nur noch einen kleinen Teil der Torte ab (genau [mm] \bruch{1}{10} [/mm] der Torte). Bei 100 Personen bekommt zwar jeder einen Teil der Torte, allerdings einen sehr kleinen (nämlich [mm] \bruch{1}{100} [/mm] der Torte). Bei 1000000000 Personen erhält jeder dieser Personen zwar noch etwas von der Torte, was allerdings relative wenig sein sollte (nämlich [mm] \bruch{1}{10000000000} [/mm] der Torte, was in etwa einem Körnchen Puderzucker entsprechen würde, also nicht wirklich sehr viel Torte)

Soweit klar warum [mm] \bruch{6}{x} [/mm] für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] gegen den Wert 0 strebt?

Gruß,
Tommy

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:55 Sa 09.09.2006
Autor: Matrix08

DANKE!!!! Ich glaube, ich habs jtzt verstanden!;-)

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Kurvendiskussion: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 09.09.2006
Autor: informix

Hallo und [willkommenmr],
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>  
> Ich habe die Aufgabe jetzt größtenteils verstanden,
> allerdings ist mir noch nicht ganz klar, wieso (6):(x) und
> (2t):(x²) gegen Null gehen. Eigentlich habe ich im
> Allgemeinen nicht verstanden, wie man das Verhalten im
> Unendlichen bestimmt...
>  (Ich war in der 11. Klasse im Ausland und bisher konnte
> mir niemand wirklich erklären wie das funktioniert....).

[guckstduhier] MBFolge und MBKonvergenz in unserer MBMathebank

Und wenn du dann Fragen hast: her damit! ;-)

Gruß informix



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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Sa 09.09.2006
Autor: Matrix08

Ich habe mir die Informationen in der Mathebank durchgelesen.

In den Notizen, die ich mir von Mitschülern ausgeliehen hatte, stand bei Nullfolgen zusätzlich noch "0+" bzw. "0-".

Was hat es damit auf sich?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Sa 09.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Matrix,

> Ich habe mir die Informationen in der Mathebank
> durchgelesen.
>
> In den Notizen, die ich mir von Mitschülern ausgeliehen
> hatte, stand bei Nullfolgen zusätzlich noch "0+" bzw.
> "0-".
>  
> Was hat es damit auf sich?

Da Deine Aufgabe NICHTS mit "Folgen" zu tun hat, vermute ich, Du meinst den Grenzwert 0.

0+ bzw. 0- schreibt man, wenn zusätzlich gefordert ist,  eine Aussage darüber zu treffen, ob sich der Graph von oben (0+) oder von unten (0-) der x-Achse nähert. Wenn nur nach Asymptoten gefragt ist, reicht das Ergebnis 0 als solches.

mfG!
Zwerglein


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 09.09.2006
Autor: Matrix08

Aufgabe
f(x) = (6x - 2t) : (x²)

Sorry, aber je länger ich diese Aufgabe bearbeite umso mehr Fragen stellen sich mir!

Die 1. Ableitung dieser Funktion ist f' (x) = (-6x² + 4tx) : [mm] (x^4) [/mm]

Daraus wollte ich die 2. Ableitung gekommen und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
f''(x) = [mm] (12x^5 -12tx^4) [/mm] : [mm] (x^8) [/mm]

Wie kann ich aus dieser Ableitung nun erkennen, ob der Wert größer, kleiner oder gleich Null ist?

Bezug
                                
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Sa 09.09.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Matrix,

> f(x) = (6x - 2t) : (x²)
>  Sorry, aber je länger ich diese Aufgabe bearbeite umso
> mehr Fragen stellen sich mir!
>  
> Die 1. Ableitung dieser Funktion ist f' (x) = (-6x² + 4tx)
> : [mm](x^4)[/mm]
>  
> Daraus wollte ich die 2. Ableitung gekommen und bin zu
> folgendem Ergebnis gekommen:
> f''(x) = [mm](12x^5 -12tx^4)[/mm] : [mm](x^8)[/mm]

Solche Terme musst Du IMMER KÜRZEN!!!

f'(x) = [mm] \bruch{-6x + 4t}{x^{3}} [/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{12x - 12t}{x^{4}} [/mm]

Deine Frage bezieht sich wohl darauf, ob beim Einsetzen der Lösung x = [mm] \bruch{2}{3}t [/mm] in f''(x) <0 oder > 0 rauskommt.

Nun: Im Nenner wird - wegen der graden Hochzahl - immer etwas Positives rauskommen.
Konzentrieren wir uns daher auf den Zähler von f''(x), also: Z(x) = 12x - 12t

Hier wird nun für x =  eingesetzt:

[mm] Z(\bruch{2}{3}t) [/mm] = [mm] 12*\bruch{2}{3}t [/mm] - 12 t = 8t - 12t = -4t.

Nun musst Du unterscheiden, ob t > 0 ist oder aber < 0.

Für t>0 ist obiges Ergebnis sicher negativ, für t < 0 aber positiv.

Laut Formelsammlung heißt das:
Für t>0 gibt es einen Hochpunkt, für t<0 aber einen Tiefpunkt.

(Den Fall t=0 kann man sicher ausschließen, da hier - wie bereits anfans leicht zu erkennen - gar kein Extrempunkt existiert.)

mfG!
Zwerglein

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