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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Mi 06.09.2006
Autor: mareike-f

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hi,
wir sollen folgende Diskussion diskustieren

[mm]f(x)=\bruch{x^2+x}{e^x}[/mm]
mit der Qutientenregel weiter nach:
[mm]f'(x)= \bruch{((2x+1)*e^x)-((x^2+x)*e^x)}{(e^x)^2}[/mm]
[mm]=\bruch{2xe^x+e^x-x^2e^x+xe^x}{(e^x)^2}[/mm]
[mm]=\bruch{3xe^x+e^x-x^2e^x}{(e^x)^2}[/mm]
und das ganze nochmal:
[mm]f''(x)=\bruch{((3e^x+3xe^x+e^x-2xe^x+x^2e^x)*(e^x)^2)-((3xe^x+e^x-x^2e^x)*2e^x)}{(e^x)^4}[/mm]
[mm]=\bruch{4e^x+xe^x+x^2e^x-(6x(e^x)^2+2(e^x)^2-2x^2(e^x)^2)}{(e^x)^2}[/mm]
[mm]=\bruch{4e^x+xe^x+x^2e^x-6x(e^x)^2-2(e^x)^2+2x^2(e^x)^2}{(e^x)^2}[/mm]
eigentlich müsste ich jetzt noch die dritte Ableitung machen, aber irgendwie kann ich mir das nicht vorstellen das sie so lang ist.

D=R

Symmetrie: keine einfache Symmetrie

keine Asymptoten

Pole:
[mm]\limes_{x\rightarrow\+infty} \bruch{x^2+x}{e^x}=0[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\-infty} \bruch{x^2+x}{e^x}=\infty[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\+0} \bruch{x^2+x}{e^x}=0[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\-0} \bruch{x^2+x}{e^x}=-0[/mm]

NST:
[mm]0=x^2+x[/mm]
keine Nullstellen

Extrema
[mm]0=3xe^x+e^x-x^2e^x[/mm]
[mm]0=e^x (3x+1-x^2)[/mm]
[mm]0=3x+1-x^2[/mm]
[mm]0= -3x-1+x^2[/mm] auflösen mit pq-Formel
[mm]x_1=3,30[/mm]
[mm]y_1=0,52[/mm]
[mm]x_2=-0,3[/mm]
[mm]y_2=-0,28[/mm]

Wendestelle:
[mm]=4e^x+xe^x+x^2e^x-6x(e^x)^2-2(e^x)^2+2x^2(e^x)^2[/mm]
[mm]=e^x (4+x+x^2-6xe^x-2e^x+2x^2e^x)[/mm]
hier komme ich aber irgendwie nicht weiter.

Ich wäre für jegliche Hilfe und Korrektur dankbar.

Grüße,
Mareike

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 06.09.2006
Autor: M.Rex

Hallo Mareike

> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Hi,
>  wir sollen folgende Diskussion diskustieren
>  
> [mm]f(x)=\bruch{x^2+x}{e^x}[/mm]
>  mit der Qutientenregel weiter nach:
>  [mm]f'(x)= \bruch{((2x+1)*e^x)-((x^2+x)*e^x)}{(e^x)^2}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2xe^x+e^x-x^2e^x+xe^x}{(e^x)^2}[/mm]
>  [mm]=\bruch{3xe^x+e^x-x^2e^x}{(e^x)^2}[/mm]

Wenn du hier noch einmal [mm] e^{x} [/mm] ausklammerst und dann kürzt, wirds einfacher.
Also f'(x) = [mm] \bruch{e^{x}(3x-1-x²)}{(e^{x})²} [/mm] = [mm] \bruch{-x²+3x-1}{e^{x}} [/mm]

Dann hast du auch keine Quadrate der e-Funktion mehr in der zweiten Ableitung.

>  und das ganze nochmal:
> [mm]f''(x)=\bruch{((3e^x+3xe^x+e^x-2xe^x+x^2e^x)*(e^x)^2)-((3xe^x+e^x-x^2e^x)*2e^x)}{(e^x)^4}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{4e^x+xe^x+x^2e^x-(6x(e^x)^2+2(e^x)^2-2x^2(e^x)^2)}{(e^x)^2}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{4e^x+xe^x+x^2e^x-6x(e^x)^2-2(e^x)^2+2x^2(e^x)^2}{(e^x)^2}[/mm]
>  eigentlich müsste ich jetzt noch die dritte Ableitung
> machen, aber irgendwie kann ich mir das nicht vorstellen
> das sie so lang ist.

Sie ist auch kützer (s.o.)

>  
> D=R

Korrekt

>  
> Symmetrie: keine einfache Symmetrie

Auch korrekt


>  
> keine Asymptoten
>  
> Pole:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\+infty} \bruch{x^2+x}{e^x}=0[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-infty} \bruch{x^2+x}{e^x}=\infty[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\+0} \bruch{x^2+x}{e^x}=0[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\-0} \bruch{x^2+x}{e^x}=-0[/mm]

Der Graph hat keine Pole, wohl aber eine Asymptote.
[Dateianhang nicht öffentlich]


>  
> NST:
>  [mm]0=x^2+x[/mm]
>  keine Nullstellen

Halt, was ist mit x = 0 und x=-1?

>  
> Extrema
>  [mm]0=3xe^x+e^x-x^2e^x[/mm]
>  [mm]0=e^x (3x+1-x^2)[/mm]
>  [mm]0=3x+1-x^2[/mm]
>  [mm]0= -3x-1+x^2[/mm] auflösen mit pq-Formel
>  [mm]x_1=3,30[/mm]
>  [mm]y_1=0,52[/mm]
>  [mm]x_2=-0,3[/mm]
>  [mm]y_2=-0,28[/mm]
>  

Hier hast du einen Vorzeichenfehler drin.
[mm] 0=3xe^x+e^x-x^2e^x [/mm]
[mm] \gdw0=e^x [/mm] (3x -1 [mm] -x^2) [/mm]

Also per p-q Formel

[mm] x_{e_{1;2}} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} \pm \wurzel{\bruch{9}{4} - 1} [/mm]
[mm] \Rightarrow x_{e_{1}} [/mm] = 0, [mm] x_{e_{2}} [/mm] = -3

> Wendestelle:
>  [mm]=4e^x+xe^x+x^2e^x-6x(e^x)^2-2(e^x)^2+2x^2(e^x)^2[/mm]
>  [mm]=e^x (4+x+x^2-6xe^x-2e^x+2x^2e^x)[/mm]
>  hier komme ich aber
> irgendwie nicht weiter.

Nimm die "Korrigierte" zweite Ableitung, das sollte klappen.

Hilft dir das weiter?

Marius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:42 Mi 06.09.2006
Autor: mareike-f

Hi,
super danke, deine Antwort hat mir weiter geholfen.

Blos eine Sache versteh ich nicht, wie bekommst du die Extremwerte raus?
Als ich das noch mal gerechnet hab, hab ich -2,62 und -0,38 raus und als ich deine pq-Formel eingetippt habe, habe ich auch nicht 0 und -1 rausbekommen.


Mareike

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Vorzeichenfehler i.d. Abl.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mi 06.09.2006
Autor: ardik

Hallo


>  [mm]f'(x)= \bruch{((2x+1)*e^x)-((x^2+x)*e^x)}{(e^x)^2}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{2xe^x+e^x-x^2e^x\red{+}xe^x}{(e^x)^2}[/mm]

Das rote Plus ist falsch, da muss ein Minus hin.

Schöne Grüße,
ardik

Bezug
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