Kurvendiskussion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
hallo, hab noch ne kleine frage,
wir nehmen gerade die Kurvendiskussion in Mathe durch und wollte fragen, woher ich bei den einzelnen Ableitungen erkenne ob ich einen Flachpunkt, einen Terassenpunkt oder einen Wendepunkt habe.
Bitte um schnelle antwort
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 26.11.2006 | | Autor: | seifisun |
Also :
Nimm dir die 1. Ableitung. Wenn diese "Null" ist an einer Stelle x, so kann dort ein Extremum vorliegen - du musst daraufhin die 2. Ableitung untersuchen.
Ist für diese Stelle x die 2. Ableitung größer "Null" so liegt ein Minimum (Flachpunkt, Tiefpunkt, ...) vor.
Ist die 2. Ableitung dagegen kleiner "Null" so liegt ein Maximum (Hochpunkt, ...) vor.
Ist die 2. Ableitung an einer Stelle x "Null", so kann ein Wendepunkt vorliegen. Dafür musst du die 3. Ableitung der Funktion betrachten. Ist der Wert der dritten Ableitung für diese Stelle x ungleich "Null", so liegt ein Wendepunkt vor.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 26.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich kann mich seifisun nur anschliessen.
Zuallererst bildest du mal die ersten drei Ableitungen.
Die Nullstellen der ersten Ableitung, ich nenne sie mal [mm] x_{e} [/mm] sind mögliche Extremstellen.
gilt jetzt:
[mm] f''(x_{e})<0, [/mm] so ist [mm] H(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein Hochpunkt
[mm] f''(x_{e})>0, [/mm] so ist [mm] T(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein Tiefpunkt
Nun zu den Wendepunkten
Die Nullstellen der zweiten Ableitung, ich nenne sie mal [mm] x_{w} [/mm] sind mögliche Wendestellen.
gilt jetzt:
[mm] f'''(x_{w})\ne0, [/mm] so ist [mm] W(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein Wendepunkt
Gilt zusätzlich [mm] f'(x_{w})=0, [/mm] so ist [mm] S(x_{e};f(x_{e})) [/mm] ein sogenannter Sattel, oder Terassenpunkt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
ok ok das versteh ich ja wie man auf Minimum, Maximum, Terassenpunkt, Wendepunkt kommt,
aber wie komm ich auf einen Flachpunkt, ich weiß Flachpunkte treten auf wenn die 1. und die 2te Ableitung 0 sind, aber wie würde das in einer formel aussehen, das versteh ich nicht.
und vor allem, sind das dann immer Punkte mit dem x-wert = 0?, bitte hum hilfe
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Hi du!
Also nehmen wir mal das Beispiel eines WEndepunkts:
Bedingungen dafür sind 2 Ableitung ist gelich null die dritte ist ungleich null...
Wenn du z.B f(x)= [mm] x^3+x^2 [/mm] hast, wäre die 2. Ableitung f'x=6x+2 und die dritte f''x=6
Setzt du nun die f'x =0 so folgt: 6x+2=0 x=-1/3 x= -1/3 ist damit möglicher Kandidat für eine Wendestelle, setzt man sie in die dritte ableitung so ist f(-1/3) = 6 und damithandelt es sich um eine Wendestelle.
Hoffe ich konnte dir weiter helfen
Liebe Grüße
Sonne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 26.11.2006 | | Autor: | Sonne1000 |
sorry hab erst überlesen dass du dich besonders für den Falchpnkt interessierst, dabe verfährst du analo nur mit 1 und zweiter ableitung und die zweite ableitung muss dann gößer als null sein, wenn du deinen "Kandidaten" dort eingesetzt hast
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
mmhh danke für die schnelle antwort, aber meine frage war wie ich einen Terassenpunkt, oder noch wichtiger einen Flachpunkt erkenne
danke
ps: es hat sich herausgestellt, dass ich nicht weiß wie man einen terassenpunkt erkennt^^
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> mmhh danke für die schnelle antwort, aber meine frage war
> wie ich einen Terassenpunkt,
[mm] \text{Hi,}
[/mm]
[mm] \text{Hierfür möchte ich mal Marius zitieren.}
[/mm]
> Nun zu den Wendepunkten
>
> Die Nullstellen der zweiten Ableitung, ich nenne sie mal $ [mm] x_{w} [/mm] $ sind mögliche Wendestellen.
>
> gilt jetzt:
> $ [mm] f'''(x_{w})\ne0, [/mm] $ so ist $ [mm] W(x_{e};f(x_{e})) [/mm] $ ein Wendepunkt
>
> Gilt zusätzlich $ [mm] f'(x_{w})=0, [/mm] $ so ist $ [mm] S(x_{e};f(x_{e})) [/mm] $ ein sogenannter Sattel, oder Terassenpunkt.
>
> Marius
[mm] \text{Das beantwortet die Teilfrage doch, oder?}
[/mm]
oder noch wichtiger einen
> Flachpunkt erkenne
>
[mm] \text{Was zum Teufel ist ein Flachpunkt? :) Wenn du Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkt kennst, so erklär' mir doch mal, wie}
[/mm]
[mm] \text{ein Flachpunkt aussehen soll.}
[/mm]
> danke
>
[mm] \text{Stefan.}
[/mm]
>
> ps: es hat sich herausgestellt, dass ich nicht weiß wie man
> einen terassenpunkt erkennt^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
ist dann dieser terassenpunkt dann immer bei einem Punkt (0/y)??
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Hi du!
du setzt ja einen möglichen Kandidaten (der nicht null sein muss), den du über die bei Sattelpunkt erste Ableitung berechnet hast in die 2 und dritte ableitung ein, vom Prinzip her halt, wie ich oben schon beschrieben hab, halt dort nur für nen Wendepunkt mit andren Bedingungen...
lg
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Hi, Hirni,
> mmhh danke für die schnelle antwort, aber meine frage war
> wie ich einen Terassenpunkt, oder noch wichtiger einen
> Flachpunkt erkenne
Ein FLACHPUNKT ist eine Stelle, an der f''(x) = 0 gilt, unabhängig davon, ob f''' dort 0 ist oder nicht! (Übrigens hat's auch nichts mit f' zu tun!)
Somit ist ein Wendepunkt ein Sonderfall eines Flachpunktes und zwar einer, bei dem sich die Krümmung der Funktion ändert (was man meist daran erkennt, dass f''' [mm] \not= [/mm] 0 ist).
Ein TERRASSENPUNKT wiederum ist ein Sonderfall eines Wendepunktes, nämlich ein Wendepunkt MIT WAAGRECHTER TANGENTE.
Beispiel: Die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] (x-1)^{3} [/mm] hat bei x=1
- einen Flachpunkt, weil f''(1) = 0
- einen Wendepunkt, weil ZUSÄTZLICH (!) f'''(1) [mm] \not=0
[/mm]
und sogar
- einen Terrassenpunkt, weil auch noch f'(1)=0 ist.
(Darüber hinaus ist dieser Terrassenpunkt sogar eine dreifache Nullstelle, aber das hat mit Deiner Frage nichts zu tun!)
Anderes Beispiel:
Die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = [mm] (x-1)^{4} [/mm] hat bei x=1
- einen Flachpunkt, weil f''(1) = 0
- [mm] \red{keinen} [/mm] Wendepunkt, da sich dort die Krümmung NICHT ändert (was f'''(1) = 0 zwar andeutet, aber NICHT BEWEIST!)
- und natürlich auch [mm] \red{keinen} [/mm] Terrassenpunkt, denn dazu müsste es ja erst mal Wendepunkt sein.
Übrigens ist der Flachpunkt diesmal (zufälliger Weise) ein Tiefpunkt.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
Also nochmal eine Frage zum Schluss,
ein Wendepunkt liegt vor wenn die 2te ableitung =0 ist und die dritte Ableibtung Ungleich null
ein Flachpunkt wenn sowohl 2te als auch 3te ableitun =0 sind
und ein
Terassenpunkt wenn die 2te ableitung =0 ?
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Hi, Hirni,
> Also nochmal eine Frage zum Schluss,
>
> ein Wendepunkt liegt vor wenn die 2te ableitung =0 ist und
> die dritte Ableibtung Ungleich null
> ein Flachpunkt wenn sowohl 2te als auch 3te ableitun =0
> sind
> und ein
> Terassenpunkt wenn die 2te ableitung =0 ?
Du hast es immer noch nicht ganz begriffen!
Nochmals von vorne:
(1) wenn f''(x) = 0 => Flachpunkt.
(2) wenn zusätzlich Krümmungswechsel vorliegt (z.B. mit f''' [mm] \not= [/mm] 0) => Wendepunkt
(3) wenn zusätzlich f'(x)=0 => Terrassenpunkt.
Flachpunkte gibt's also "massig viele";
einige davon sind Wendepunkte,
und von denen wiederum sind ein paar ganz wenige sogar Terrassenpunkte.
Oder anders rum:
Jeder Terrassenpunkt ist gleichzeitig Wendepunkt und auch Flachpunkt.
Jeder Wendepunkt ist gleichzeitig Flachpunkt.
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
ok ich glaub ich habs verstanden
ein terassenpunkt ist wenn 1. und 2. ableitung =0
ein wendepunkt wenn 2.ableitung = 0 und dritte ableitung ungleich 0 sind
und das beides sind flachpunkte
ABER: ich setzte doch die ableitungen immer =0 damit ich x/y werte rauskrieg um die in den graphen einzutragen
aber so komm ich immer auf werte die =0 sind also hätte ich immer terassenpunkte, weil bis jetzt hab ich immer für die 1. und die 2. ableitung werte gefundne die gleich null sind (logisch sonst hätte ich keine maxima und minima bei der 1. ableitung)
müssen die werte die eingesetz 0 sind bei der 1. und 2. ableitung 0 ergeben die gleichen sein?
ps: ich hör gleich auf euch zu nerven^^
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Hi, Hirni,
durch das Null-Setzen der 2. Ableitung setzt Du ja praktisch die "Krümmung gleich null". Das hat nichts mit Koordinaten zu tun!
Beispiel: f(x) = [mm] (x-1)^{3}+5
[/mm]
f'(x) = [mm] 3x^{2} [/mm] - 6x + 3
f''(x) = 6x-6
f'''(x) = 6
f''(x) = 0 => x=1 Flachpunkt bei x=1.
f'''(1)=6 [mm] \not=0 [/mm] (sogar) Wendepunkt bei x=1
f'(1) = 3 - 6 + 3 = 0 (sogar) Terrassenpunkt bei x=1
Koordinaten des Terrassenpunktes: x=1; f(1) = 5. TEP(1; 5)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 So 26.11.2006 | | Autor: | Hirni |
ok danke leute, ich denke ich habs verstanden
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