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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Di 16.01.2007
Autor: soony

Aufgabe
Gegeben ist die reele Funktion f:x ---> f(x) , x [mm] \in \IR [/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{32}x^{4}-x^{2}+8 [/mm]
Ihr Graph ist die Kurve Gf

1.1 Untersuchen Sie den Graphen Gf auf Symmetrie.
1.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen Gf.

Hallo liebe Matheraumgemeinde.

Ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe. 1.1 ist noch okay aber bei 1.2 komm ich schon ins grübeln..da es sich ja um biquadratische Gleichung handelt mach ich erstmal eine Substitution und zwar [mm] u=x^{2} [/mm] dann steht bei mir nun [mm] f(u)=\bruch{1}{32}u^{2}-u+8 [/mm] So nun die Lösungsformel. Da unter der Klammer 0 rauskommt rechne ich also 1/ [mm] \bruch{1}{16} [/mm] das ergebins ist somit 16. Rücksubstitution: [mm] \wurzel{u}=x [/mm] also x1=4 x2=-4. Ich bin mir aber nun nicht sicher ob das stimmt...

zu 1.3

1. Ableitung gleich 0 setzten.
[mm] \bruch{1}{8}x^{3}-2x=0 [/mm]
dann mal 8
[mm] x^{3}-16x=0 [/mm]
x ausklammern
[mm] x(x^{2}-16=0 [/mm]
daraus folgt das x1=0 und x2=4

leider weiß ich jetz nichtmehr weiter und wäre über eure Hilfe sehr erfreut.

Danke schonmal im vorraus.

Liebe Grüße Soony

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Di 16.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Gegeben ist die reele Funktion f:x ---> f(x) , x [mm]\in \IR[/mm]
>  
> f(x) = [mm]\bruch{1}{32}x^{4}-x^{2}+8[/mm]
>  Ihr Graph ist die Kurve Gf
>  
> 1.1 Untersuchen Sie den Graphen Gf auf Symmetrie.
>  1.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.
>  1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Hoch-, Tief- und
> Wendepunkte des Graphen Gf.
>  Hallo liebe Matheraumgemeinde.

Das ist doch mal nen Anrede. ;-)

>  
> Ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe. 1.1 ist noch okay
> aber bei 1.2 komm ich schon ins grübeln..da es sich ja um
> biquadratische Gleichung handelt mach ich erstmal eine
> Substitution und zwar [mm]u=x^{2}[/mm] dann steht bei mir nun
> [mm]f(u)=\bruch{1}{32}u^{2}-u+8[/mm] So nun die Lösungsformel.

Soweit okay,

Da

> unter der Klammer 0 rauskommt rechne ich also 1/
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm] das ergebins ist somit 16.

Korrekt

Rücksubstitution:

> [mm]\wurzel{u}=x[/mm] also x1=4 x2=-4. Ich bin mir aber nun nicht
> sicher ob das stimmt...


Korrekt

>  
> zu 1.3
>  
> 1. Ableitung gleich 0 setzten.
>  [mm]\bruch{1}{8}x^{3}-2x=0[/mm]
>  dann mal 8
>  [mm]x^{3}-16x=0[/mm]
>  x ausklammern
>  [mm]x(x^{2}-16=0[/mm]
>  daraus folgt das x1=0 und x2=4

Fast. Du hast nur eine Extremstelle vergessen, (Der Graph ist Achsensymmetrisch)

[mm] x_{1}=0 [/mm]
Bleibt noch x²=16
[mm] \gdw x=\red{\pm}4 [/mm]
Also [mm] x_{e_{2}}=4, x_{e_{3}}=-4 [/mm]

Bleibt noch zu prüfen, ob die Extremstellen Hoch oder Tiefpunkte sind.
Dazu mal [mm] f''(x)=\bruch{3}{8}x²-2 [/mm]

[mm] f''(0)<0\Rightarrow [/mm] H(0/f(0)) ist Hochpunkt.
[mm] f''(4)>0\Rightarrow T_{1}(4/\underbrace{0}_{=f(4)}) [/mm] ist ein Tiefpunkt
Und wegen der Symmetrie: [mm] T_{2}(-4/0) [/mm] ist ebenfalls ein TP



>
> leider weiß ich jetz nichtmehr weiter und wäre über eure
> Hilfe sehr erfreut.

Für die Wendestellen [mm] x_{w} [/mm] mzuss ja gelten: [mm] f''(x_{w})=0 [/mm]
und [mm] f'''(x_{w})\ne0 [/mm]
Hier findest du zwei Wendepunkte [mm] W_{1}(x_{w_{1}}/f(x_{w_{1}})) [/mm]
und [mm] W_{2}(x_{w_{2}}/f(x_{w_{2}})), [/mm] wobe wegen der Symmetrie: [mm] x_{w_{1}}=-x_{w_{2}} [/mm]

  

> Danke schonmal im vorraus.
>  
> Liebe Grüße Soony


Hilft das erstmal weiter?

Marius

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Di 16.01.2007
Autor: soony

okay die eine Extremstelle hab ich vergessen ;) danke, dass du mich daran erinnerst hehe.
So wenn ich nun überprüfe ob es sich bei den Extrempunkten um Hoch- und Tiefpunkt handelt setzte ich die Nullstellen also in f" ein. [mm] \bruch{3}{8} [/mm] -2
dann bekomm ich [mm] -1\bruch{5}{8} [/mm] heaus.   [mm] -1\bruch{5}{8}< [/mm] also ist es ein Hochpunkt. Wären dann die Koordinaten [mm] (0;-1\bruch{5}{8})? [/mm]
bei f"(4) kommt dann 4 raus und somit wäre der Tiefpunkt bei (4;4)? ist das doch so einfach oder hab ich da was übersehen?

Lieben Dank
Gruß Soony

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Di 16.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Fast, Die y-Koordinate des Extrempunkts oder Wendepunktes ermittelst du, indem du den x-Wert in die Originalfunktion f einsetzt, das habe ich aber auch so geschrieben.

[mm] W(x_{w}/\red{f(x_{w})}) [/mm]
[mm] E(x_{e}/\red{f(x_{e})}) [/mm]

Das einsetzen der [mm] x_{e}, [/mm] also der Extremstellen in die zweite Ableitung dient nur dazu, zu überprüfen, ob E ein Hoch oder ein Tiefpunkt ist.
Gilt [mm] f''(x_{e})>0, [/mm] ist E ein Tiefpunkt, gilt [mm] f''(x_{e})<0, [/mm] ist E ein Hochpunkt

Dasselbe gilt für die Wendestellen [mm] x_{w} [/mm] Wenn [mm] f'''(x_{w})\ne0, [/mm] ist [mm] W(x_{w}/\red{f(x_{w})}) [/mm] ein Wendepunkt,
gilt [mm] f'''(x_{w})=0, [/mm] ist [mm] S(x_{w}/\red{f(x_{w})}) [/mm] ein sogenannter Sattelpunkt.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:19 Di 16.01.2007
Autor: soony

und schwupps es hat "ahhh" gemacht..
vielen Dank für deine schnelle Hilfe.

Viele Grüße
soony

Bezug
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