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Kurvendiskussion: Wendepunkt etc
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

Aufgabe
Diskutieren sie die Funktion : f(x) = [mm] \bruch{x²-2x+2}{x²+1}. [/mm]

Diskussionspunkte: Definitionsbereich, Nullstellen,,Polstellen, Verhalten für /x/ -> [mm] \infty, [/mm] Extremstellen, Art möglicher Extremstellen, Wendepunkt.

Also ich habe folgendes raus:

Definitionsbereich: x [mm] \in \IR [/mm]

Nullstellen: gibt es nicht

Polstellen:keine

/x/-> [mm] \infty: [/mm] f(x) ->1

Extremstellen:

Ableitung:
f´(x) = [mm] \bruch{2x²-2x-2}{(x²+1)²} [/mm]
[mm] f´´(x)=\bruch{-4x^5 + 6x^4 + 8x^3 + 4x² + 12x -2}{(x²+1)^4} [/mm]

TP:  0.38
HP: 2.26

Mein Problem liegt nun beim Wendepunkt!
[mm] -4x^5 [/mm] + [mm] 6x^4 [/mm] + [mm] 8x^3 [/mm] + 4x² + 12x -2 =0
diese gleichung muss ich doch auf x auflösen! nur weis ich nicht wie ich des machen soll?! kann mir da jemand helfen und vllt auch sagen ob der rest so stimmt?

Vielen Dank!

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 06.02.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> Diskutieren sie die Funktion : f(x) =
> [mm]\bruch{x²-2x+2}{x²+1}.[/mm]
>  
> Diskussionspunkte: Definitionsbereich,
> Nullstellen,,Polstellen, Verhalten für /x/ -> [mm]\infty,[/mm]
> Extremstellen, Art möglicher Extremstellen, Wendepunkt.
>  Also ich habe folgendes raus:
>  

[mm] $\bffamily \text{Hi.}$ [/mm]

> Definitionsbereich: x [mm]\in \IR[/mm]
>  

[ok]

> Nullstellen: gibt es nicht
>  

[ok]

> Polstellen:keine
>  

[ok]

> /x/-> [mm]\infty:[/mm] f(x) ->1
>  

[ok]

> Extremstellen:
>
> Ableitung:
>  f´(x) = [mm]\bruch{2x²-2x-2}{(x²+1)²}[/mm]

[ok]

>  [mm]f´´(x)=\bruch{-4x^5 + 6x^4 + 8x^3 + 4x² + 12x -2}{(x²+1)^4}[/mm]
>  

[mm] $\bffamily \text{Du kannst dir eine Menge Ausmultiplizierungsarbeit ersparen, indem du, nachdem du die Quotientenregel ange-}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{wendet hast, guckst, ob du was wegkürzen kannst.}$ [/mm]

> TP:  0.38
>  HP: 2.26
>  

[notok]

[mm] $\bffamily \text{Da hast du dich bei der }p\text{-}q\text{-Formel/quadratischen Ergänzung wohl ein wenig vertan. Überprüf' noch mal deine Ergebnisse!}$ [/mm]

> Mein Problem liegt nun beim Wendepunkt!
>  [mm]-4x^5[/mm] + [mm]6x^4[/mm] + [mm]8x^3[/mm] + 4x² + 12x -2 =0
>  diese gleichung muss ich doch auf x auflösen! nur weis ich
> nicht wie ich des machen soll?! kann mir da jemand helfen
> und vllt auch sagen ob der rest so stimmt?
>  

[mm] $\bffamily \text{Stichwort: cardanische Formel.}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Hier die Ergebnisse (doch ich würde trotzdem versuchen, sie selbst noch mal zu errechnen, als Kontrolle!):}$ [/mm]

[mm] $\bffamily x_{1}=\wurzel{5}*\cos\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{3}\right)}{3}+\bruch{\pi}{12}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] 0{,}1557915668$

[mm] $\bffamily \vee$ [/mm]

[mm] $\bffamily x_{2}=-\wurzel{5}*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{3}\right)}{3}+\bruch{\pi}{4}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] -1{,}241306459$

[mm] $\bffamily \vee$ [/mm]

[mm] $\bffamily x_{3}=-\wurzel{5}*\sin\left(\bruch{\operatorname{arctan}\left(\bruch{1}{2}\right)}{3}\right)+\bruch{1}{2}\approx [/mm] 2{,}585514892$

> Vielen Dank!

[mm] $\bffamily \text{Grüße, Stefan.}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{PS: Die Formel von Cardano kannst du natürlich nur benutzen, wenn du auf meine vorhin genannte Kürzung eingehst, da sich nur dann eine Gleichung 3. Grades ergibt.}$[/mm]

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