matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationKurvendiskussion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Differentiation" - Kurvendiskussion
Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvendiskussion: Hochpunkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

Aufgabe
Ein doppelrundbogenfenster werde von drei seiten eines Rechtecks sowie von 2 Halbkreisen, deren Durchmesser x jeweils die halbe Seitenlänge der vierten Rechteckseite ist, begrenzt. Wie müssen x und die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit vom Umfang U des Fensters gewählt sein, damit die Gesamtfläche des Fensters bei vorgegebenem Umfang maximal ist?

Ich hab mir jetzt erstmal ne Skizze von dem Ding gemacht und weis jetzt so ungefähr wie dies aussehen soll!
ich weis auch dass ich mit ner gleichung die ich aufstellen soll/muss, nen hochpunkt berechnen muss! aber ich komm nicht auf die gleichung! kann mir da jemand helfen? Vielen dank!

        
Bezug
Kurvendiskussion: Haupt- und Nebenbedingung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Di 06.02.2007
Autor: Loddar

Hallo KaiTracid!


Wir suchen hier also zunächst die Hauptbedingung (= Fläche) sowie die Nebenbedingung (= Umfang).

Seien $b_$ und $h_$ die Abmessungen des Rechteckes. Dann gilt für den Flächeninhalt:

$A \ = \ A(b,h) \ = \ [mm] b*h+2*\bruch{1}{2}*\pi*\left(\bruch{b}{4}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b*h+\bruch{1}{16}*\pi*b^2$ [/mm]


Der Umfang berechnet sich zu:

$U \ = \ [mm] 2*h+b+2*\bruch{1}{2}*\underbrace{\blue{2}*\pi*\bruch{b}{4}}_{= \ 2*\pi*r} [/mm] \ = \ [mm] 2*h+b+\bruch{1}{\blue{2}}*\pi*b$ [/mm]


Wenn Du nun die Umfangsformel nach $h \ = \ ...$ umformst und in die Flächenformel einsetzt, hast Du die gesuchte Zielfunktion $A(b)_$ , welche nur noch von der Variablen $b_$ abhängig ist.

Für diese Funktion $A(b)_$ musst Du dann die Extremwertberechnung (= Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchführen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

Vielen Dank erstmal!

hab ne frage dazu und zwar
woher kommen denn die b/4 ?
muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die hälfte von der länge von b!

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Di 06.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Vielen Dank erstmal!
>  
> hab ne frage dazu und zwar
>  woher kommen denn die b/4 ?
>  muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die
> hälfte von der länge von b!

Nein, du hast ja zwei Halbkreise "auf" b. Das heisst, deren Durchmesser ist jeweils [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius: [mm] \bruch{b}{4} [/mm]

Marius


Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

oh klar stimmt!

ok und wie kommt man auf die 1/2?
weil die formel ist doch 2 [mm] \pi [/mm] r²
und hier wurde ja geschrieben: 2 1/2 [mm] \pi [/mm] (b/4)²

Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast zwei Halbkreise als Rundbögen, der Durchmesser eines Halbkreises ist [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius [mm] \bruch{b}{4}, [/mm] den Flächenihalt eines Kreises berechnest du [mm] \pi r^{2}, [/mm] also [mm] \pi (\bruch{b}{4})^{2} [/mm] da ein Rundbogen ein Halbkreis ist also [mm] \bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2}, [/mm] da es zwei Halbkreise sind kommt der Faktor 2 noch davor [mm] 2*\bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2} [/mm]

Steffi


Bezug
                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

ok vielen dank!

ich hab des jetzt auf h aufgelöst: h= - 1/16 [mm] \pi [/mm] b

stimmt dies so?

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

ich möchte mal meine Variante beenden:

[mm] A=bh+\bruch{1}{16} \pi b^{2} [/mm]

[mm] u=2h+b+\bruch{1}{2}\pi [/mm] b hier ist noch die Abweichung zu Loddar [mm] \bruch{1}{4}\pi [/mm] b, der Rechenweg ist aber der gleiche,

umgestellt: [mm] h=\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}b-\bruch{1}{4}\pi [/mm] b

die umgestellte Gleichung für h in Gleichung für A einsetzen:

[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{1}{4}\pi b^{2}+\bruch{1}{16}\pi b^{2} [/mm]

[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{3}{16}\pi b^{2} [/mm]

[mm] A'(b)=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b

[mm] 0=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b

[mm] b=\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi} [/mm]


Steffi


Bezug
                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

Vielen Dank für die Hilfe! Aber ist des schon alles? muss ich nicht noch was machen jetzt mit dem b?



Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Do 08.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Das b ist deine gesuchte Extremstelle. Jetzt bleibt noch zu prüfen, ob es ein Hoch, oder Tiefpunkt ist. (mit der zeiten Ableitung) und, welchen Flächeninhalt A(b) das Fenster nun hat.

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm] -1-(3/8)\pi [/mm]
in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!

Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die Gleichung von der Fläche einsetzen?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Do 08.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm]-1-(3/8)\pi[/mm]
>  in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um
> dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann
> Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
>  Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!

Richtig, es gilt A'(b)<0 für alle b, da [mm] -1-\bruch{3\pi}{8} [/mm] immer kleiner als Null ist.

>  
> Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die
> Gleichung von der Fläche einsetzen?
>  

Richtig, das meinte ich mit A(b)

Marius

Bezug
                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

als b in A(b) eingesetzt ergibt dann:

[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})u [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})² [/mm] - [mm] \bruch{3}{16}\pi(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})² [/mm]

muss man dann och irgendwas weiter machen? außer vielleicht vereinfachen?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Do 08.02.2007
Autor: Steffi21

das ist dein ergebnis, versuche, so weit wie möglich zu vereinfachen,

steffi

Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo Loddar,

der Umfang setzt sich zusammen aus:

2 fache Höhe: 2h
Breite: b
2 Halbkreise, also ein Vollkreis: [mm] u=\pi d=\pi\bruch{b}{2} [/mm]

[mm] u=2h+b+\pi\bruch{b}{2} [/mm] ? du hast [mm] \pi\bruch{b}{4} [/mm] stehen, oder mache ich einen Denkfehler?

Steffi

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion: Du hast Recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Mi 07.02.2007
Autor: Loddar

Hallo Steffi!


Du hast Recht: ich habe schlicht und ergreifend bei der Umfangsformel mit dem Radius $u \ = \ [mm] 2*\pi*r$ [/mm] den Faktor $2_$ unterschlagen.

Es ist oben nun korrigiert ... Danke für den Hinweis und das Aufpassen.


Gruß
Loddar


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]