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Forum "Differentiation" - Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion: Hochpunkt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

Aufgabe
Ein doppelrundbogenfenster werde von drei seiten eines Rechtecks sowie von 2 Halbkreisen, deren Durchmesser x jeweils die halbe Seitenlänge der vierten Rechteckseite ist, begrenzt. Wie müssen x und die Seitenlängen des Rechtecks in Abhängigkeit vom Umfang U des Fensters gewählt sein, damit die Gesamtfläche des Fensters bei vorgegebenem Umfang maximal ist?

Ich hab mir jetzt erstmal ne Skizze von dem Ding gemacht und weis jetzt so ungefähr wie dies aussehen soll!
ich weis auch dass ich mit ner gleichung die ich aufstellen soll/muss, nen hochpunkt berechnen muss! aber ich komm nicht auf die gleichung! kann mir da jemand helfen? Vielen dank!

        
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Kurvendiskussion: Haupt- und Nebenbedingung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Di 06.02.2007
Autor: Loddar

Hallo KaiTracid!


Wir suchen hier also zunächst die Hauptbedingung (= Fläche) sowie die Nebenbedingung (= Umfang).

Seien $b_$ und $h_$ die Abmessungen des Rechteckes. Dann gilt für den Flächeninhalt:

$A \ = \ A(b,h) \ = \ [mm] b*h+2*\bruch{1}{2}*\pi*\left(\bruch{b}{4}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] b*h+\bruch{1}{16}*\pi*b^2$ [/mm]


Der Umfang berechnet sich zu:

$U \ = \ [mm] 2*h+b+2*\bruch{1}{2}*\underbrace{\blue{2}*\pi*\bruch{b}{4}}_{= \ 2*\pi*r} [/mm] \ = \ [mm] 2*h+b+\bruch{1}{\blue{2}}*\pi*b$ [/mm]


Wenn Du nun die Umfangsformel nach $h \ = \ ...$ umformst und in die Flächenformel einsetzt, hast Du die gesuchte Zielfunktion $A(b)_$ , welche nur noch von der Variablen $b_$ abhängig ist.

Für diese Funktion $A(b)_$ musst Du dann die Extremwertberechnung (= Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchführen.


Gruß
Loddar


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

Vielen Dank erstmal!

hab ne frage dazu und zwar
woher kommen denn die b/4 ?
muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die hälfte von der länge von b!

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Di 06.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Vielen Dank erstmal!
>  
> hab ne frage dazu und zwar
>  woher kommen denn die b/4 ?
>  muss dass nicht b/2 heißen? weil der radius ist ja die
> hälfte von der länge von b!

Nein, du hast ja zwei Halbkreise "auf" b. Das heisst, deren Durchmesser ist jeweils [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius: [mm] \bruch{b}{4} [/mm]

Marius


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

oh klar stimmt!

ok und wie kommt man auf die 1/2?
weil die formel ist doch 2 [mm] \pi [/mm] r²
und hier wurde ja geschrieben: 2 1/2 [mm] \pi [/mm] (b/4)²

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

du hast zwei Halbkreise als Rundbögen, der Durchmesser eines Halbkreises ist [mm] \bruch{b}{2}, [/mm] also ist der Radius [mm] \bruch{b}{4}, [/mm] den Flächenihalt eines Kreises berechnest du [mm] \pi r^{2}, [/mm] also [mm] \pi (\bruch{b}{4})^{2} [/mm] da ein Rundbogen ein Halbkreis ist also [mm] \bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2}, [/mm] da es zwei Halbkreise sind kommt der Faktor 2 noch davor [mm] 2*\bruch{1}{2} \pi (\bruch{b}{4})^{2} [/mm]

Steffi


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Di 06.02.2007
Autor: KaiTracid

ok vielen dank!

ich hab des jetzt auf h aufgelöst: h= - 1/16 [mm] \pi [/mm] b

stimmt dies so?

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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

ich möchte mal meine Variante beenden:

[mm] A=bh+\bruch{1}{16} \pi b^{2} [/mm]

[mm] u=2h+b+\bruch{1}{2}\pi [/mm] b hier ist noch die Abweichung zu Loddar [mm] \bruch{1}{4}\pi [/mm] b, der Rechenweg ist aber der gleiche,

umgestellt: [mm] h=\bruch{1}{2}u-\bruch{1}{2}b-\bruch{1}{4}\pi [/mm] b

die umgestellte Gleichung für h in Gleichung für A einsetzen:

[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{1}{4}\pi b^{2}+\bruch{1}{16}\pi b^{2} [/mm]

[mm] A(b)=\bruch{1}{2}bu-\bruch{1}{2}b^{2}-\bruch{3}{16}\pi b^{2} [/mm]

[mm] A'(b)=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b

[mm] 0=\bruch{1}{2}u-b-\bruch{3}{8}\pi [/mm] b

[mm] b=\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi} [/mm]


Steffi


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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

Vielen Dank für die Hilfe! Aber ist des schon alles? muss ich nicht noch was machen jetzt mit dem b?



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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Do 08.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Das b ist deine gesuchte Extremstelle. Jetzt bleibt noch zu prüfen, ob es ein Hoch, oder Tiefpunkt ist. (mit der zeiten Ableitung) und, welchen Flächeninhalt A(b) das Fenster nun hat.

Marius

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm] -1-(3/8)\pi [/mm]
in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!

Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die Gleichung von der Fläche einsetzen?


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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Do 08.02.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> die zweite Ableitung wäre ja:A´´(b)= [mm]-1-(3/8)\pi[/mm]
>  in diese gleichung müsste ich doch mein b einsetzetn um
> dann schauen zu können ob es > oder < 0 ist,was dann
> Tiefpunkt oder Hochpunkt entsprechen würde.
>  Aber ich kann es ja nicht einsetzen?!

Richtig, es gilt A'(b)<0 für alle b, da [mm] -1-\bruch{3\pi}{8} [/mm] immer kleiner als Null ist.

>  
> Und wie berechnet man dann den Flächeninhalt? mein b in die
> Gleichung von der Fläche einsetzen?
>  

Richtig, das meinte ich mit A(b)

Marius

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Kurvendiskussion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Do 08.02.2007
Autor: KaiTracid

als b in A(b) eingesetzt ergibt dann:

[mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})u [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})² [/mm] - [mm] \bruch{3}{16}\pi(\bruch{\bruch{1}{2}u}{1+\bruch{3}{8}\pi})² [/mm]

muss man dann och irgendwas weiter machen? außer vielleicht vereinfachen?

Bezug
                                                                                                        
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Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Do 08.02.2007
Autor: Steffi21

das ist dein ergebnis, versuche, so weit wie möglich zu vereinfachen,

steffi

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Kurvendiskussion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Di 06.02.2007
Autor: Steffi21

Hallo Loddar,

der Umfang setzt sich zusammen aus:

2 fache Höhe: 2h
Breite: b
2 Halbkreise, also ein Vollkreis: [mm] u=\pi d=\pi\bruch{b}{2} [/mm]

[mm] u=2h+b+\pi\bruch{b}{2} [/mm] ? du hast [mm] \pi\bruch{b}{4} [/mm] stehen, oder mache ich einen Denkfehler?

Steffi

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Kurvendiskussion: Du hast Recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Mi 07.02.2007
Autor: Loddar

Hallo Steffi!


Du hast Recht: ich habe schlicht und ergreifend bei der Umfangsformel mit dem Radius $u \ = \ [mm] 2*\pi*r$ [/mm] den Faktor $2_$ unterschlagen.

Es ist oben nun korrigiert ... Danke für den Hinweis und das Aufpassen.


Gruß
Loddar


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