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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Max80 |
Hallo zusammen!
Ich habe hier eine Funktion, die diskutiert werden soll. Generell hatte ich damit bis jetzt noch keine Probleme, da alles immer saubere Funktionen waren bei denen alles auf ging.
Jetzt habe ich hier folgende Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{x}{e^x}
[/mm]
ich habe erstmal versucht diese abzuleiten:
f'(x)=-e^-x + x*-e^-x
ist das richtig?
nun bin ich an folgendem gescheitert: wie berechne ich von dieser seltsamen funktion die nullstellen??? ich weiß ja nicht mal den grad der funktion. ist es überhaupt noch eine polynomfunktion? und: ist das eine ganzrationale oder gebrochen rationale funktion??
danke für eure hilfe!
LG
Bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> f'(x)=-e^-x + x*-e^-x
>
> ist das richtig?
Du meinst wohl [mm] f'(x)=\bruch{x-1}{e^{x}}, [/mm] oder? Das ist bis auf den Vorzeichenfehler richtig. Das spielt aber bei der Nullstellenbestimmung keine Rolle.
> nun bin ich an folgendem gescheitert: wie berechne ich von dieser seltsamen funktion die nullstellen??? ich weiß ja > nicht mal den grad der funktion. ist es überhaupt noch eine polynomfunktion? und: ist das eine ganzrationale oder > > gebrochen rationale funktion??
Nein, das ist kein Polynom. Die Nullstelle kannst du aber trotzdem ohne was zu rechnen bestimmen. e ist positiv - was bedeutet das für das Vorzeichen des Nenners? Kann er Null werden?
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Max80 |
hi.
also ich meinte eigentlich:
[mm] f'(x)=-e^{-x} [/mm] + [mm] x*-e^{-x}
[/mm]
den bruch von der verstehe ich nicht. wo hast du den her??
ich bin etwas überfragt muss ich zugeben. e ist positiv, d.h.??
ich mein, es ist ja auch noch x im bruch...
d.h. ob der nenner positiv oder negativ ist, hängt ja von x mit ab oder nicht?
bei polynomen mache ich ja eine zerlegung mit dem zuerlegungssatz. d.h. die erste nullstelle errate ich und dann kommt die polynomdivision. dafür finde ich hier leider gar keinen ansatz... =(
danke!!
gruß
bunti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> hi.
>
>
> also ich meinte eigentlich:
>
> [mm]f'(x)=-e^{-x}[/mm] + [mm]x*-e^{-x}[/mm]
>
> den bruch von der verstehe ich nicht. wo hast du den her??
Erklär mir du erst Mal woher du diesen Minus her hast!
f ist ja der Quotient von zwei Funktionen, dann sollst du vielleicht die ![[]](/images/popup.gif) Quotienten Regel anwenden:
[mm] \left(\bruch{g}{h}\right)'=\bruch{g'h-gh'}{h^{2}}. [/mm]
> ich bin etwas überfragt muss ich zugeben. e ist positiv,
> d.h.??
> ich mein, es ist ja auch noch x im bruch...
> d.h. ob der nenner positiv oder negativ ist, hängt ja von
> x mit ab oder nicht?
Gib ein x an, für das der Nenner negativ ist. Das ist auch egal. Wichtiger ist, dass der Nenner nicht Null werden kann, egal was für ein x du nimmst.
> bei polynomen mache ich ja eine zerlegung mit dem
> zuerlegungssatz. d.h. die erste nullstelle errate ich und
> dann kommt die polynomdivision.
Sehr schön. Hier hast du aber einen Bruch. Damit der Bruch Null wird, muss der Zähler Null werden. Man muss aber aufpassen, dass nicht gleichzeitig der Nenner Null wird.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Max80 |
ups =)
ja jetzt seh ich es auch :D sorry^^ da hab ich wohl zu stark ausm arm geschüttelt...
ok nochmal:
[mm] f(x)=\bruch{x}{e^x} [/mm] => [mm] f(x)=x*e^{-x}
[/mm]
f'(x)=(u' * v) + (u * v')
[mm] f'(x)=e^{-x} [/mm] + [mm] x*-e^{-x}
[/mm]
ist das richtig?
aber deinen bruch verstehe ich dennoch nicht :)
aber was die nullstellenberechnung angeht:
ich blicke da noch nicht so richtig durch. verstanden habe ich: der bruch muss als ergebnis 0 haben, aber es darf nicht im nenner 0 sein (geht ja nicht durch 0 zu dividieren). aber wie ich da jetzt rechnen soll...? =(
danke!!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mi 13.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Sowas sehe ich echt zum ersten Mal :)
Du kannst einen Bruch in eine Zahl mit negativem Exponenten umwandeln, aber andersrum geht's nicht...
> [mm]f(x)=\bruch{x}{e^x}[/mm] => [mm]f(x)=x*e^{-x}[/mm]
Gut, du magst keine Brüche, OK.
> f'(x)=(u' * v) + (u * v')
>
> [mm]f'(x)=e^{-x}[/mm] + [mm]x*-e^{-x}[/mm]
>
> ist das richtig?
Das ist jetzt richtig.
> aber deinen bruch verstehe ich dennoch nicht :)
Oben hast du [mm] \bruch{x}{e^x}=x*e^{-x} [/mm] gemacht. Das geht natürlich auch in die andere Richtung: [mm] e^{-x}=\bruch{1}{e^x}. [/mm] Damit hast du [mm] f'(x)=e^{-x}+x*-e^{-x}=\bruch{1}{e^x}-\bruch{x}{e^x}=\bruch{1-x}{e^x}.
[/mm]
> aber was die nullstellenberechnung angeht:
> ich blicke da noch nicht so richtig durch. verstanden habe
> ich: der bruch muss als ergebnis 0 haben, aber es darf
> nicht im nenner 0 sein (geht ja nicht durch 0 zu
> dividieren). aber wie ich da jetzt rechnen soll...? =(
Du bestimmst einfach das x, für das der ZÄHLER von dem Bruch Null wird. Dann schaust du ob für dieses x der Nenner Null wird. Wenn ja - Pech gehabt, das x ist keine Nullstelle. Wenn nein - Glück gehabt, x ist eine Nullstelle von f. Wie schauts aus mit x=1?
Allgemein: wenn [mm] \bruch{a}{b}=0, [/mm] dann muss a 0 sein, andere Möglichkeiten gibt es nicht.
Es geht auch anders (nur weil du kein Fan von Brüchen bist): [mm] f'(x)=e^{-x}(1-x). [/mm] Hier hast du 2 Multiplikanden, wie bei Polynomen. Der eine kann nicht Null werden, also muss es der andere sein.
Gruß,
dormant
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