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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Disap |
Servus, folgende Funktionsgleichung ist gegeben:
f(x) = [mm] 10x*e^{-0.5x^{2}} [/mm]
Ableitungen, Extrempunkte/Wendepunkte zu berechnen ist mir klar.
Meine Probleme fangen schon bei der Bestimmung des Unendlichkeitsverhaltens an.
Beim Unendlichkeitsverhalten lässt man ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x)
Und das selbe einmal für [mm] -\infty
[/mm]
laufen, doch wenn man bei der Funktion für x 5 einsetzt, kommt Null heraus.
1) Wie ist also das Unendlichkeitsverhalten? Kann man hier nicht mehr sagen [mm] \pm \infty [/mm] ?
Nullstellen:
Man setzt f(x) = 0
0 = [mm] 10x*e^{-0.5x^{2}}
[/mm]
Doch was nun?
Normalerweise würde ich den LN verwenden, geht aber schlecht, da man aus 0 den ln nicht ziehen kann.
2) Ist hier das Näherungsverfahren die einzige Möglichkeit oder wie kann man das Lösen, ohne einfach einzusetzen? (Wobei man dann ja auch nur EINE Nullstelle herausbekommt)
Durch Einsetzen habe ich herausbekommen (wie schon oben), dass die Nullstellen bei 0 und [mm] \pm \infty [/mm] liegen müssen oder müssten...
Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Disap!
> Servus, folgende Funktionsgleichung ist gegeben:
>
> f(x) = [mm]10x*e^{-0.5^{2}}[/mm]
Kann das sein, dass du hier einen Tippfehler gemacht hast? Diese Funktion wäre einge Gerade... Du meinst sicher
[mm] f(x)=10x*e^{-0,5x^2} [/mm] oder?
Falls das so ist, so gibt es nur eine Nullstelle, nämlich bei x=0 und die Grenzwerte sind [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty.
[/mm]
Hilft dir das weiter - oder was meintest du?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Disap |
Ja, es stimmt, es sollte [mm] x^{2} [/mm] heißen.
Danke für den Hinweis
Schöne Grüße Disap
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Hi Disap
Wenn du von [mm] $f(x)=10x*e^{-0,5x^2}$ [/mm] die Nullstellen bestimmen willst, ist die Aufstellung der Gleichung [mm] $10x*e^{-0,5x^2}=0$ [/mm] ungünstig. Du errechst dein Ziel eher, wenn du dir klar machst, dass eine Produkt genau dann 0 ist, wenn eines seiner Faktoren also 10x oder [mm] e^{-0,5x^2} [/mm] gleich 0 ist. Eine Potenz mit positiver Basis (e) ist stehts größer als 0 , die einzige Nullstelle ergibt sich also für 10x=0 gelten. Diese ist folglich bei x=0
Für das Verhalten gegen Unendlich mache dir erstmal klar, das die Funktion ungerade ist. Ferner gibt es nur zwei Möglichkeiten bei dem Verhalten, entweder eine Konvergenz gegen 0 (die [mm] e^{-0,5x^2} [/mm] aufweißt) oder die Divergenz die 10x aufweißt.
Ich behaupte jetzt erstmal, dass für x --> [mm] \infty [/mm] f(x) --> 0 gelte. Jetzt muss du nur überprüfe, dass für alle x>X [mm] f(x)<\varepsilon [/mm] bei einem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] gilt:
[mm] $\frac{10x}{\varepsilon}<\frac{1}{e^{-0,5x^2}}=e^{0,5x^2}$
[/mm]
Und da wir links eine linear und rechts eine Exponentialfunktion haben und diese ab einem Wert X in dem sie die lineare Funktion schneidet größer als diese ist, haben wir das Konvergenzkriterium erfüllt!
Auf Grund der Symetrie des Graphen von f ergibt sich somit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=0= \limes_{x\rightarrow-\infty}
[/mm]
Anm:
Eine Exponentialfunktion verläuft für große Wert immer oberhalb einer linearen Funktion, da ihre Steigung unbeschrängt zunimmt und somit veringert sich ab einem Punkt, in dem lineare und exponential Funktion die selbe Steigung aufweisen der Abstand der exponentiellen zur linearen. Ferner kann die exponential Funktion auch nicht gegen die lineare konvergieren, da dann ihre Ableitung (Steigung) begrenzt wäre.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Disap |
>
> Für das Verhalten gegen Unendlich mache dir erstmal klar,
> das die Funktion ungerade ist. Ferner gibt es nur zwei
> Möglichkeiten bei dem Verhalten, entweder eine Konvergenz
> gegen 0 (die [mm]e^{-0,5x^2}[/mm] aufweißt) oder die Divergenz die
> 10x aufweißt.
> Ich behaupte jetzt erstmal, dass für x --> [mm]\infty[/mm] f(x) -->
> 0 gelte. Jetzt muss du nur überprüfe, dass für alle x>X
> [mm]f(x)<\varepsilon[/mm] bei einem beliebigen [mm]\varepsilon[/mm] gilt:
> [mm]\frac{10x}{\varepsilon}<\frac{1}{e^{-0,5x^2}}=e^{0,5x^2}[/mm]
> Und da wir links eine linear und rechts eine
> Exponentialfunktion haben und diese ab einem Wert X in dem
> sie die lineare Funktion schneidet größer als diese ist,
> haben wir das Konvergenzkriterium erfüllt!
> Auf Grund der Symetrie des Graphen von f ergibt sich
> somit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=0= \limes_{x\rightarrow-\infty}
[/mm]
>
Was bedeutet denn dieses [mm] \varepsilon?
[/mm]
> ... 0 gelte. Jetzt muss du nur überprüfe, dass für alle x>X
Wo ist denn der Unterschied zwischen x>X?
Dazu stellt sich mir noch eine Frage, inwiefern ist das der Beweis (das habe ich leider nicht so ganz verstanden.
> Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Toll hätte ich es gefunden, wenn du mir direkt gesagt hättest, dass es keine unendlich Nullstellen gibt. Da wurde ich vom Taschenrechner böswillig getäuscht.
Ansonstne tolle Antwort. Ich danke dir(natürlich auch den anderen, die sich mit der Frage beschäftigt haben).
Grüße Disap
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Hallo!
> Was bedeutet denn dieses [mm]\varepsilon?
[/mm]
> > ... 0 gelte. Jetzt muss du nur überprüfe, dass für alle
> x>X
> Wo ist denn der Unterschied zwischen x>X?
> Dazu stellt sich mir noch eine Frage, inwiefern ist das
> der Beweis (das habe ich leider nicht so ganz verstanden.
Ich schätze, das ist noch zu schwierig für dich, zu Schulzeiten hätte ich damit auch nichts anfangen können. So etwas lernt man dann auf der Uni. Für dich müsste es eigentlich reichen, dass du dir vorstellst, was mit der Funktion passiert, wenn du immer größere bzw. kleinere Werte einsetzt. Oder sollt ihr auch richtig beweisen, dass das der Grenzwert ist? Dann müsstet ihr dafür aber eine Definition haben.
> Toll hätte ich es gefunden, wenn du mir direkt gesagt
> hättest, dass es keine unendlich Nullstellen gibt. Da wurde
> ich vom Taschenrechner böswillig getäuscht.
Was meinst du mit "unendlich Nullstellen"? Das hatte mich vorhin schon gewundert. [mm] \infty [/mm] ist doch keine Zahl, die du einfach einsetzen kannst, und für die der Funktionswert dann 0 wird!? Und was hast du da in den Taschenrechner eingegeben? Wahrscheinlich immer größere Zahlen, und irgendwann hat er dir eine 0 zurückgegeben?  Das liegt an der beschränkten Rechengenauigkeit des Rechners (Taschenrechner sind sehr gefährlich, wenn man noch nicht sehr viel Ahnung von der Mathematik hat.).
Ich hoffe, jetzt sind alle Klarheiten beseitigt?
Ansonsten frag nochmal.
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Disap,
> > Für das Verhalten gegen Unendlich mache dir erstmal klar,
> > das die Funktion ungerade ist. Ferner gibt es nur zwei
> > Möglichkeiten bei dem Verhalten, entweder eine Konvergenz
> > gegen 0 (die [mm]e^{-0,5x^2}[/mm] aufweist) oder die Divergenz die
> > 10x aufweist.
> > Ich behaupte jetzt erstmal, dass
> > für x --> [mm]\infty[/mm] f(x) --> 0 gelte.
> > Jetzt muss du nur überprüfen, dass für alle [mm] x>X_0 [/mm]
> > [mm]f(x)<\varepsilon[/mm] bei einem beliebigen [mm]\varepsilon[/mm] gilt:
> >
> [mm]\frac{10x}{\varepsilon}<\frac{1}{e^{-0,5x^2}}=e^{0,5x^2}[/mm]
Dieses ist die "übliche"  Grenzwertbetrachtung.
Nicht in jeder Klasse werden Folgen behandelt und daher fällt es Schülern sehr schwer, diesen Überlegungen zu folgen.
Ich versuch' mal eine Erklärung anhand dieses Beispiels:
Bastiane stellt die Behauptung auf, dass die Funktion für x -> [mm] \infty [/mm] der x-Achse zustrebt, sie aber nicht trifft (also keine weitere Nullstelle hat):
Man wählt einen Wert [mm] X_0 [/mm] (ziemlich groß, nur in Gedanken) und zeigt, dass für alle [mm] x>X_0 [/mm] die Funktionswerte "nur noch ein ganz klein wenig" größer als 0 sind:
$f(x)-0 < [mm] \epsilon$ \Rightarrow $10x*e^{-0,5x^2} [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 10x < [mm] $\bruch{\epsilon}{e^{-0,5x^2}}= \epsilon [/mm] * [mm] e^{0,5x^2}$
[/mm]
Jetzt steht links eine lineare Funktion, rechts aber eine Exponentialfunktion, von der man weiß, dass sie für große x viel stärker steigt als jede lineare Funktion: es gibt also bestimmt diese Zahl [mm] X_0, [/mm] von der an für alle x > [mm] X_0 [/mm] diese Ungleichung erfüllt ist.
Und das sogar für jedes noch so kleine [mm] \epsilon [/mm] >0, das ich auswählen kann.
Damit ist gezeigt, dass sich die Funktionswerte f(x) für große x der x-Achse "beliebig stark" nähern, sie aber nicht treffen, weil [mm] $e^{-0,5x^2}$ [/mm] natürlich immer > 0 ist.
> > Und da wir links eine linear und rechts eine
> > Exponentialfunktion haben und diese ab einem Wert [mm] X_0 [/mm] in
> dem
> > sie die lineare Funktion schneidet größer als diese ist,
> > haben wir das Konvergenzkriterium erfüllt!
> > Auf Grund der Symmetrie des Graphen von f ergibt sich
>
> > somit:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}=0= \limes_{x\rightarrow-\infty}
[/mm]
> >
>
> Was bedeutet denn dieses [mm] \varepsilon? [/mm]
Es steht für eine "beliebig kleine positive" Zahl, die man wählen kann, um zu zeigen, dass der Abstand zu einem Grenzwert (feste Zahl) beliebig klein gemacht werden kann.
> > ... 0 gelte. Jetzt muss du nur überprüfe, dass für alle [mm] x>X_0
[/mm]
> Wo ist denn der Unterschied zwischen [mm] x>X_0?
[/mm]
Ich habe das große X mal in [mm] X_0 [/mm] umbenannt, damit schon im Schriftbild der Unterschied besser deutlich wird.
Dieses [mm] X_0 [/mm] grenzt den Bereich ab, in dem die Ungleichung $f(x)-0< [mm] \epsilon$ [/mm] überhaupt gelten kann:
wenn wir für x Werte einsetzen, die kleiner sind als 4, z.B. 3, dann liegen die Funktionswerte durchaus nicht "in der Nähe" von Null!
Aber daran sind wir ja auch nicht interessiert, wir wollen ja für x -> [mm] \infty [/mm] die Funktion untersuchen, und dann reicht es, für x > 100 (z.B.) nachzuschauen: also [mm] X_0 [/mm] = 100.
> Dazu stellt sich mir noch eine Frage, inwiefern ist das
> der Beweis (das habe ich leider nicht so ganz verstanden.
>
> > Ich hoffe ich konnte dir helfen.
>
> Toll hätte ich es gefunden, wenn du mir direkt gesagt
> hättest, dass es keine unendlich Nullstellen gibt. Da wurde
> ich vom Taschenrechner böswillig getäuscht.
> Ansonstne tolle Antwort. Ich danke dir(natürlich auch den
> anderen, die sich mit der Frage beschäftigt haben).
Tja, Taschenrechner sind eben nur "beschränkt" und nicht tauglich, mit ganz kleinen Zahlen zu rechnen! Ist eine Zahl kleiner als [mm] $10^{-12}$, [/mm] so setzt der TR sie einfach auf Null und meint, fürs tägliche Leben reicht das doch wohl.
Aber Mathematik ist eben mehr als tägliches Leben
Und in unserer Vorstellung kann [mm] \epsilon [/mm] eben durchaus auch gleich [mm] $10^{-100} \ne [/mm] 0$ sein, und man kann damit weiter argumentieren.
So, das war jetzt viel Theorie am frühen Morgen.
Ich hoffe mal, du konntest mir folgen - wenn nicht, frag einfach weiter nach.
Ich will mich mal bemühen, diesen Sachverhalt auch in der MatheBank noch deutlicher zu beschreiben - TODO!.
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