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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 19.02.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\setminus\{0\}\to\IR; f(x)=\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x²}
[/mm]
Bestimme:
a) Schnittpunkte mit x-,y-Achse und die Mengen {f<0},{f>0}
b) Stetigkeitsstellen und Asymptoten
c) lokale und globale Extrema von f
d) Das Bild von f; ist f injektiv? |
zu a) Da der Graph auf x=0 nicht definiert ist, existiert kein Schnittpunkt mit der y-Achse, für Schnittpunkt mit der x Achse setze f(x)=0 und man erhält x=-1. Also ist S(-1|0) Der Schnittpunkt mit der x-Achse. Damit ergeben sich die Mengen:
{f<0}={x|x<-1}
[mm] \{f>0\}=\{x|-10\}
[/mm]
zu b) Ich hab keine Ahnung, wie ich die Stetigkeitsstellen bestimme, kann mir jemand eine "Anleitung" geben? Zu den Asymptoten würde ich sagen, dass die y-Achse eine ist, da für [mm] x\to0 [/mm] gilt: [mm] f(x)\to\infty [/mm] und die x-Achse ist auch eine, da gilt: [mm] x\to\infty [/mm] folgt: [mm] f(x)\to0. [/mm] Wie ich das begründe, weis ich nicht.
zu c) würd ich einfach wie in der Schule machen: Ableitung gleich null setzen, berechnen, dann in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, ob es ein Sattelpunkt, Maximum oder Minimum ist. Aber wie entscheide ich dann über Globalität?
d) Was ist mit Bild gemeint? Eine Menge oder ein Graph?
Die Injektivität kann man glaube ich rechnerisch wiederlegen mit sei [mm] f(x_1)=f(x_2), [/mm] dann kann ma zeigen: [mm] x_1\not=x_2
[/mm]
Ist das, was ich schon habe so richtig und wer kann mir beim Rst weiterhelfen?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Di 19.02.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
> zu a) Da der Graph auf x=0 nicht definiert ist, existiert
> kein Schnittpunkt mit der y-Achse, für Schnittpunkt mit der
> x Achse setze f(x)=0 und man erhält x=-1. Also ist S(-1|0)
> Der Schnittpunkt mit der x-Achse. Damit ergeben sich die
> Mengen:
> {f<0}={x|x<-1}
> [mm]\{f>0\}=\{x|-10\}[/mm]
richtig
> zu b) Ich hab keine Ahnung, wie ich die Stetigkeitsstellen
> bestimme, kann mir jemand eine "Anleitung" geben? Zu den
> Asymptoten würde ich sagen, dass die y-Achse eine ist, da
> für [mm]x\to0[/mm] gilt: [mm]f(x)\to\infty[/mm] und die x-Achse ist auch
> eine, da gilt: [mm]x\to\infty[/mm] folgt: [mm]f(x)\to0.[/mm] Wie ich das
> begründe, weis ich nicht.
Bei der Bestimmtung der Asymptote machst du einen Fehler. Die Regel lautet, wenn für [mm]x\to\pm\infty[/mm] die Funktion gegen eine Zahl a kovergiert, dh. [mm]f(x)\to a[/mm], dann ist y=a eine waagerechte Asymptote. Hier ist y=0 die waagerechte Asymptote.
Übrigens: Schräge Asymptoten treten hier nicht auf - weißt du warum?
Ich denke mit den Stetigkeitsstellen ist gefragt, ob im Pol x=0 eine hebbare Unstetigkeit vorliegt. Sieh dir dazu die Mengen an, die du unter a) definiert hast.
> zu c) würd ich einfach wie in der Schule machen: Ableitung
> gleich null setzen, berechnen, dann in die zweite Ableitung
> einsetzen und prüfen, ob es ein Sattelpunkt, Maximum oder
> Minimum ist. Aber wie entscheide ich dann über Globalität?
Am Beispiel Maximum heißt global, dass es keinen Funktionswert gibt, der größer ist als das Maximum. Teste dies einfach indem du die Grenzwerte [mm]\limes_{n\rightarrow\pm\infty}f(x)[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow 0}f(x)[/mm] betrachtest.
Allerdings, sehe ich bei dieser Funktion keine Extrema.
> d) Was ist mit Bild gemeint? Eine Menge oder ein Graph?
> Die Injektivität kann man glaube ich rechnerisch
> wiederlegen mit sei [mm]f(x_1)=f(x_2),[/mm] dann kann ma zeigen:
> [mm]x_1\not=x_2[/mm]
Die Menge aller Funtionswerte f(x) ist hier gefragt. Aus der Schule kennst du das eher als Wertebereich.
Injektivität ist richitg, dürfte hier aber umständlich sein. Ein Gegenbeispiel reicht.
LG, zetamy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mi 20.02.2008 | | Autor: | manmath |
kleine Ergänzung zu c) und d)
aus der ersten und mit der zweiten Ableitung sieht man, dass bei x = -2 ein Minimum mit dem Funktionswert -1/4 liegt, dies ist ein globales Minimum, weil die Funktion sonst keinen kleineren Wert annimmt. Globales Maximum ist + [mm] \infty
[/mm]
Die Bildmenge geht dann von -1/4 bis [mm] +\infty
[/mm]
Nicht injektiv ist die Funktion, weil zB für y = 1 zwei x-Werte herauskommen.
Bildlich gesprochen sieht der Graph etwa so aus:
dicht unterhalb der der x-Achse neigt sich die Funktion auf das Minimum zu, schneidet die x-Achse bei -1 und verschwindet nach oben vor x=0 ins Plus-Unendliche, im ersten Quadranten sieht sie wie ein leicht nach unten deformierter Hyperbelast aus.
LG manmath
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 20.02.2008 | | Autor: | manmath |
Eine etwas allgemeinere Frage zur Injektivität in Kurvendiskussionen:
Gilt allgemein folgende Aussage? Wenn ja, wie kann man sie beweisen?
Sei f(x) in einem Intervall (a,b) differenzierbar und besitze in c aus (a,b) ein lokales Minimum oder Maximum, dann ist f(x) über (a,b) nicht injektiv.
Beweisansatz: In c existiert eine Tangente mit Steigung Null (notwendige Bedingung für das Extremum) und die Ableitung wechselt in c das Vorzeichen (hinreichende Bedingung) z.B. von negativ nach positiv bei einem lok. Minimum , dh. die Funktion ist in einer Umgebung U von c konvex (Minimum) und konkav (Maximum).
Dann gibt es eine zur Tangente am Extremum parallele Sekante (auch Steigung null), die die Funktion innerhalb dieser Umgebung U zweimal schneidet, daraus folgt:
innerhalb dieser Umgebung U gibt es x1 ungleich x2 mit f (x1) gleich f (x2), also ist f nicht injektiv über (a,b).
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> Sei f(x) in einem Intervall (a,b) differenzierbar und
> besitze in c aus (a,b) ein lokales Minimum oder Maximum,
> dann ist f(x) über (a,b) nicht injektiv.
Hallo,
die Aussage gilt sogar unter deutlich schwächeren Bedingungen.
Auf die Diffbarkeit kannst Du verzichten, auf die die Stetigkeit kommt es an.
Zum Beweis brauchst Du dann die Definition des Maximums und den Zwischenwertsatz.
In Deinem Beweis, welcher für meinen Geschmack "zuviel" verwendet, sehe ich nichts Falsches, allerdings wäre der Schritt von "konvex" zur Sekante mit Steigung Null noch erklärungsbedürftig.
Gruß v. Angela
>
> Beweisansatz: In c existiert eine Tangente mit Steigung
> Null (notwendige Bedingung für das Extremum) und die
> Ableitung wechselt in c das Vorzeichen (hinreichende
> Bedingung) z.B. von negativ nach positiv bei einem lok.
> Minimum , dh. die Funktion ist in einer Umgebung U von c
> konvex (Minimum) und konkav (Maximum).
> Dann gibt es eine zur Tangente am Extremum parallele
> Sekante (auch Steigung null), die die Funktion innerhalb
> dieser Umgebung U zweimal schneidet, daraus folgt:
> innerhalb dieser Umgebung U gibt es x1 ungleich x2 mit f
> (x1) gleich f (x2), also ist f nicht injektiv über (a,b).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 07.03.2008 | | Autor: | manmath |
Zum Beweis der Injektivität von diffbaren Funktionen in einem Intervall mit einem Extremum noch eine Idee:
Kann man die Injektivität in diesem Fall nicht ganz einfach mit dem Satz von Rolle beweisen?
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> Zum Beweis der Injektivität von diffbaren Funktionen in
> einem Intervall mit einem Extremum noch eine Idee:
> Kann man die Injektivität in diesem Fall nicht ganz
> einfach mit dem Satz von Rolle beweisen?
Hallo,
und: ????
Wenn die Funktion stetig ist und im offenen Intervall einen Extremwert hat, ist sie doch gerade nicht injektiv.
Was genau willst Du mit dem Satz v. Rolle zeigen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 10.03.2008 | | Autor: | manmath |
oh sorry, ich meinte Nicht-Injetivität.
Der Satz von Rolle: sei f in einem kompakten Intervall a,b stetig und im offenen Intervall differenzierbar und sei f(a) = f(b), dann existiert ein xo aus a,b mit f'(xo) = 0.
Dass heißt doch es gibt in a,b ein Extremum.
Kann man nicht umgekehrt schließen ("Rolle rückwärts"), dass wenn in a,b ein Extremum existiert, dann muss es f(x1) = f(x2) geben, dh f wäre nicht injektiv.
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> Der Satz von Rolle: sei f in einem kompakten Intervall a,b
> stetig und im offenen Intervall differenzierbar und sei
> f(a) = f(b), dann existiert ein xo aus a,b mit f'(xo) = 0.
> Dass heißt doch es gibt in a,b ein Extremum.
> Kann man nicht umgekehrt schließen ("Rolle rückwärts"),
> dass wenn in a,b ein Extremum existiert, dann muss es f(x1)
> = f(x2) geben, dh f wäre nicht injektiv.
Hallo,
das, was Du als "Rolle rückwärts" bezeichnest, ist einfach eine Folgerung aus der Def. des Extremwertes, verbunden mit der Stetigkeit. Ich glaube, ich hatte das anfangs schonmal geschrieben.
Gruß v. Angela
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