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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Sa 08.03.2008 | | Autor: | djun |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3+3x+5 [/mm] / [mm] x^2+3x
[/mm]
* max. Definitionsbereich ermitteln
* Art der Unstetigkeit
* Charakter der Extrema
* Verhalten fuer x->unendlich |
Grüsz Euch,
ich hab ein kleines Analysis Problem, eigentlich sinds mehrere, aber mehr dazu spaeter :)
Mir ist nicht ganz klar wie ich den Definitionsbereich ermittle, (vor allem wenn ich keinen Graphen gegeben habe, sondern den selber zeichnen muss) bei einer rationalen Funktion wie hier ist es ja noch ersichtlich, aber was ist wenn das so aussieht?
Was ist aber wenn ich [mm] f(x)=x^2*e^-x [/mm] gegeben habe?
Zur Unstetigkeit: Ueberpruefe ich diese mit dem [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}, [/mm] falls er existiert habe ich einen hebbare unstetigkeit, ansonsten eine Polstelle(->Asymptote)? Falls ich dann eine Asymptote habe, wie berechne ich dann die Geradenglg und ueberpruefe ob es eine vertikale oder horizontale ist?
Wenn ich das Extrema untersuche, nehme ich dann die Grundfunktion und setze dort den Extremwert ein, schau dann einfach ob < bzw >0?
Sorry sind ein bissal viele Fragen, hoffe es ist ersichtlich was ich meine.
Herzlichsten Dank und Gruß aus Wien,
David
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo David,
ich habe meine Kommentare an die entsprechenden Stellen Deines Postings geschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
> [mm]f(x)=x^3+3x+5[/mm] / [mm]x^2+3x[/mm]
>
> * max. Definitionsbereich ermitteln
> * Art der Unstetigkeit
> * Charakter der Extrema
> * Verhalten fuer x->unendlich
> Grüsz Euch,
>
> ich hab ein kleines Analysis Problem, eigentlich sinds
> mehrere, aber mehr dazu spaeter :)
>
> Mir ist nicht ganz klar wie ich den Definitionsbereich
> ermittle, (vor allem wenn ich keinen Graphen gegeben habe,
> sondern den selber zeichnen muss) bei einer rationalen
> Funktion wie hier ist es ja noch ersichtlich, aber was ist
> wenn das so aussieht?
So ein Bruch ist an den Stellen nicht definiert, an denen sein Nenner Nullstellen aufweist. Wie man schnell sieht, ist das in Deiner Aufgabe garantiert bei 0 der Fall und noch an einer weiteren Stelle.
> Was ist aber wenn ich [mm]f(x)=x^2*e^-x[/mm] gegeben habe?
Bei so einer Funktion ist der gesamte reelle Zahlenbereich der Definitionsbereich.
> Zur Unstetigkeit: Ueberpruefe ich diese mit dem
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty},[/mm] falls er existiert habe ich
> einen hebbare unstetigkeit, ansonsten eine
> Polstelle(->Asymptote)? Falls ich dann eine Asymptote habe,
> wie berechne ich dann die Geradenglg und ueberpruefe ob es
> eine vertikale oder horizontale ist?
Eine Polstelle, wenn sie nicht gerade durch eine entsprechende Nullstelle gehoben wird, führt immer zu einer vertikalen Unstetigkeit.
> Wenn ich das Extrema untersuche, nehme ich dann die
> Grundfunktion und setze dort den Extremwert ein, schau dann
> einfach ob < bzw >0?
Falls Du mit Grundfunktion die zweiteAbleitung der Funktion meinst, dann stimmt die Vorgehensweise.
Allgemein gilt: Funktion ableiten (in diesem Fall die Quotientenregel anwenden) und den hierdurch entstehenden Ausdruck zu Null setzen (dafür langt es den Zähler des ergebnisses Null zu setzen). So bekommt man die x-werte der Extremwertpositionen heraus. Dann die zweite Ableitung berechnen und die x-Werte der Extremstellen dort einsetzen. Ist das ergebnis kleiner 0, handelst es sich um ein Maximum, ist es größer 0 um ein Minimum.
> Sorry sind ein bissal viele Fragen, hoffe es ist
> ersichtlich was ich meine.
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> Herzlichsten Dank und Gruß aus Wien,
>
> David
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Hing |
hi, der definitionsbereich ist der bereich den du nicht "benutzen" darfst. oder anders gesagt: der nicht "definiert" ist. wenn du einen bruch hast dann darf man nicht mit 0 dividieren. in deinem fall: [mm] x^{2}+3x \not= [/mm] 0.
das ganze nach 0 auflösen. also die pq formel benutzen und dann hast du zwei nullstellen an denen deine funktion gleich null wird. richtig gut anschaulich wird sowas wenn du dir das auch plotten lässt, also graphisch darstellst. dazu gibt es tolle kostenlose programme im internet. auf meinem mac ist eines schon dabei namens "Grapher". dann sieht man erst weshalb man die nicht definierten x-stellen nicht benutzen darf.
die andere funktion [mm] (x^{2}+e^{-x}) [/mm] ist unproblematisch, weil es da keine brüche gibt die null ergeben könnten oder WURZELN die kleiner null.
einen pol hast du wenn 'nullstellen' im bruch hast, und diese nullstellen im bruch nicht mit nullstellen im zähler gekürzt werden können!! (hebbare nullstelle).
die asymptote kannst du mit der polynomdiv. berechnen. einfach das ganze dividieren. (der rest ist NICHT die asymphtote!). aber nur wenn es ein unechter bruch ist.
das mit dem extrema war anders ;). du suchst dir von der ersten ableitung die nullstellen. und schaust bei der ZWEITEN ableitung nach ob grösser oder kleiner null (wegen max oder min).
und da du noch so grosse lücken hast und ich will das du was lernst, will ich dir noch einen tollen tip geben. kauf dir dieses buch (link):
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alle anderen kannst du dir aus der bücherei ausleihen. aber diese formelsammlung kann ich dir nur wärmstens empfehlen.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:23 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Sorry, aber die Vorgehensweise zur Bestimmung der Extrema ist leider verkehrt. Es ist schon so, wie ich es beschrieben habe mit der ersten und zweiten Ableitung, die zweite und dritte hilft hier nicht weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 08.03.2008 | | Autor: | djun |
vielen dank fuer die rasche hilfe!
naja, meine analysis kenntnisse sind lueckenhaft und ich habe bald eine große pruefung - buecher habe schon einige.
zum Definitionsbereich, ist das immer der GANZE bereich wenn ich keine rationale funktion habe und dadurch undefinierte nullstellen im nenner?
wie genau stell ich dann die Asymptote auf, nach der BPZ erhalte ich dann als ergebnis die Asymptote? die kann es dann logischerweise auch nur geben wenn ich einen bruch habe?
was ist mit der zweiten funktion, wie leite ich die denn ab? ($ [mm] f(x)=x^2\cdot{}e^-x [/mm] $)
was passiert ueberhaupt wenn ich kettenregel UND produktregel bzw quotientenregel anwenden muss - gibts da eine reihenfolge oder einfach eine nach der andern?
herzlichsten dank noch mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 08.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
der Definitionsbereich einer Funktion ist entweder in der Aufgabenstellung bereits vorgegeben, oder man sucht den maximalen Definitionsbereich d.h.
man sucht die größte Teilmenge der reellen Zahlen, aus der man die Variable x wählen kann, ohne gegen eine Rechenregel zu verstoßen.
Solche Verstöße gibt es z.B. wenn ein Nenner 0 wird (das kann bei rationalen Funktionen auftreten), wenn unter einer Wurzel eine negative Zahl steht, wenn das Argument eines Logarithmus nicht posititv ist usw.
In deinem Fall muss du nur die Nullstellen des Nennerpolynoms ausschließen, dann hast du den maximalen Definitionsbereich.
Asymptoten sind Gerade, an die sich der Funktionsgraph annähert. Du erhälst sie z.B. bei rationalen Funktionen. In jeder Polstelle d.h. in jeder Nennernullstelle, die sich nicht wegkürzen läßt) hast du eine senkrechte Asymptote. Weitere Asymptoten erhälst du für x gegen [mm] \infty [/mm] Dabei kommt es auf den Grad des Zählerpolynoms und den Grad des Nennerpolynoms an. Bezeichnen wir die beiden mit z und n so gilt:
Falls z < n so ist die x-Achse waagrechte Aymptote.
Falls z = n so gibt es eine waagrechte Asymptote bei y = [mm] \frac{a}{b} [/mm] wobei a und b die führenden Koeffizienten im Zähler und Nenner (d.h. die bei den höchsten Potenzen von x) sind.
Falls z = n + 1 so gibt es eine schiefe Asymptote (deren Gleichung erhält man, wenn man den Zähler mittels Polynomdivision durch den Nenner teilt)
Falls z > n +1 so gibt es eine asymptotische Kurve aber keine Asymptote.
Beim Ableiten der zweiten Funktion gehst du immer von außen nach innen vor! In diesem Fall also zuerst die Produktregel und dann die Kettenregel, es kann natürlich auch Beispiel geben, wo man beide Regeln in umgekehrter Reihenfolge anwenden muß.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:02 So 09.03.2008 | | Autor: | djun |
| Aufgabe | [mm] f(x)=x*lnx^a
[/mm]
*berechne die Steigung an der Stelle 3a
* Gleichung der Tangente an der Stelle x0 |
Vielen, vielen Dank!
Ok das mit der Asympt. versteh ich soweit, bei beispielen die man rechnen muss wird in der Regel eh der Fall mit der Polynomdivision kommen oder?
Beim ersten Beispiel bekomm ich dann nach der Division fuer meine Asym. y=x+1 - das ist etwas seltsam, weils leider ueberhaupt nicht zum Graphen passt, da die die Asym. steil bei Null gegen unendlich strebt. Kann das so stimmen?
Das Ableiten der von zweiten Funktion gelingt mir leider nicht, ich bekomme dann etwas wie => [mm] 2x*e(^-x)^2.
[/mm]
Falls ich die Steigung einer Stelle, zB 3a (aeR) berechnen muss, nehme ich dann einfach die erste Ableitung und setzte diese gleich 3a? Da bekomme ich dann folgendes Problem dass ich nicht weiß wie ich den ln algebraisch umformen / "eliminieren" kann. Koennte mir bitte jemand bei diesem Teilschritt der Aufgabe helfen?
Fuer die Gleichung der Tangente habe ich zwar etwas im Skriptum gefunden, das sagt mir aber ehrlich gesagt nichts. Koennte mir da jemand helfen?
Gibt es dann NUR Asymptoten wenn ich entweder eine rationale Funktion habe, oder einen Wurzel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 11.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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