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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Fr 14.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion durch und skizzieren Sie den Graphen der Funktion.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] für x [mm] \in\IR\sub, [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0 |
Hallo Zusammen,
Ableitungen:
f'(x) = [mm] -\bruch{1}{x²} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x³}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{2}{x³} [/mm] - [mm] \bruch{6}{x^4}
[/mm]
f'''(x) = [mm] -\bruch{6}{x^4} [/mm] + [mm] \bruch{24}{x^5}
[/mm]
Nullstellen:
[mm] x_1 [/mm] = 1; [mm] N_1(1|0)
[/mm]
Extremwerte:
[mm] x_2 [/mm] = 2
f hat in [mm] x_2 [/mm] ein lokales Maximum mit f(2) = 0,25
H(2|0,25)
passt soweit, folgendes verstehe ich aber nicht:
Am Rand des Definitionsbereiches (hier: im Nullpunkt) hat f keine weiteren Extremwerte, weil f dort nicht definiert ist.
f ist doch im Punkt 0 nicht definiert, denn durch Null darf mach nicht teilen. Ansonsten doch überall, oder täusche ich mich da? Dann gibt es doch keinen Rand des Definitionsbereiches, es ist kein Intervall angegeben indem die Funktion untersucht werden soll, was ich als Rand des Definitionsbereiches auffasse. Ansonsten hat die Funktion doch den Definitionsbereich der reelen Zahlen, also von [mm] -\infty [/mm] und [mm] +\infty [/mm] ?
Wendepunkte:
[mm] x_3 [/mm] = 3
f(3) = [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
Weiter verstehe ich folgendes nicht:
In diesem Falle besitzt die Funktion f Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte nur im Bereich der positiven Zahlen. Um den Graphen von f auch für negative Zahlen skizzieren zu können, darf es einer Ergänzung für x < 0:
Aus f'(x) = [mm] -\bruch{1}{x²} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x³} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x²}(-1 [/mm] + [mm] \bruch{2}{x}) [/mm] folgt: f'(x) < 0 für alle x < 0;
f ist dort also streng monoton fallend.
Warum nur im positiven Bereich, die Funktion ist doch nur für x = 0 nicht definiert. Sonst gilt diese doch auch für negative Zahlen? Warum diese Ergänzung?
Aus meiner Sicht kann man noch auf Grenzwerte und Verhalten im Unendlichen untersuchen:
[mm] \lim_{x \to 0} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²}) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \lim_{x \to -\infty} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²}) [/mm] = - 0
[mm] \lim_{x \to +\infty} (\bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x²}) [/mm] = 0
Stimm dies so?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> [mm] N_1(1|0) [/mm] , H(2|0,25) , [mm] WP(3|\bruch{2}{9})
[/mm]
Ja.
> Am Rand des Definitionsbereiches (hier: im Nullpunkt) hat f keine weiteren Extremwerte, weil f dort nicht definiert ist.
Dabei gibt es ein paar Spezialfälle:
Z.B.:
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\le 2 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] , hat ein Maximum bei M(2;2) , obwohl [mm] f'(2)\not= [/mm] 0
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x<2 \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] , hat kein Maximum bei x=2 , da f(2)=0. Es gilt nur [mm] \sup(f)=2
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{x^2}{|x|} [/mm] , hat kein Minimum bei x=0 , da f(0) nicht definiert. Wieder nur [mm] \inf(f)=0
[/mm]
Es gibt also verschiedene Verhalten in der nähe von Definitionslücken/Sprüngen, die man auch jeweils nochmal erwähnen sollte.
Mathematisch gesehen ist der Rand von [mm] \IR\backslash\{0\} [/mm] die 0.
> Warum nur im positiven Bereich ?
Hier geht es um das Aussehen der Funktion. Da bei Nullst., Max. und Wp. nur positive x-Werte herrausgekommen sind, hat man noch keine richtige Ahnung wie die Funktion für x<0 zu zeichnen ist. Mit "f ist dort also streng monoton fallend." ist man schonmal einen Schritt weiter.
> Aus meiner Sicht kann man noch auf Grenzwerte und Verhalten im Unendlichen untersuchen.
Genau. Macht man eigentlich sogar noch vor den Extremwerten.
> [mm] \lim_{x \to -\infty} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x²}) [/mm] = - 0
Es gibt keine -0. Dort musst du 0 schreiben.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Mubidoo |
Hi itse !
Du hast richtig abgeleitet, Nullstellen, Extrema und Wnedepunkte sind auch korrekt. Richtig ist auch, dass f(x) für x<0 durchweg negativ ist und streng monoton fallend ist. Deine Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}. [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] sind auch korrekt. Bei der Untersuchung am Rand des Def. Bereiches kann es sich nur um die Untersuchng der Def.-Lücke handeln, da dies der einzige nicht definierte Bereich ist. Allerdings sollte man diese Stelle von beiden Seiten untersuchen. Du musst soweit ich weiß bestimmen, welche Art von Def.-Lücke hier vorliegt, behebbare Lücke, Pol mit/ohne VZW, etc.
Ansonsten fällt mir gerade auch nicht mehr ein.
Lieben Gruß
Mubidoo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 14.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Aus f'(x) = [mm]-\bruch{1}{x²}[/mm] + [mm]\bruch{2}{x³}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x²}(-1[/mm] + [mm]\bruch{2}{x})[/mm] folgt: f'(x) < 0 für alle
> x < 0;
>
> f ist dort also streng monoton fallend.
Wie kommt man den auf [mm] \bruch{1}{x²}(-1 [/mm] + [mm] \bruch{2}{x}) [/mm] ?
Wie zeige ich dies am besten, was passiert wenn x < 0?
Um den Graphen zeichnen zu können benötigt man noch das Verhalten für x < 0, also das Monotonierverhalten der Funktion soll bestimmt werden.
Der Hochpunkt liegt bei [mm] x_2 [/mm] = 2 und die Polstelle bei [mm] x_0 [/mm] = 0
Somit kann man nun mit Hilfe der Ableitung f'(x) untersuchen, was in den Intervallen x < 0, 0 < x < 2 und x > 2 passiert:
f'(-0,1) = -3100 < 0 -> streng monoton fallend
f'(1) = 1 > 0 monoton steigend
f'(2,1) = -0,01 < 0 monoton fallend
so hätte man es doch auch untersuchen können, um dann den Graphen zu zeichen, oder?
Vielen Dank für die bisherigen Antworten.
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
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> > Aus f'(x) = [mm]-\bruch{1}{x²}[/mm] + [mm]\bruch{2}{x³}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{x²}(-1[/mm] + [mm]\bruch{2}{x})[/mm] folgt: f'(x) < 0 für alle
> > x < 0;
> >
> > f ist dort also streng monoton fallend.
>
> Wie kommt man den auf [mm]\bruch{1}{x²}(-1[/mm] + [mm]\bruch{2}{x})[/mm] ?
Na, da ist doch bei [mm] $f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}$ [/mm] "nur" [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] ausgeklammert: mit Zwischenschritt:
[mm] $f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}=-1\cdot{}\blue{\frac{1}{x^2}}+\frac{2}{x}\cdot{}\blue{\frac{1}{x^2}}=\blue{\frac{1}{x^2}}\cdot{}\left(-1+\frac{2}{x}\right)$
[/mm]
>
> Wie zeige ich dies am besten, was passiert wenn x < 0?
Wenn $x<0$ ist, dann ist [mm] $\frac{1}{x^2}>0$ [/mm] (das ist es ja eh  ) und [mm] $\underbrace{-1}_{<0}+\underbrace{\frac{2}{x}}_{<0}$ [/mm] ist $<0$
Also ist insgesamt [mm] $\frac{1}{x^2}\cdot{}\left(-1+\frac{2}{x}\right)<0$
[/mm]
> Um den Graphen zeichnen zu können benötigt man noch das
> Verhalten für x < 0, also das Monotonierverhalten der
> Funktion soll bestimmt werden.
>
> Der Hochpunkt liegt bei [mm]x_2[/mm] = 2 und die Polstelle bei [mm]x_0[/mm] =
> 0
>
> Somit kann man nun mit Hilfe der Ableitung f'(x)
> untersuchen, was in den Intervallen x < 0, 0 < x < 2 und x
> > 2 passiert:
>
> f'(-0,1) = -3100 < 0 -> streng monoton fallend ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f'(1) = 1 > 0 monoton steigend
>
> f'(2,1) = -0,01 < 0 monoton fallend
Das kannst du so machen, weil bei $x=2$ das einzige Extremum ist
>
> so hätte man es doch auch untersuchen können, um dann den
> Graphen zu zeichen, oder?
Ja!
Du hättest es auch an dem schön umgeformten Ausdruck für die 1. Ableitung untersuchen können:
[mm] $f'(x)=\frac{1}{x^2}\cdot{}\left(-1+\frac{2}{x}\right)$
[/mm]
Den Fall $x<0$ haben wir schon abgehakt.
Was ist für $0<x<2$?
Dann ist [mm] $\frac{2}{x}>1$ [/mm] und damit [mm] $-1+\frac{2}{x}>0$, [/mm] also ...
Und was für $x>2$?
>
> Vielen Dank für die bisherigen Antworten.
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Fr 14.03.2008 | | Autor: | itse |
> Du hättest es auch an dem schön umgeformten Ausdruck für
> die 1. Ableitung untersuchen können:
>
> [mm]f'(x)=\frac{1}{x^2}\cdot{}\left(-1+\frac{2}{x}\right)[/mm]
>
> Den Fall [mm]x<0[/mm] haben wir schon abgehakt.
>
> Was ist für [mm]0
>
> Dann ist [mm]\frac{1}{x²}>0[/mm] und [mm]-1+\frac{2}{x}>0[/mm], also
f'(x) > 0 für 0 < x < 2
monoton steigend
> Und was für [mm]x>2[/mm]?
[mm] \bruch{1}{x²} [/mm] > 0
-1 [mm] +\bruch{2}{x} [/mm] < 0
somit f'(x) < 0 für x > 2
monoton fallend
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