Kurvendiskussion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | Parabel: [mm] y=-x^2+4, [/mm]
Wendetangente: y=2x+5
Durch welchen Punkt der Parabel geht die Tangente, die normal auf t steht und wie lautet die Gleichung? |
Grüß euch,
habe leider keinen Anhaltspunkt wie ich o. a. Aufgabe löse, könnte mir bitte jemand helfen.
Gruß, mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
Komische Aufgabenstellung.
Da wendet sich doch nichts; immerhin ist die Tangente eine. Du hast bestimmt schon ausgerechnet, wo sie die Parabel berührt (einfach beide Funktionen gleichsetzen).
Was ist denn t? Wenn das eine Linie ist, die senkrecht zu einer Tangente steht, also eine Normale der Kurve ist, dann müsste sie mitgegeben sein. Oder irgendwie definiert.
Ich hasse es, Aufgaben zu erraten. Entweder sind sie schlecht gestellt oder unvollständig wiedergegeben. Hier vermute ich allerdings ersteres.
Die einzig interessante Frage, die man hier rekonstruieren könnte, ist diese:
Welche Gleichung hat die Normale zu der gegebenen Tangente, und wo schneidet sie die Parabel ein zweites Mal? Dazu musst Du also eine Gerade finden, die durch den Berührpunkt von Tangente und Parabel geht und senkrecht zur Tangente steht, und dann den zweiten Schnittpunkt ermitteln.
Für die Probe: man findet einen Punkt mit dem y-Wert [mm] \bruch{7}{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mitex |
Danke für deinen Tipp,
> Die einzig interessante Frage, die man hier rekonstruieren
> könnte, ist diese:
> Welche Gleichung hat die Normale zu der gegebenen
> Tangente, und wo schneidet sie die Parabel ein zweites Mal?
> Dazu musst Du also eine Gerade finden, die durch den
> Berührpunkt von Tangente und Parabel geht und senkrecht zur
> Tangente steht, und dann den zweiten Schnittpunkt
> ermitteln.
>
> Für die Probe: man findet einen Punkt mit dem y-Wert
> [mm]\bruch{7}{4}[/mm]
Also der Schnittpunkt von Tangente und Parabel ist bei P(-1/3).
Die Steigung der Normalen ist 1/Steigung, also wäre das: -1/2x
Weiß jetzt aber nicht wie ich den 2. Schnittpunkt bekomme.
Gruß, mitex
|
|
|
| |
|
Richtig! Eine Information hast Du noch übersehen:
Die Normale schneidet ja auch im Punkt (-1;3).
Sie hat die Form [mm] y=-\bruch{1}{2}x+a, [/mm] also muss [mm] a=\bruch{5}{2} [/mm] sein.
Diese Geradengleichung setzt Du mit der Parabelgleichung gleich und findest so zwei Werte für x. Den einen kennst Du schon: x=-1. Bei dem anderen x-Wert findest Du dann den anderen Schnittpunkt.
|
|
|
| |
|
> Richtig! Eine Information hast Du noch übersehen:
> Die Normale schneidet ja auch im Punkt (-1;3).
> Sie hat die Form [mm]y=-\bruch{1}{2}x+a,[/mm] also muss
> [mm]a=\bruch{5}{2}[/mm] sein.
>
> Diese Geradengleichung setzt Du mit der Parabelgleichung
> gleich und findest so zwei Werte für x. Den einen kennst Du
> schon: x=-1. Bei dem anderen x-Wert findest Du dann den
> anderen Schnittpunkt.
hallo mitex und reverend,
an der Aufgabenstellung war vor allem der Ausdruck
"Wendetangente" verwirrend, denn diese Parabel
hat gar keine solche.
Im Übrigen denke ich aber, dass nicht die Gleichung
einer Sekante der Parabel gesucht ist, sondern die-
jenige Tangente [mm] t_2 [/mm] , die zur ersten (gegebenen)
Tangente t normal steht. [mm] t_2 [/mm] hat die Steigung [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Daraus kann man (mit Hilfe der Ableitung der
Parabelfunktion) berechnen, an welcher Stelle
sie die Parabel berührt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Klingt auch sinnvoll, zumal dann ja wenigstens noch die Differenzialrechnung ins Spiel kommt.
Aufgaben, die man erst deuten muss, sind irgendwie ärgerlich.
|
|
|
| |
|
> Aufgaben, die man erst deuten muss, sind irgendwie
> ärgerlich.
sehr einverstanden !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mitex |
Hallöchen, ihr verwirrt mich,
> > Richtig! Eine Information hast Du noch übersehen:
> > Die Normale schneidet ja auch im Punkt (-1;3).
> > Sie hat die Form [mm]y=-\bruch{1}{2}x+a,[/mm] also muss
> > [mm]a=\bruch{5}{2}[/mm] sein.
> >
> > Diese Geradengleichung setzt Du mit der Parabelgleichung
> > gleich und findest so zwei Werte für x. Den einen kennst Du
> > schon: x=-1. Bei dem anderen x-Wert findest Du dann den
> > anderen Schnittpunkt.
>
>
> hallo mitex und reverend,
>
> an der Aufgabenstellung war vor allem der Ausdruck
> "Wendetangente" verwirrend, denn diese Parabel
> hat gar keine solche.
> Im Übrigen denke ich aber, dass nicht die Gleichung
> einer Sekante der Parabel gesucht ist, sondern die-
> jenige Tangente [mm]t_2[/mm] , die zur ersten (gegebenen)
> Tangente t normal steht. [mm]t_2[/mm] hat die Steigung
> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
Also die Steigung ist inzwischen bekannt: [mm]-\bruch{1}{2}[/mm],
[mm]y=-\bruch{1}{2}x+\bruch{5}{2}[/mm],
wird auch a einfach mit a/Steigung berechnet?
> Daraus kann man (mit Hilfe der Ableitung der
> Parabelfunktion) berechnen, an welcher Stelle
> sie die Parabel berührt.
dieser Teil ist mir nicht bekannt, die 1. Ableitung wäre -2x, aber dann?
LG
|
|
|
| |
|
Die Steigung ist bekannt, aber die Gerade ist eine andere, parallel zur bisher angenommenen.
Du suchst also die Stelle [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f'(x_0)=-2x_0=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Tangente muss ja an dieser Stelle die Kurve berühren. Also findest Du für die neue Gerade [mm] h(x)=-\bruch{1}{2}x+b [/mm] Dein b, indem Du sicherstellst, dass der Punkt [mm] (x_0; f(x_0)) [/mm] auf der Gerade liegt.
Sorry für die Verwirrung, aber das liegt an der unklaren Aufgabenstellung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mitex |
> Die Steigung ist bekannt, aber die Gerade ist eine andere,
> parallel zur bisher angenommenen.
>
> Du suchst also die Stelle [mm]x_0[/mm] mit
> [mm]f'(x_0)=-2x_0=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Die Tangente muss ja an dieser Stelle die Kurve berühren.
> Also findest Du für die neue Gerade [mm]h(x)=-\bruch{1}{2}x+b[/mm]
> Dein b, indem Du sicherstellst, dass der Punkt [mm](x_0; f(x_0))[/mm]
> auf der Gerade liegt.
>
> Sorry für die Verwirrung, aber das liegt an der unklaren
> Aufgabenstellung.
tut mir leid, dass ist das nicht verstehe.
Ich habe eine Steigung, die sich nur an einem Punkt der Parabel befindet, weiß kein x und auch kein y,
[mm]f'(x_0)=-2x_0=-\bruch{1}{2}[/mm] - liegt irgendwo auf [mm]-x^2+5[/mm]
bitte entschuldige, stehe komplett daneben, könntest du's noch mal versuchen,
LG
|
|
|
| |
|
Ja, genau.
Die Steigung gibt es, wie jede Steigung, an einer Parabel nur einmal. Deswegen ist der Punkt leicht zu bestimmen.
Du weißt, dass [mm] f'(x_0)=-\bruch{1}{2} [/mm] sein muss, und weißt f'(x)=-2x
Also [mm] f'(x_0)=-2x_0=-\bruch{1}{2}, [/mm] bzw. [mm] x_0=\bruch{1}{4}
[/mm]
Dazu gehört der Funktionswert [mm] f(\bruch{1}{4})=-\left(\bruch{1}{4}\right)^2+4=\bruch{63}{16}=3,9375
[/mm]
Durch diesen Punkt (0,25;3,9375) muss die Tangente mit der Steigung [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ja gehen.
Also sei [mm] h(x)=-\bruch{1}{2}x+b, [/mm] angewandt auf den gefundenen Punkt:
[mm] \bruch{63}{16}=-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{4}+b, [/mm] also [mm] b=\bruch{65}{16}
[/mm]
und damit
[mm] h(x)=-\bruch{1}{2}x+\bruch{65}{16}
[/mm]
Lass Dir doch mal die Parabel und die beiden Geraden aufzeichnen, z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) diesem praktischen Online-Tool. Eingabe: -x^ 2+4;2*x+5;(-0.5)*x+65/16
Den Freiraum nach dem ^ musst Du allerdings löschen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Sa 15.11.2008 | | Autor: | mitex |
Herzlichen Dank, für deine Mühe, jetzt hab ich's.
LG, mitex
|
|
|
|
