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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 07.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die grösstmögliche Definitionsmenge von f in R, diskutieren Sie dann
die Funktion (ohne Wendepunkte zu bestimmen, aber vergessen Sie nicht, den Graphen
zu skizzieren), wenn
$f(x) = x- [mm] \wurzel{25-x^2}$ [/mm] mit [mm] $D_f \subset [/mm] R$
Zeigen Sie auch, wie die Punkte mit vertikalen Tangenten berechnet werden. |
Also, die Definitionsmenge ist ja $D = -5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5$
Die erste Frage stellt sich bei den Asymptoten. Meiner Meinung nach gibt es hier keine Asymptoten. Liege ich hier Richtig? Denn es gibt keine Werte die angenähert werden.-5 und 5 können ja erreicht werden.
Dann zu den Extrempunkten, den Extrempunkt in [mm] x=-\wurzel{12.5} [/mm] habe ich gefunden, aber ich Frage mich ob ich hier noch die Werte am Rande der Definitionsmenge, ähnlich wie bei einem Intervall untersuchen muss?
Und die wichtigste Frage ist die letzte. Was ist damit gemeint "Punkte mit Vertikalen Tangenten berechnen"??
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Hi, Marius,
> Bestimmen Sie die gr¨osstm¨ogliche Definitionsmenge von f
> in R, diskutieren Sie dann
> die Funktion (ohne Wendepunkte zu bestimmen, aber
> vergessen Sie nicht, den Graphen
> zu skizzieren), wenn
> f(x) = x [mm]−\wurzel{25-x^2}[/mm] mit Df ⊂ R
> Zeigen Sie auch, wie die Punkte mit vertikalen Tangenten
> berechnet werden.
> Also, die Definitionsmenge ist ja D = -5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5
Schreib' lieber: D = [-5 ; 5]
> Die erste Frage stellt sich bei den Asymptoten. Meiner
> Meinung nach gibt es hier keine Asymptoten. Liege ich hier
> Richtig?
Es gibt keine senkrechten Asymptoten, da Du keine Definitionslücken in D hast und auch keinen "offenen Rand",
es gibt keine waagrechten oder schiefen As., weil ein Grenzwert x [mm] \to \infty [/mm] oder x [mm] \to -\infty [/mm] in diesem D nicht möglich ist.
Aber: Vergiss die Nullstellen nicht [mm] (x_{1}=0; x_{2/3} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 5.)
und auch nicht die Symmetrie (Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0;0).)
> Dann zu den Extrempunkten, den Extrempunkt in
> [mm]x=-\wurzel{12.5}[/mm] habe ich gefunden,
Es gibt ZWEI (!) relative Extrempunkte. Was ist mit [mm] x=+\wurzel{12,5}?
[/mm]
> aber ich Frage mich ob
> ich hier noch die Werte am Rande der Definitionsmenge,
> ähnlich wie bei einem Intervall untersuchen muss?
Klaro! Dort gibt's noch zwei RAND-Extrempunkte: H(-5;0) und T(5;0)
> Und die wichtigste Frage ist die letzte. Was ist damit
> gemeint "Punkte mit Vertikalen Tangenten berechnen"??
Nun: Vertikale oder senkrechte Tangenten liegen in denjenigen Punkten vor, die zwar zur Definitionsmenge D gehören, bei denen aber der Grenzwert der Ableitung f'(x) gegen [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] strebt.
Und dies ist in Deinem Fall offensichtlich für x=-5 und x=+5 der Fall.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 07.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Erstmals vielen Dank für deine Antwort. Ich habe hier nur die Sachen aufgeschrieben bzw. gefragt die ich wissen will, ich habe schon die ganze Diskussion gemacht.
so
1. Wie kommst du auf 3 Nullstellen und dann erstnoch bei x=0 und x= -/+ 5
Wenn du den Graphen zeichnest siehst du, dass die Nullstelle bei x = [mm] \wurzel{12.5} [/mm] liegt.
Dann bei den Extrema:
Wenn du den Graphen der funktion betrachtest und bei [mm] +\wurzel{12.5} [/mm] siehst du doch, dass die Steigung dort nich = 0 ist.
Das mit den anderen beiden Extrema ist mir jetzt klar.
Das mit den Tangenten muss ich nochmal nachvollziehen.
Und auch mit der Symmetrie bin ich irgendwie nicht ganz einverstanden, zeichne den Graphen, und wenn ich den um den Punkt (0|0) drehe sieht der nicht gleich aus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 07.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Da scheint dann aber einiges schief zu laufen. Hier mal eine Skizze, die Zwergleins Angaben stützt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:09 Di 07.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Uups, da ist mir beim kopieren der Fragestellung ein Fehler unterloffen:
Die Funktion lautet nicht f(x) [mm] =x*\wurzel{25-x^2}
[/mm]
sonder: [mm] f(x)=x-\wurzel{25-x^2}
[/mm]
So sollten meine Angaben ja richtig sein. bei [mm] x=-\wurzel{12.5} [/mm] ist dann der Globale Tiefpunkt, bei x=5 der Globale Hochpunkt und bei x=-5 der lokale Hochpunkt. Stimmt so oder? So ist es natürlich auch nicht Symmetrisch.
Das mit den Tangenten das die gegen [mm] -/+\infty [/mm] streben ist mir klar. Aber was ist mit "die Punkte" gemeint. Die beiden Extrempunkte oder die Definitionsmenge oder was. Gibt ja einige Punkte die man während einer Diskussion betrachtet.
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Hallo Marius6d,
> Uups, da ist mir beim kopieren der Fragestellung ein Fehler
> unterloffen:
>
> Die Funktion lautet nicht f(x) [mm]=x*\wurzel{25-x^2}[/mm]
>
> sonder: [mm]f(x)=x-\wurzel{25-x^2}[/mm]
na, das ist ja eine vollkommen andere Funktion!
>
> So sollten meine Angaben ja richtig sein. bei
> [mm]x=-\wurzel{12.5}[/mm] ist dann der Globale Tiefpunkt, bei x=5
> der Globale Hochpunkt und bei x=-5 der lokale Hochpunkt.
> Stimmt so oder? So ist es natürlich auch nicht
> Symmetrisch.
Könntest du bitte deine Rechnungen in den wichtigsten Teilen hier posten?
Wir können viel schneller (und ohne einen Stift in die Hand zu nehmen) überprüfen, ob deine Überlegungen korrekt sind, wenn wir sehen können, was du gerechnet hast....
>
> Das mit den Tangenten das die gegen [mm]-/+\infty[/mm] streben ist
> mir klar. Aber was ist mit "die Punkte" gemeint. Die beiden
> Extrempunkte oder die Definitionsmenge oder was. Gibt ja
> einige Punkte die man während einer Diskussion betrachtet.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ok, also um den ersten Hochpunkt zu erreichen erstmals, ableiten ergibt dann:
[mm] f'(x)=1+\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}
[/mm]
aufgelöst nach 0 ergibt:
[mm] x=\wurzel{12.5}
[/mm]
ausgerechnet x = -3.535533906 / +3.535533906
Wenn man den Graph betrachtet, sieht man dass nur [mm] -\wurzel{12.5} [/mm] die x-Stelle eines Tiefpunkts ist. [mm] \wurzel{12.5} [/mm] ist nämlich der Schnittpunkt mit der x-Achse.
Dann muss man noch die Hochpunkte am Rande der Definitionsmenge untersuchen, also x=5 und x=-5
Zuerst x=-5
Vonn Links her kann man sich diesem Wert nicht annähern, wenn man aber von x=-5 nach rechts "abdrifted" nimmt der Graph grössere minus Werte an, der Graph ist also lokaler Hochpunkt bei (-5|-5)
Bei x = 5
Wenn man von x = 5 nach links verschiebt werden die x-Werte kleiner. Daher ist bei x=5 ein Extrema, im Punkt (5|5) ein Hochpunkt.
Da der Punkt (5|5) am höchsten liegt, ist er auch globaler Hochpunkt.
Da der Punkt [mm] (-\wurzel{12.5}|-\wurzel{50}) [/mm] der tiefste Punkt der gesamten Funktion ist, liegt hier nicht nur der lokale sondern der globale Tiefpunkt.
Das mit der Symmetrie erkennt man ja sofort, dass es nicht Punktsymmetrisch ist. Was brauchst du noch für weitere Informationen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Am wichtigsten wäre für mich eher zu wissen, was mit "die Punkte finden" gemeint ist. Welche Punkte? Nach dem ich die Kurvendiskussion gemacht habe kenne ich ja schliesslich einen Nullpunkt, und drei Extrempunkte. Welche davon sind denn genau mit "die Punkte" gemeint, wohl die beiden Extremwerte am Rand oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Ok, also um den ersten Hochpunkt zu erreichen erstmals,
> ableiten ergibt dann:
>
> [mm]f'(x)=1+\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}[/mm]
>
> aufgelöst nach 0 ergibt:
>
> [mm]x=\red{\pm}\wurzel{12.5}[/mm]
>
> ausgerechnet x = -3.535533906 / +3.535533906
entweder du machst ne probe (wegen folgerung beim quadrieren) oder machst das quadrieren äquivalent (x [mm] \in \IR_-), [/mm] dann siehst du, dass nur [mm] -\sqrt{12,5} [/mm] lösung ist
>
> Wenn man den Graph betrachtet, sieht man dass nur
> [mm]-\wurzel{12.5}[/mm] die x-Stelle eines Tiefpunkts ist.
> [mm]\wurzel{12.5}[/mm] ist nämlich der Schnittpunkt mit der
> x-Achse.
>
> Dann muss man noch die Hochpunkte am Rande der
> Definitionsmenge untersuchen, also x=5 und x=-5
>
> Zuerst x=-5
>
> Vonn Links her kann man sich diesem Wert nicht annähern,
> wenn man aber von x=-5 nach rechts "abdrifted" nimmt der
> Graph grössere minus Werte an, der Graph ist also lokaler
> Hochpunkt bei (-5|-5)
>
> Bei x = 5
>
> Wenn man von x = 5 nach links verschiebt werden die x-Werte
> kleiner. Daher ist bei x=5 ein Extrema, im Punkt (5|5) ein
> Hochpunkt.
>
> Da der Punkt (5|5) am höchsten liegt, ist er auch globaler
> Hochpunkt.
>
> Da der Punkt [mm](-\wurzel{12.5}|-\wurzel{50})[/mm] der tiefste
> Punkt der gesamten Funktion ist, liegt hier nicht nur der
> lokale sondern der globale Tiefpunkt.
>
> Das mit der Symmetrie erkennt man ja sofort, dass es nicht
> Punktsymmetrisch ist. Was brauchst du noch für weitere
> Informationen?
das mit dem sehen reicht eigentlich nicht aus! ein graph ist ja nur das ergebnis deiner rechnungen. also wie sehen die symmetrie-überlegungen aus?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Am wichtigsten wäre für mich eher zu wissen, was mit "die
> Punkte finden" gemeint ist. Welche Punkte? Nach dem ich die
> Kurvendiskussion gemacht habe kenne ich ja schliesslich
> einen Nullpunkt, und drei Extrempunkte. Welche davon sind
> denn genau mit "die Punkte" gemeint, wohl die beiden
> Extremwerte am Rand oder?
ja, da wo [mm] \sqrt{0} [/mm] gerechnet wird
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ja ok, bei der Symmetrie kann ich natürlich noch die Proberechnungen machen f(-x) = -f(x) oder f(-x) = f(x). Dann sieht mann, dass es nicht punktsymmetrisch ist.
Aber das mit [mm] \wurzel{0} [/mm] verstehe ich mal gar nicht, was ist damit gemeint??
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Hallo Marius6d,
> Ja ok, bei der Symmetrie kann ich natürlich noch die
> Proberechnungen machen f(-x) = -f(x) oder f(-x) = f(x).
> Dann sieht mann, dass es nicht punktsymmetrisch ist.
>
..muss man! Der Nachweis durch eine Zeichnung ist i.a. nicht ausreichend.
> Aber das mit [mm]\wurzel{0}[/mm] verstehe ich mal gar nicht, was ist
> damit gemeint??
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß informix
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Hallo Marius6d,
> Ok, also um den ersten Hochpunkt zu erreichen erstmals,
> ableiten ergibt dann:
>
> [mm]f'(x)=1+\bruch{x}{\wurzel{25-x^2}}[/mm]
>
> aufgelöst nach 0 ergibt:
Hier wäre der Rechenweg interessant.
Du führst nämlich vermutlich nicht nur Äquivalenzumformungen durch, darum können mehr "Lösungen" entstehen, die man mit einer Probe verifizieren muss.
>
> [mm]x=\wurzel{12.5}[/mm]
Wenn das so zutrifft, gibt es kein [mm] x=-\wurzel{12,5}\approx [/mm] -3.535533906
>
> ausgerechnet x = -3.535533906 / +3.535533906 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Wenn man den Graph betrachtet, sieht man dass nur
> [mm]-\wurzel{12.5}[/mm] die x-Stelle eines Tiefpunkts ist.
> [mm]\wurzel{12.5}[/mm] ist nämlich der Schnittpunkt mit der
> x-Achse.
Auch eine Nullstelle könnte eine Extremstelle sein...
>
> Dann muss man noch die Hochpunkte am Rande der
> Definitionsmenge untersuchen, also x=5 und x=-5
>
> Zuerst x=-5
>
> Vonn Links her kann man sich diesem Wert nicht annähern,
> wenn man aber von x=-5 nach rechts "abdrifted" nimmt der
> Graph grössere minus Werte an, der Graph ist also lokaler
> Hochpunkt bei (-5|-5)
>
> Bei x = 5
>
> Wenn man von x = 5 nach links verschiebt werden die x-Werte
> kleiner. Daher ist bei x=5 ein Extrema, im Punkt (5|5) ein
> Hochpunkt.
>
> Da der Punkt (5|5) am höchsten liegt, ist er auch globaler
> Hochpunkt.
>
> Da der Punkt [mm](-\wurzel{12.5}|-\wurzel{50})[/mm] der tiefste
> Punkt der gesamten Funktion ist, liegt hier nicht nur der
> lokale sondern der globale Tiefpunkt.
>
> Das mit der Symmetrie erkennt man ja sofort, dass es nicht
> Punktsymmetrisch ist. Was brauchst du noch für weitere
> Informationen?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Am wichtigsten wäre für mich eher zu wissen, was mit "die
> Punkte finden" gemeint ist. Welche Punkte? Nach dem ich die
> Kurvendiskussion gemacht habe kenne ich ja schliesslich
> einen Nullpunkt, und drei Extrempunkte. Welche davon sind
> denn genau mit "die Punkte" gemeint, wohl die beiden
> Extremwerte am Rand oder?
"Die Punkte" werden im Aufgabentext näher definiert:
"Punkte mit vertikalen Tangenten" sind Punkte, in deren Nähe die Steigung ins Unendliche geht.
also: [mm] \lim_{x\to \pm 5}{f'(x)} \to \infty [/mm] prüfen! [mm] \rightarrow [/mm] einseitige Grenzwerte betrachten.
Gruß informix
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> [mm]f(x) = x- \wurzel{25-x^2}[/mm] mit [mm]D_f \subset R[/mm]
> Zeigen Sie auch, wie die Punkte mit vertikalen
> Tangenten berechnet werden.
Hallo Marius,
man könnte diese Aufgabe auch ohne Diffe-
rentialrechnung lösen.
Die Funktion [mm] h(x)=\wurzel{25-x^2} [/mm] stellt den oberen
Halbkreis um O(0/0) mit Radius r=5 dar, g(x)=-h(x) den
entsprechenden unteren Halbkreis.
Der Graph von f mit f(x)=x+g(x) entsteht aus diesem
Halbkreis durch eine einfache Scherung an der
y-Achse mit dem Scherungswinkel 45° und ist
deshalb eine halbe Ellipse. Die vertikalen (einseitigen)
Tangenten in den Endpunkten des Halbkreises bleiben
bei dieser Scherung als vertikale Tangenten erhalten.
Der Tiefpunkt des Graphen von f muss an der
Stelle [mm] x_T [/mm] liegen, wo der Graph von g die Steigung
m=-1 hat. Dies ist natürlich in dessen Punkt mit
dem Polarwinkel 225° der Fall oder also
[mm] x_T=-r/\sqrt{2}\approx-3.536
[/mm]
Der entsprechende Wert [mm] y_T [/mm] , also das absolute
Minimum von f , hat genau den doppelten Wert.
Dass die einzige Nullstelle von f an der Stelle
[mm] x_N=r/\sqrt{2}\approx3.536 [/mm] liegen muss, kann man sich eben-
falls geometrisch klar machen.
Dass der Ellipsenbogen keinen Wendepunkt hat,
ist geometrisch ebenfalls einleuchtend.
LG Al-Chwarizmi
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