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Kurvendiskussion: Nochmal Kurvendiskussion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 Mi 17.03.2010
Autor: Chizzo

Ich hab jetzt nochmal eine Kurvendiskussion gemacht

[mm] f(x)=0,5x^3-4x^2+8x [/mm]
[mm] f'(x)=1,5x^2-8x+8 [/mm]
f''(x)=3x-8
f'''(x)=3

Habe dann faktorisiert bedeutet x1=0, zweite Nullstelle über pq-Formel errechnet. x2=4.

Dann f'(x) per pq-Formel die Nullstellen rausgefunden x1=4, x2=1,33. Bedeutet an diesen Stellen hab ich Extrema in f(x).

Die Nullstellen von f'(x) dann eingesetzt in f''(x) und dann einmal 4 rausbekommen (Tiefpunkt) und einmal -4,01 rausbekommen (Hochpunkt). Dann nochmal über Vorzeichenwechselkriterium geprüft. Müsste stimmen.

Dann der Wendepunkt. f''(x) hat seine Nullstelle in 2,667. Dieses dann in f(x) eingesetzt und den Punkt (2,667|2,369) als Wendepunkt herausbekommen.

Soweit sollte das alles richtig sein, oder?


Wie untersuche ich jetzt das Monotonieverhalten und das Verhalten des Graphen im Unendlichen? Das kann ich noch gar nicht...

        
Bezug
Kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Mi 17.03.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Chizzo!


> Ich hab jetzt nochmal eine Kurvendiskussion gemacht
>  
> [mm]f(x)=0,5x^3-4x^2+8x[/mm]
> [mm]f'(x)=1,5x^2-8x+8[/mm]
> f''(x)=3x-8
> f'''(x)=3

[ok]

  

> Habe dann faktorisiert bedeutet x1=0, zweite Nullstelle
> über pq-Formel errechnet. x2=4.

[ok] Aber ruhig erwähnen, dass dies eine doppelte Nullstelle ist!

  

> Dann f'(x) per pq-Formel die Nullstellen rausgefunden x1=4, x2=1,33.

[ok] Schreibe aber besser als Bruch: [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm] .


> Bedeutet an diesen Stellen hab ich Extrema in f(x).

mögliche Extrema!

  

> Die Nullstellen von f'(x) dann eingesetzt in f''(x) und
> dann einmal 4 rausbekommen (Tiefpunkt) und einmal -4,01
> rausbekommen (Hochpunkt).

[ok] Mit dem genauen Bruchwert erhält man auch exakt:
[mm] $$f''(x_2) [/mm] \ = \ [mm] f''\left(\bruch{4}{3}\right) [/mm] \ = \ -4$$

> Dann nochmal über Vorzeichenwechselkriterium geprüft.
> Müsste stimmen.

  

> Dann der Wendepunkt. f''(x) hat seine Nullstelle in 2,667.

[ok] Auch hier wieder als Bruch:  [mm] $x_w [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}$ [/mm] .

Hast Du diesen Wert auch in die 3. Ableitung eingesetzt?


> Dieses dann in f(x) eingesetzt und den Punkt (2,667|2,369)
> als Wendepunkt herausbekommen.

[ok] Bruch!!!

  
Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mi 17.03.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Chizzo!


> Wie untersuche ich jetzt das Monotonieverhalten

Betrachte die 1. Ableitung (= Steigungsfunktion). Es gilt:
[mm] $$f'(x)\ge [/mm] 0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ f \ [mm] \text{monoton steigend}$$ [/mm]
[mm] $$f'(x)\le [/mm] 0 \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ f \ [mm] \text{monoton fallend}$$ [/mm]


> und das Verhalten des Graphen im Unendlichen?

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades kommt entweder aus [mm] $-\infty$ [/mm] und geht dann für sehr große $x_$ nach [mm] $+\infty$ [/mm] ... oder umgekehrt. Dies hängt vom Vorzeichen des Koeffizienten bei [mm] $x^3$ [/mm] ab.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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