Kurvendiskussion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Bestimme die relativen Extrema und Wendepunkte der Funktion f(x,y): [mm] x(t)=e^t, [/mm] y(t)= sint, [mm] t\in\IR [/mm] |
Hallo,
mit einer "normalen" Kurvendiskussion aus Schulzeiten habe ich keine Probleme und kann mir das auch gut vorstellen- hier weiß ich jedoch gar nicht, wo und wie ich anfangen soll, weil mir allein obige Schreibweise fremd ist! Ist f nun durch 2 Ausdrücke auf einmal bestimmt? Wie leite ich soetwas dann ab? mit [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] oder umgedreht?
Ich bin dankbar für jede erklärung!
Tschau
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> Bestimme die relativen Extrema und Wendepunkte der Funktion
> f(x,y): [mm]x(t)=e^t,[/mm] y(t)= sint, [mm]t\in\IR[/mm]
> Hallo,
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> mit einer "normalen" Kurvendiskussion aus Schulzeiten habe
> ich keine Probleme und kann mir das auch gut vorstellen-
> hier weiß ich jedoch gar nicht, wo und wie ich anfangen
> soll, weil mir allein obige Schreibweise fremd ist! Ist f
> nun durch 2 Ausdrücke auf einmal bestimmt? Wie leite ich
> soetwas dann ab? mit [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] oder umgedreht?
>
> Ich bin dankbar für jede erklärung!
> Tschau
Wenn ich die Schreibweise richtig sehe, dann ist ja deine Funktion:
[mm] $f(x,y)=(e^t,\sin{ t})$
[/mm]
Jetzt solltest du dich nur noch informieren, wie man die Ableitung im höher Dimensionalen bestimmt. Falls f stetig partiell diffbar ist, brauchst du nur den Gradienten zu bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gigi |
das habe ich leider auch noch an keinem beispiel wirklich gesehen, ich versuche es einfach:
sowohl x(t) als auch y(t) sind diffbar und grad f(x,y)= [mm] (e^t, [/mm] -cost)?? Das kann es doch wohl nicht sein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> das habe ich leider auch noch an keinem beispiel wirklich
> gesehen, ich versuche es einfach:
> sowohl x(t) als auch y(t) sind diffbar und grad f(x,y)=
> [mm](e^t,[/mm] -cost)?? Das kann es doch wohl nicht sein...
Richtig erkannt ! Teile uns bitte die exakte Aufgabenstellung mit, denn so wie Du es oben geschrieben hast, ist es völlig sinnlos
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Bestimme die relativen Extrema und Wendepunkte der Funktion
> > f(x,y): [mm]x(t)=e^t,[/mm] y(t)= sint, [mm]t\in\IR[/mm]
> > Hallo,
> >
> > mit einer "normalen" Kurvendiskussion aus Schulzeiten habe
> > ich keine Probleme und kann mir das auch gut vorstellen-
> > hier weiß ich jedoch gar nicht, wo und wie ich anfangen
> > soll, weil mir allein obige Schreibweise fremd ist! Ist f
> > nun durch 2 Ausdrücke auf einmal bestimmt? Wie leite ich
> > soetwas dann ab? mit [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] oder umgedreht?
> >
> > Ich bin dankbar für jede erklärung!
> > Tschau
>
> Wenn ich die Schreibweise richtig sehe, dann ist ja deine
> Funktion:
> [mm]f(x,y)=(e^t,\sin{ t})[/mm]
Das ist doch Unsinn ! Wie soll man denn von so etwas Extremwerte bestimmen ? Auf dem [mm] \IR^2 [/mm] haben wir keine Ordnung !!!!
FRED
> Jetzt solltest du dich nur noch
> informieren, wie man die Ableitung im höher Dimensionalen
> bestimmt. Falls f stetig partiell diffbar ist, brauchst du
> nur den Gradienten zu bestimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 13.05.2010 | | Autor: | gigi |
sorry, das wirklich ist die exakte aufgabenstellung! (außer, dass ich noch eine skizze anfertigen soll.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mi 12.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Bestimme die relativen Extrema und Wendepunkte der Funktion
> f(x,y): [mm]x(t)=e^t,[/mm] y(t)= sint, [mm]t\in\IR[/mm]
> Hallo,
>
> mit einer "normalen" Kurvendiskussion aus Schulzeiten habe
> ich keine Probleme und kann mir das auch gut vorstellen-
> hier weiß ich jedoch gar nicht, wo und wie ich anfangen
> soll, weil mir allein obige Schreibweise fremd ist! Ist f
> nun durch 2 Ausdrücke auf einmal bestimmt? Wie leite ich
> soetwas dann ab? mit [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] oder umgedreht?
>
> Ich bin dankbar für jede erklärung!
> Tschau
Die Funktion ist in Parameterform gegeben. Du kennst aus der Schule die Schreibweise [mm] f:A\toB;x\in A\mapsto y=f(x)\in [/mm] B. Wahrscheinlich wurde auch nur y=f(x) geschrieben.
EDIT: Aber daraus kannst Du immer machen [mm] t\mapsto [/mm] t und [mm] t\mapsto [/mm] f(t)
und dann bist Du schon bei der hier gegebenen Form mit dem Unterschied, dass in Deiner Aufgabe auch bei x eine von der identischen Funktion verschiedene Funktion steht:
[mm] t\mapsto x=e^t
[/mm]
[mm] t\mapsto y=\operatorname{sin}t
[/mm]
Das kannst Du aber über [mm] t=\operatorname{ln}x [/mm] mit [mm] x\in\IR^+ [/mm] in [mm] y=\operatorname{sin}\operatorname{ln}x [/mm] umwandeln.
Und wenn Du
[mm] t\mapsto x=f^{(x)}(t)
[/mm]
[mm] t\mapsto y=f^{(y)}(t)
[/mm]
x=x(t) nicht nach t auflösen kannst, um y=f(x) zu erhalten, so kann man dennoch durch Ableiten nach t von [mm] f\circ f^{(x)}=f^{(y)}
[/mm]
[mm] \frac{df}{dx}\circ f^{(x)}*\frac{df^{(x)}}{dt}=\frac{df^{(y)}}{dt}
[/mm]
gewinnen.
Wenn [mm] \frac{df^{(x)}}{dt} [/mm] nicht verschwindet, wo [mm] \frac{df^{(y)}}{dt} [/mm] verschwindet, impliziert das das Verschwinden von [mm] \frac{df}{dx}\circ f^{(x)}.
[/mm]
Nochmaliges Ableiten führt für obige Stellen zu
[mm] \frac{d^{2}\!f}{dx^2}\circ f^{(x)}*\left(\frac{df^{(x)}}{dt}\right)^2=\frac{d^{2}\!f^{(y)}}{dt^2}
[/mm]
usw.
Man kommt also u.U. auch in solchen Fällen weiter.
Eins muss man aber beachten:
Wenn [mm] t\mapsto x=f^{(x)}(t) [/mm] nicht streng monoton ist, führt das zu mehrwertigen Funktionen. Die x-Werte können sozusagen "umkehren" und einen "vorherigen" Bereich in der anderen Richtung nochmal durchlaufen. Dann muss man jeden Abschnitt gesondert untersuchen. Aber bei Deinem Beispiel ist alls i.O.
LG
gfm
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