Kurvendiskussion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Do 22.07.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | | Führen sie für die Funktion f mit [mm] f(x)=x^2 * e^x [/mm] eine Kurvendiskussion durch (ausgenommen K7:, also ohne Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten )und stellen Sie f über dem Intervall [-6;1] grafisch dar. |
K1: Bestimmung des Defintionsbereichs
[mm]D_f=R [/mm]
K2: Bestimmung der Nullstellen
[mm] x = 0 [/mm] da [mm] e^x>0 [/mm]
K3: Bestimmung der Lage der möglichen Extremstellen
Ich bilde die erste Ableitung von f, setze diese gleich Null und löse die entstehende Gleichung nach [mm] x_e [/mm] auf.
Ich wende die Produktregel an und erhalte für [mm] f(x)=x^2*e^x [/mm]
mit [mm] f(x)=x^2 , f'(x)=2x [/mm]
und [mm] g(x)=e^x , g'(x)=e^x [/mm]
die Ableitung
[mm] h'(x)= f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x) [/mm]
[mm] h'(x)= 2x*e^x+e^x*x^2 [/mm] | [mm] e^x [/mm] ausklammern
[mm] h'(x)= e^x*(2x+x^2) [/mm]
Da ein Produkt den Wert 0 hat, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist ergeben sich folgende Bedingungen
[mm] e^x = 0 [/mm]. Aber, K2 ergibt das [mm] e^x>0 [/mm] ist. Das bedeutet, dass [mm] (2x+x^2)=0 [/mm] ist.
Daraus folgt das [mm] x_e = -2 [/mm] ist, und das [mm] x_e = 0 [/mm] ist.
Die Lage der möglichen Extremstellen liegt bei [mm] x_e=0 [/mm] und bei [mm] x_e = -2 [/mm]
K4: Bestimmung der Extremwerte (Minimum oder Maximum)
Ich bestimme die zweite Ableitung von f und setze die bei K3 erhaltenen Extremstellen ein.
[mm] h'(x)= e^x*(2x+x^2) [/mm]
nach der Produktregel ergibt sich
[mm] h''(x)=f''(x)*g'(x)+g''(x)*f'(x) [/mm]
mit [mm] f'(x)= (2x+x^2) , f''(x)=(2+2x) [/mm]
und [mm] g'(x)=e^x , g''(x)= e^x [/mm]
die Ableitung
[mm] h''(x)= (2x+x^2)*e^x+e^x*(2+2x)[/mm]
[mm] h''(x)=2*e^x*x+ e^x*x^2^x+2e^x+ 2e^x*x [/mm]
[mm] h''(x)=4*e^x*x+ 2e^x*x+ e^x*x^2 [/mm]
Ich setze die aus K3 erhaltenen Extremstellen in h´´(x) ein.
[mm] h''(0)= 4e^0*0+ 2*e^0+ e^0*0^2 = 2 [/mm]
[mm] h''(0)=2>0 [/mm]
[mm] x_e = 0 [/mm] ist also die Stelle eines Minimums
[mm] h''(-2)= 4*e^-2*-2+2*e^-2+e^-2*-2^2 =-0,834 [/mm]
[mm] h''(-2)=-0,834<0 [/mm]
[mm] x_e = {-2} [/mm] ist also die Stelle eines Maximums
[mm] h''(x)=e^x*(4x+2+x^2) [/mm]
Die dritte Ableitung würde dann lauten:
[mm] h'''(x)= f''(x)*g'''(x)+ g''(x)*f'''(x) [/mm]
mit [mm] f''(4x+2+x^2) , f'''(x)=( 4+2x) [/mm]
und [mm] g''(e^x) , g'''(e^x) [/mm]
[mm] h'''(x)= (4x+2+x^2)*e^x+ e^x*(4+2x)[/mm]
[mm] h'''(x)= 4e^x *x+2e^x+x^2*e^x+4e^x+2e^x x [/mm]
[mm] h'''(x)= 6e^x*x+6e^x+ e^x *x^2 [/mm]
Ich bin mir sicher, das die erste Ableitung stimmt. Beider zweiten bin ich mir nicht sicher, und bei der dritten weiss ich es einfach nicht. Ich bin für jeden Tipp dankbar und ich bedanke mich schon mal im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Dust,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Führen sie für die Funktion f mit [mm]f(x)=x^2 * e^x[/mm] eine
> Kurvendiskussion durch (ausgenommen K7:, also ohne
> Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten )und stellen
> Sie f über dem Intervall [-6;1] grafisch dar.
> K1: Bestimmung des Defintionsbereichs
> [mm]D_f=R[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> K2: Bestimmung der Nullstellen
> [mm]x = 0[/mm] da [mm]e^x>0[/mm]
>
> K3: Bestimmung der Lage der möglichen Extremstellen
> Ich bilde die erste Ableitung von f, setze diese gleich
> Null und löse die entstehende Gleichung nach [mm]x_e[/mm] auf.
>
> Ich wende die Produktregel an und erhalte für
> [mm]f(x)=x^2*e^x[/mm]
> mit [mm]f(x)=x^2 , f'(x)=2x[/mm]
> und [mm]g(x)=e^x , g'(x)=e^x[/mm]
> die
> Ableitung
> [mm]h'(x)= f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x)[/mm]
> [mm]h'(x)= 2x*e^x+e^x*x^2[/mm] | [mm]e^x[/mm]
> ausklammern
> [mm]h'(x)= e^x*(2x+x^2)[/mm]
>
> Da ein Produkt den Wert 0 hat, wenn einer der beiden
> Faktoren gleich Null ist ergeben sich folgende Bedingungen
> [mm]e^x = 0 [/mm]. Aber, K2 ergibt das [mm]e^x>0[/mm] ist. Das bedeutet,
> dass [mm](2x+x^2)=0[/mm] ist.
> Daraus folgt das [mm]x_e = -2[/mm] ist, und das [mm]x_e = 0 [/mm] ist.
> Die Lage der möglichen Extremstellen liegt bei [mm]x_e=0[/mm] und
> bei [mm]x_e = -2[/mm]
>
> K4: Bestimmung der Extremwerte (Minimum oder Maximum)
>
> Ich bestimme die zweite Ableitung von f und setze die bei
> K3 erhaltenen Extremstellen ein.
>
> [mm]h'(x)= e^x*(2x+x^2)[/mm]
> nach der Produktregel ergibt sich
> [mm]h''(x)=f''(x)*g'(x)+g''(x)*f'(x)[/mm]
>
> mit [mm]f'(x)= (2x+x^2) , f''(x)=(2+2x)[/mm]
> und [mm]g'(x)=e^x , g''(x)= e^x[/mm]
>
> die Ableitung
>
> [mm]h''(x)= (2x+x^2)*e^x+e^x*(2+2x)[/mm]
> [mm]h''(x)=2*e^x*x+ e^x*x^2^x+2e^x+ 2e^x*x[/mm]
Hier hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen:
[mm]h''(x)=2*e^x*x+ e^x*\blue{x^2}+2e^x+ 2e^x*x[/mm]
>
> [mm]h''(x)=4*e^x*x+ 2e^x*x+ e^x*x^2[/mm]
Das blau markierte "x" ist zuviel:
[mm]h''(x)=4*e^x*x+ 2e^x*\blue{x}+ e^x*x^2[/mm]
>
> Ich setze die aus K3 erhaltenen Extremstellen in h´´(x)
> ein.
>
> [mm]h''(0)= 4e^0*0+ 2*e^0+ e^0*0^2 = 2[/mm]
> [mm]h''(0)=2>0[/mm]
> [mm]x_e = 0 [/mm] ist also die Stelle eines Minimums
>
>
> [mm]h''(-2)= 4*e^-2*-2+2*e^-2+e^-2*-2^2 =-0,834[/mm]
>
> [mm]h''(-2)=-0,834<0[/mm]
> [mm]x_e = {-2} [/mm] ist also die Stelle eines Maximums
Der Wert für h''(-2) stimmt nicht.
>
> [mm]h''(x)=e^x*(4x+2+x^2)[/mm]
Hier stimmt die zweite Ableitung.
>
> Die dritte Ableitung würde dann lauten:
> [mm]h'''(x)= f''(x)*g'''(x)+ g''(x)*f'''(x)[/mm]
> mit
> [mm]f''(4x+2+x^2) , f'''(x)=( 4+2x)[/mm]
> und [mm]g''(e^x) , g'''(e^x)[/mm]
>
> [mm]h'''(x)= (4x+2+x^2)*e^x+ e^x*(4+2x)[/mm]
> [mm]h'''(x)= 4e^x *x+2e^x+x^2*e^x+4e^x+2e^x x[/mm]
>
> [mm]h'''(x)= 6e^x*x+6e^x+ e^x *x^2[/mm]
Auch die dritte Ableitung stimmt.
>
> Ich bin mir sicher, das die erste Ableitung stimmt. Beider
> zweiten bin ich mir nicht sicher, und bei der dritten weiss
> ich es einfach nicht. Ich bin für jeden Tipp dankbar und
> ich bedanke mich schon mal im vorraus.
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Gruß
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Do 22.07.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und
>
> [mm]h''(x)= (2x+x^2)*e^x+e^x*(2+2x)[/mm]
> [mm]h''(x)=2*e^x*x+ e^x*x^2^x+2e^x+ 2e^x*x[/mm]
>
> [mm]h''(x)=4*e^x*x+ 2e^x*x+ e^x*x^2[/mm]
Wenn du hier wieder (und das geht bei e-Funktionen, die mit der Produktregel abgeleitet werden fast immer) wieder [mm] e^{\Box} [/mm] ausklammerst, wird das weitere Arbeiten einfacher.
Es ist dann einfacher, die Nulstellen zu ermitteln und die nächste Ableitung zu bestimmen.
Also hier:
[mm] h''(x)=(2x+x^{2})*e^{x}+e^{x}*(2+2x)
[/mm]
[mm] =e^{x}(2x+x^{2}+2+2x)
[/mm]
[mm] =e^{x}(x^{2}+4x+2)
[/mm]
Marius
|
|
|
|
