Kurvendiskussion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $n \in \IN$, $n\ge 2$ fest gewählt und sei
f(n)=\begin{cases} x^{n}ln(x), & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}
Zeigen Sie, dass f auf ganz $\IR$ differenzierbar ist. Bestimmen Sie die Nullstellen, die kritischen Stellen, lokalen Extrema und den Grenzwert für $x\rightarrow \infty$ der Funktion $f$, und skizzieren Sie dann deren Verlauf. Ist f auf dem Abschnitt [1,\infty) konvex oder nicht? |
Hallo,
um zu zeigen dass es differenzierbar ist, wende ich den Differenzenquotient an um zu zeigen dass der Grenzwert von links und rechts an der Stelle 0 0 ist:
$\limes_{x_{0}\rightarrow 0}\frac{x^{n}ln(x)-x_{0}^{n}ln(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{x^{n}ln(x)-0^{n}ln(0)}{x}$
wie kriege ich das ln(0) weg?
Kritische Stellen für x>0:
$f'(x)=nx^{n-1}ln(x)+x^{n-1}=x^{n-1}(nln(x)+1)=0$
Also krit. Stellen bei $x_{0}=e^{-\frac{1}{n}}}$
lokale Extrema:
$f''(x)=n(n-1)x^{n-2}ln(x)+nx^{n-2}=nx^{n-2}((n-1)ln(x)+1)=0$
setze ich hier x_{0} ein ergibt mir das : =n(e^{-2+2/n}(\frac{1}{n}), da n\ge 2 also sicher etwas was grösser ist als 0, also ist x_{0} ein lokales Minimum.
Grenzwert für x\Rightarrow \infty ist \infty. F ist konvex auf [1,\infty).
Stimmen meine Lösungen?
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und mit Grüssen
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Verwende hier die genau Definition des Differentalquotienten sowie die Definition aus der Funktionsvorschrift:
$f'(0) \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{x^n*\ln(x)-0}{x} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Loddar,
dann kann ich l'hopital anwenden und erhalte [mm] $\limes_{n\rightarrow 0+}-(n-1)x^{-n+1}=0$
[/mm]
vielen Dank
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
Hm ... kannst Du das mal bitte hier detailliert vorrechnen?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^{n}ln(x)}{x} [/mm]
[mm] \gdw \limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^{n-1}ln(x)}{1} [/mm]
[mm] \gdw \limes_{x\rightarrow 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x^{n-1}}}
[/mm]
de l'hopital
[mm] $\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0}(n-1)x^{n-2}\cdot \frac{1}{x} \gdw \limes_{x\rightarrow 0}(n-1)x^{n-3} [/mm] = 0$
gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Sa 22.01.2011 | | Autor: | fencheltee |
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^{n}ln(x)}{x}[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow 0} \frac{x^{n-1}ln(x)}{1}[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x^{n-1}}}[/mm]
schreibe den nenner lieber als [mm] x^{-n+1} [/mm] und leite es dann ab. oder versuch die quotientenregel nochmal korrekt anzuwenden
>
> de l'hopital
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow 0}(n-1)x^{n-2}\cdot \frac{1}{x} \gdw \limes_{x\rightarrow 0}(n-1)x^{n-3} = 0[/mm]
>
>
> gruss
>
> kushkush
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 22.01.2011 | | Autor: | kushkush |
immer noch interessiert
|
|
|
| |
|
Hi,
gegeben ist also folgende Funktion:
$ [mm] f(n)=\begin{cases} x^{n}ln(x), & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases} [/mm] $
a) Beweise: f ist auf [mm] \IR [/mm] diffbar
b) Nullstellen
c) Kritische Stellen
d) Extremstellen
e) Verhalten für x [mm] \to \infty
[/mm]
f) Ist f auf [1, [mm] \infty) [/mm] konvex?
a) Der Anfang war schon gemacht:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x -0 }= \limes_{x\rightarrow\ 0+}\frac{x^n*\ln{x}-0}{x -0 } [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\frac{x^n*\ln{x}}{x } [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}x^{n-1}*\ln{x}$
[/mm]
Schön wäre es, jetzt schon verwenden zu dürfen, dass Potenzen von x das Verhalten stärker beeinflussen als Logarithmen. Dann ist man hier schon fertig.
Aber nehmen wir mal an, wir müssten es nachrechnen. Dazu schreiben wir das als Bruch und verwenden die Regel von L'Hospital (da n [mm] \ge [/mm] 2 geht auch der Nenner gegen [mm] \infty):
[/mm]
$= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\frac{\ln{x}}{x^{1-n}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+} \frac{\frac {1}{x}}{(1-n)*x^{-n}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0+}\frac{x^{n-1}}{1-n} [/mm] = 0$
Damit ist die Diffbarkeit in 0 gezeigt, überall sonst ist sie klar.
------------------------------------------------------------------
b) Für x [mm] \le [/mm] 0 sind alle Stellen Nullstellen.
Für x > 0:
[mm] $x^{n}*\ln{x} [/mm] = 0 $
[mm] x^{n} [/mm] > 0 für alle x>0.
Bleibt [mm] \ln{x} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 1 (das ist damit die einzige Nullstelle für x > 0).
----------------------------------
c) Ich weiß nicht, was du mit kritischen Stellen meinst. Manchmal meint man damit "Extremwert-Kandidaten", also die Stellen, an denen die Ableitung 0 ergibt. Aber die muss man in d) doch eh berechnen, deswegen mach ich das jetzt hier nicht.
Falls das andere Punkte sein sollen, musst du das nochmal genauer erklären.
------------------------------
d)
Für x [mm] \le [/mm] 0 kann man sich das schenken. Bei x=0 ist ein lokales Maximum, weil die Funktion für 0<x<1 im negativen Bereich verläuft und für [mm] x\le0 [/mm] genau 0 gibt.
Für x > 0 berechnet man die Ableitungen. Ich benutze jetzt aus Faulheit eine vereinfachte Schreibweise (also ich schreib nicht immer dazu, dass wir nur im Bereich x>0 unterwegs sind, das ist ab jetzt klar):
$f'(x) = [mm] n*x^{n-1}*\ln{x} [/mm] + [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] x^{n-1} [/mm] * [mm] (n*\ln{x} [/mm] + 1)$
$f''(x) = [mm] (n-1)*x^{n-2}*(n*\ln{x} [/mm] + 1) + [mm] x^{n-2} [/mm] * n = [mm] x^{n-2} [/mm] * [mm] ((n-1)*(n*\ln{x} [/mm] + 1) + n)$
Also jetzt die Bedingung $f'(x) = 0$ prüfen:
$f'(x) = 0 [mm] \gdw n*\ln{x} [/mm] + 1 = 0 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] e^{-\frac{1}{n}}$
[/mm]
(weil [mm] x^{n-1} [/mm] nicht 0 werden kann für x>0)
Einsetzen in die 2. Ableitung:
[mm] $f''(e^{-\frac{1}{n}}) [/mm] = [mm] e^{-\frac{n-2}{n}} [/mm] > 0$ für alle n [mm] \ge [/mm] 2
Also ist an dieser Stelle ein Minimum.
------------------------------------------------
e) Der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] existiert nicht. Beide Faktoren gehen gegen [mm] \infty, [/mm] somit auch das Produkt.
-----------------------------------------------
f) Man kann das z.B. über die 2. Ableitung prüfen. Die darf in dem Bereich nicht 0 sein.
Also setze ich die mal gleich 0 und zeige, dass das keine Lösung hat:
$f''(x) = 0 [mm] \gdw x^{n-2} [/mm] * [mm] ((n-1)*(n*\ln{x} [/mm] + 1) + n) = 0$
[mm] $\gdw (n-1)*(n*\ln{x} [/mm] + 1) + n = 0$ weil [mm] x^{n-2} [/mm] für [mm] x\ge1 [/mm] nicht 0 werden kann.
[mm] $\gdw n*\ln{x} [/mm] = -1 - [mm] \frac{n}{n-1}$
[/mm]
Die rechte Seite ist <0, das kann die linke Seite für [mm] x\ge [/mm] 1 nicht werden, da dann [mm] \ln{x}>0 [/mm] und n ja sowieso positiv ist.
Somit hat die zweite Ableitung auf [mm] [1,\infty) [/mm] keine Nullstelle, d.h. die Funktion ändert ihr Krümmungsverhalten nicht und ist somit konvex oder konkav.
Da aber $f''(1) = 2n - 1 > 0$ ist f konvex.
------------------
Fragen?
lg weightgainer
p.s. Bei den vielen Formeln ist es realistisch, dass ich mich irgendwo auch vertippt habe - wenn du da was findest, kannst du das bitte anmerken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 25.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo weightgainer (und fencheltee),
Danke!!! Mit den kritischen Stellen sind wohl die Extremalpunkte gemeint... Ob damit auch Wendepunkte gemeint sind weiss ich nicht, aber wenn auf Konvexität/Konkavität untersucht wird dann macht man ja eh die 2te Ableitung.
Gruss
kushkush
|
|
|
|
