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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Definitionsbereich für x, Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen, eventuell vorliegende Pole und Lücken, sowie Asymptote (Verhalten im Unendlichen)
[mm] \bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2} [/mm] |
Moin,
mal wieder beschäftigt mich eine Aufgabe, bei der ich Probleme habe, die richtige Lösung zu finden. Ich hoffe, Ihr könnt mir helfen.
[mm] \bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}
[/mm]
[mm] x\not=0
[/mm]
[mm] x\not=2
[/mm]
Definitionsbereich:
[mm] D:x\in\IR\backslash\{0;2\}
[/mm]
Nullstellen:
[mm] 4x(x-2)=4x^{2}-8x
[/mm]
[mm] 4x^{2}-8x=0
[/mm]
x(4x-8)=0
[mm] x_{1}=0
[/mm]
4x-8=0
[mm] x_{2}=2
[/mm]
Bis hier erstmal, was mache ich falsch. Das wiederspricht sich ja. Muss ich den Nenner nehmen und wenn ja, warum?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau!
> [mm]\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
>
> [mm]x\not=0[/mm]
>
> [mm]x\not=2[/mm]
>
> Definitionsbereich:
>
> [mm]D:x\in\IR\backslash\{0;2\}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Um die Definitionslücken zu bestimmen, musst Du die Nullstellen des Nenners ermitteln!
> Nullstellen:
>
> [mm]4x(x-2)=4x^{2}-8x[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Warum multiplizierst Du das hier wieder aus?
Besser geht es doch nicht, wenn schon alles faktorisieriert ist, und man die Nullstellen direkt sehen kann.
> [mm]4x^{2}-8x=0[/mm]
>
> x(4x-8)=0
>
> [mm]x_{1}=0[/mm]
>
> 4x-8=0
>
> [mm]x_{2}=2[/mm]
>
> Bis hier erstmal, was mache ich falsch.
Für die Nullstellen ist es schon richtig.
Aber der Definitionsbereich stimmt nicht (s.o.).
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Definitionsbereich von x, Schnittpunkt Koordinatenachsen, Pole und Lücken, Asymptote(Verhalten im Unendlichen)
[mm] y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2} [/mm] |
Moin,
nach guten Tipps, hier der neue Versuch, der Aufgabe Herr zu werden.
[mm] y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}
[/mm]
Ermittlung der Nullstellen des Nenners, zur Feststellung der Definitionslücken.
[mm] x^{3}-2x^{2}+x-2=0
[/mm]
Durch probieren:
[mm] x_{1}=2
[/mm]
Nach Horner-Schema:
Reduzierung des Polynoms auf [mm] x^{2}-1
[/mm]
[mm] x_{3,4}=\pm\wurzel{i}
[/mm]
[mm] D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}
[/mm]
Nullstellen:
Zähler=0
4x(x-2)=0
[mm] x_{4}=0
[/mm]
[mm] x_{5}=2
[/mm]
[mm] x_{5}=2 [/mm] entfällt, da [mm] D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}
[/mm]
Schnittpunkt mit y-Achse
Im Zähler wird x=0 gesetzt.
4*0(0-2)=0
Pole, Lücken
[mm] \lim_{x\rightarrow2} \bruch{4*2(2-2)}{2^{3}-2*2^{2}+2-2}=\bruch{0}{0}
[/mm]
->unbestimmt->l´hospital
Oder, kann man sagen, ob Pol, oder Lücke???
Wie verfahre ich hier bei [mm] \pm\wurzel{i}\???
[/mm]
Erstmal wieder bis hier.
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Definitionsbereich von x, Schnittpunkt Koordinatenachsen,
> Pole und Lücken, Asymptote(Verhalten im Unendlichen)
>
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
> Moin,
>
> nach guten Tipps, hier der neue Versuch, der Aufgabe Herr
> zu werden.
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
>
> Ermittlung der Nullstellen des Nenners, zur Feststellung
> der Definitionslücken.
>
> [mm]x^{3}-2x^{2}+x-2=0[/mm]
>
> Durch probieren:
>
> [mm]x_{1}=2[/mm]
O.K.
>
> Nach Horner-Schema:
>
> Reduzierung des Polynoms auf [mm]x^{2}-1[/mm]
Nein. Es bleibt [mm] x^2+1 [/mm] !!!
>
> [mm]x_{3,4}=\pm\wurzel{i}[/mm]
Was machst Du denn da ?? Das Polynom [mm] x^2+1 [/mm] hat die Nullstellen [mm] $\pm [/mm] i$
Aber, da Du nur im Reellen rechnen sollst (ich gehe jedenfalls davon aus ),
hat der Nenner genau eine Nullstelle ( in [mm] \IR)
[/mm]
>
> [mm]D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}[/mm]
Nein: D= [mm] \IR \setminus \{2\}
[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> Zähler=0
>
> 4x(x-2)=0
>
> [mm]x_{4}=0[/mm]
O.K.
>
> [mm]x_{5}=2[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm] entfällt, da
> [mm]D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}[/mm]
D= [mm] \IR \setminus \{2\}
[/mm]
>
> Schnittpunkt mit y-Achse
>
> Im Zähler wird x=0 gesetzt.
>
> 4*0(0-2)=0
>
> Pole, Lücken
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow2} \bruch{4*2(2-2)}{2^{3}-2*2^{2}+2-2}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> ->unbestimmt->l´hospital
Unfug !
Du hast doch: y= [mm] \bruch{4x(x-2)}{(x^2+1)(x-2)}= \bruch{4x}{x^2+1}
[/mm]
Also ist in x=2 eine Def- - Lücke.
>
> Oder, kann man sagen, ob Pol, oder Lücke???
>
> Wie verfahre ich hier bei [mm]\pm\wurzel{i}\???[/mm]
$ [mm] \pm [/mm] i$
gar nicht, denn Du sollst doch das ganze (nur) in [mm] \IR [/mm] betrachten.
FRED
>
> Erstmal wieder bis hier.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 13.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Definitionsbereich von x, Schnittpunkt Koordinatenachsen,
> Pole und Lücken, Asymptote(Verhalten im Unendlichen)
>
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
> Moin,
>
> nach guten Tipps, hier der neue Versuch, der Aufgabe Herr
> zu werden.
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
>
> Ermittlung der Nullstellen des Nenners, zur Feststellung
> der Definitionslücken.
>
> [mm]x^{3}-2x^{2}+x-2=0[/mm]
>
> Durch probieren:
>
> [mm]x_{1}=2[/mm]
>
> Nach Horner-Schema:
>
> Reduzierung des Polynoms auf [mm]x^{2}-1[/mm]
Es bleibt [mm] x^{2}\red{+}1
[/mm]
>
> [mm]x_{3,4}=\pm\wurzel{i}[/mm]
>
> [mm]D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> Zähler=0
>
> 4x(x-2)=0
>
> [mm]x_{4}=0[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm] entfällt, da
> [mm]D:x\in\IR\backslash\{2;\pm\wurzel{i}\}[/mm]
>
> Schnittpunkt mit y-Achse
>
> Im Zähler wird x=0 gesetzt.
>
> 4*0(0-2)=0
>
> Pole, Lücken
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow2} \bruch{4*2(2-2)}{2^{3}-2*2^{2}+2-2}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> ->unbestimmt->l´hospital
Kann man machen, ist aber extrem umständlich.
Eleganter geht es mit der Umformung:
[mm] \lim_{x\to2^{+}}\frac{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}
[/mm]
[mm] =\lim_{x\to2^{+}}\frac{4x}{x^{2}+1}
[/mm]
Nun kannst du nämlich x=2 einsetzen.
Bei
[mm] \lim_{x\to2^{-}}\frac{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}
[/mm]
funktioniert das ganz analog.
Beachte aber, dass die 2 immer noch eine Definitionslücke ist. Dann kann man f wie ich im anderen Post geschrieben habe, mit diesem Grenzwert stetig fortsetzen.
>
> Oder, kann man sagen, ob Pol, oder Lücke???
Weder noch, rechne den Grenzwert mal wie oben vorgeschlagen aus.
>
> Wie verfahre ich hier bei [mm]\pm\wurzel{i}\???[/mm]
Dazu hat fred dir ja schon einiges geschrieben.
>
> Erstmal wieder bis hier.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
>
>
>
Marius
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Definitionsbereich von x, Schnittpunkt Koordinatenachsen,
> Pole und Lücken, Asymptote(Verhalten im Unendlichen)
>
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
> Moin,
>
> nach guten Tipps, hier der neuste Versuch, der Aufgabe Herr
> zu werden 
>
> [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
>
> Ermittlung der Nullstellen des Nenners, zur Feststellung
> der Definitionslücken.
>
> [mm]x^{3}-2x^{2}+x-2=0[/mm]
>
> Durch probieren:
>
> [mm]x_{1}=2[/mm]
>
> Nach Horner-Schema:
>
> Reduzierung des Polynoms auf [mm]x^{2}+1[/mm]
>
> [mm] x_{3,4}=\pm [/mm] i
>
> [mm][mm] D:x\in\IR\backslash\{2\}
[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> Zähler=0
>
> 4x(x-2)=0
>
> [mm]x_{4}=0[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm] entfällt, da [mm] D:x\in\IR\backslash\{2\}
[/mm]
>
> Schnittpunkt mit y-Achse
>
> Im Zähler wird x=0 gesetzt.
>
> 4*0(0-2)=0
>
> Pole, Lücken:
[mm] \bruch{4x(x-2)}{(x^{2}+1)(x-2)}=\bruch{4x}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] \lim_{x\rightarrow2} \bruch{4*2}{2^{2}-1}=\bruch{8}{5}-> [/mm] Lücke
[mm] x_{3,4}=\pm [/mm] i wird nicht betrachtet da nicht [mm] \in\IR
[/mm]
Asymptote:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4*\infty}{\infty^{2}+1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{-x\rightarrow\infty} \bruch{4*(-\infty)}{-\infty^{2}+1}=0
[/mm]
Hebbare Definitionslücken werden hier nicht betrachtet, da ich erst klären möchte, ob ich das in der Klausur anwenden muss.
Ist es jetzt sonst richtig?
Vielen Dank!
Gruß
mabu16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mo 13.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Definitionsbereich von x, Schnittpunkt Koordinatenachsen,
> > Pole und Lücken, Asymptote(Verhalten im Unendlichen)
> >
> >
> > [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
> > Moin,
> >
> > nach guten Tipps, hier der neuste Versuch, der Aufgabe Herr
> > zu werden
> >
> > [mm]y=\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}[/mm]
> >
> > Ermittlung der Nullstellen des Nenners, zur Feststellung
> > der Definitionslücken.
> >
> > [mm]x^{3}-2x^{2}+x-2=0[/mm]
> >
> > Durch probieren:
> >
> > [mm]x_{1}=2[/mm]
> >
> > Nach Horner-Schema:
> >
> > Reduzierung des Polynoms auf [mm]x^{2}+1[/mm]
> >
> > [mm]x_{3,4}=\pm[/mm] i
> >
> > [mm]D:x\in\IR\backslash\{2\}[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> Zähler=0
>
> 4x(x-2)=0
>
> [mm]x_{4}=0[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm]
>
> [mm]x_{5}=2[/mm] entfällt, da [mm]D:x\in\IR\backslash\{2\}[/mm]
>
> Schnittpunkt mit y-Achse
>
> Im Zähler wird x=0 gesetzt.
>
> 4*0(0-2)=0
>
> Pole, Lücken:
> [mm]\bruch{4x(x-2)}{(x^{2}+1)(x-2)}=\bruch{4x}{x^{2}-1}[/mm]
> [mm]\lim_{x\rightarrow2} \bruch{4*2}{2^{2}-1}=\bruch{8}{5}->[/mm] Lücke
Das sieht gut aus, ist aber sehr unsauber notiert:
Besser:
[mm] \lim_{x\rightarrow2}\bruch{4x}{x^{2}-1}
[/mm]
[mm] =\frac{4\cdot2}{2^{2}+1}
[/mm]
[mm] =\frac{8}{5}
[/mm]
> [mm]x_{3,4}=\pm[/mm] i wird nicht betrachtet da nicht [mm]\in\IR[/mm]
Auch das ist korrekt, muss aber nicht extra erwähnt werden.
> Asymptote:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4*\infty}{\infty^{2}+1}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{-x\rightarrow\infty} \bruch{4*(-\infty)}{-\infty^{2}+1}=0[/mm]
Auch das ist korrekt, wenn auch etwas unglücklich aufgeschrieben.
Besser:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4x}{x^{2}+1}[/mm]
[mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{2}\cdot\frac{4}{x}}{x^{2}\left(1+\frac{1}{x^{2}\right)}[/mm]
[mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\frac{4}{x}}{1+\frac{1}{x^{2}}[/mm]
Nun kannst du das ganze laufen lassen. Deine Variante lief auf "[mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]" heraus, was unbestimmt ist.
> Hebbare Definitionslücken werden hier nicht betrachtet, da ich erst klären möchte, ob ich
> das in der Klausur anwenden muss.
>
> Ist es jetzt sonst richtig?
Ja, aber noch sehr unsauber aufgeschrieben.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mo 13.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Evtl macht es Sinn, auch den Nenner zu faktorisieren, die Definitionslücke ist hebbar, also ist die Funktion dort stetig fortsetzbar. Das wirst du mit der Grenzwertbetrachtung gegen 2 (beidseitig) auch herausfinden.
Es gilt:
$ [mm] \bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}=\frac{4x(x-2)}{(x-2)(x^{2}+1)}=\frac{4x}{x^{2}+1} [/mm] $
Betrachte also folgende beiden Grenzwerte:
[mm] \lim_{h\to0}f(2+h) [/mm]
und
[mm] \lim_{h\to0}f(2-h) [/mm]
Diese geben einen gemeinsamen Wert, nennen wir ihn a.
Somit kannst du f(x) auch schreiben als:
[mm]f(x)=\begin{cases} \frac{4x}{x^{2}+1}, & \mbox{fuer } x\ne2 \\
a, & \mbox{fuer } x=2 \end{cases}[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo
>
> Evtl macht es Sinn, auch den Nenner zu faktorisieren, die
> Definitionslücke ist hebbar, also ist die Funktion dort
> stetig fortsetzbar. Das wirst du mit der
> Grenzwertbetrachtung gegen 2 (beidseitig) auch
> herausfinden.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\bruch{4x(x-2)}{x^{3}-2x^{2}+x-2}=\frac{{4x(x-2)}{(x-2)(x^{2}+1)}=\frac{4x}{x^{2}+1}[/mm]
>
> Betrachte also folgende beiden Grenzwerte:
>
> [mm]\lim{h\to0}f(2+h)[/mm]
> und
> [mm]\lim{h\to0}f(2-h)[/mm]
>
> Diese geben einen gemeinsamen Wert, nennen wir ihn a.
>
> Somit kannst du f(x) auch schreiben als:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{4x}{x^{2}+1}, & \mbox{fuer } x\ne2 \\
a, & \mbox{fuer } x=2 \end{cases}[/mm]
>
> Marius
Danke für die Mühe, sich mit der Aufgabe auseinanderzusetzen. Allerdings ist Deine Betrachtung völliges Neuland für mich. Würde die Aufgabe gerne mal so durchrechnen. Sehe zu, dass ich rausfinde, ob das Klausurstoff ist.
Vielen Dank nochmal!
Hups, sollte eine Mitteilung werden. Kann mir das mal einer bestätigen, dass die Frage nicht mehr Rot ist. Danke
Gruß
mbau16
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