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Kurvendiskussion: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Mi 14.03.2012
Autor: mbau16

Aufgabe
Gegeben sei folgender Graph, dessen Punkte folgender Gleichung genügen.

[mm] f=ln(y^{2})-ln(2x)+ln(x-2)+ln(\bruch{1}{y})-2ln(x-1)=0 [/mm]

Ermitteln Sie die Definitionsbereiche für y sowie x und lösen Sie nach y auf. Untersuchen Sie den Graphen auf vorhandene Pole, Lücken, Schnittstellen mit den Koordinatenachsen, sowie die Grenzwerte für [mm] x->\pm\infty [/mm]

Dies ist wortwörtlich die Aufgabenstellung aus der Klausur!

Guten Mittag,

bitte Euch hier einmal um eine Korrektur.

[mm] f=ln(y^{2})-ln(2x)+ln(x-2)+ln(\bruch{1}{y})-2ln(x-1)=0 [/mm]

[mm] f=ln(y)-ln(2x)+ln(x-2)+ln(x-1)^{2}=0 [/mm]

[mm] y\not=0 [/mm]

[mm] x\not=0 [/mm]

[mm] x\not=2 [/mm]

[mm] x\not=1 [/mm]

[mm] ln\left(\bruch{y(x-2)}{2x(x-1)^{2}}\right)=0 [/mm]

[mm] \left(\bruch{y(x-2)}{2x(x-1)^{2}}\right)=1 [/mm]

[mm] y=\bruch{2x(x-1)^{2}}{x-2} [/mm]

[mm] D_{x}=x\in\IR^{+}\backslash\{0,1,2\} [/mm]

[mm] D_{y}=y\in\IR^{+}\backslash\{0\} [/mm]

Pole, Lücken

[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{2*0(0-1)^{2}}{0-2}=\bruch{0}{0}->unbestimmt->l´hospital [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{2*1(1-1)^{2}}{1-2}=\bruch{0}{-1}->Luecke [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow2} \bruch{2*2(2-1)^{2}}{2-2}=\bruch{4}{0}->Pol [/mm]

Nullstellen (y=0)

Keine Nullstellen, da [mm] y\not=0 [/mm] bzw. [mm] y\in\IR^{+} [/mm]

Schnittpunkt mit y-Achse

Kein Schnittpunkt mit y-Achse, da [mm] x\not=0 [/mm] bzw. [mm] x\in\IR^{+} [/mm]

Grenzwerte für [mm] x->\pm\infty [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2\infty(\infty-1)^{2}}{\infty-2}=\infty [/mm]

Keine Betrachtung von [mm] -\infty [/mm] da [mm] x\in\IR^{+} [/mm]

Bitte Euch um Eure Meinung.

Vielen, vielen Dank!

Gruß

mbau16

        
Bezug
Kurvendiskussion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Mi 14.03.2012
Autor: fred97


> Gegeben sei folgender Graph, dessen Punkte folgender
> Gleichung genügen.
>  
> [mm]f=ln(y^{2})-ln(2x)+ln(x-2)+ln(\bruch{1}{y})-2ln(x-1)=0[/mm]
>  
> Ermitteln Sie die Definitionsbereiche für y sowie x und
> lösen Sie nach y auf. Untersuchen Sie den Graphen auf
> vorhandene Pole, Lücken, Schnittstellen mit den
> Koordinatenachsen, sowie die Grenzwerte für [mm]x->\pm\infty[/mm]
>  
> Dies ist wortwörtlich die Aufgabenstellung aus der
> Klausur!

Merkwürdige Aufgabe. Darf ich fragen wo Du was studierst ?


>  Guten Mittag,
>  
> bitte Euch hier einmal um eine Korrektur.
>  
> [mm]f=ln(y^{2})-ln(2x)+ln(x-2)+ln(\bruch{1}{y})-2ln(x-1)=0[/mm]
>  
> [mm]f=ln(y)-ln(2x)+ln(x-2)+ln(x-1)^{2}=0[/mm]
>  
> [mm]y\not=0[/mm]
>  
> [mm]x\not=0[/mm]
>  
> [mm]x\not=2[/mm]
>  
> [mm]x\not=1[/mm]

Das reicht nicht.  Der Log. ist nur für positive Argumente def. Also:

                  y>0 und x>2

>  
> [mm]ln\left(\bruch{y(x-2)}{2x(x-1)^{2}}\right)=0[/mm]
>  
> [mm]\left(\bruch{y(x-2)}{2x(x-1)^{2}}\right)=1[/mm]
>  
> [mm]y=\bruch{2x(x-1)^{2}}{x-2}[/mm]

Das ist O.K.


>  
> [mm]D_{x}=x\in\IR^{+}\backslash\{0,1,2\}[/mm]


Nein: [mm] D_x=\{x \in \IR: x>2\} [/mm]

>  
> [mm]D_{y}=y\in\IR^{+}\backslash\{0\}[/mm]

Nein. [mm] D_y=\{x \in \IR: y>0\} [/mm]


>  
> Pole, Lücken
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{2*0(0-1)^{2}}{0-2}=\bruch{0}{0}->unbestimmt->l´hospital[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{2*1(1-1)^{2}}{1-2}=\bruch{0}{-1}->Luecke[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow2} \bruch{2*2(2-1)^{2}}{2-2}=\bruch{4}{0}->Pol[/mm]

Diese Grenzwertbetrachtungen  sind wegen [mm] D_x=\{x \in \IR: x>2\} [/mm] überflüssig.


>  
> Nullstellen (y=0)
>  
> Keine Nullstellen, da [mm]y\not=0[/mm] bzw. [mm]y\in\IR^{+}[/mm]

Keine Nullstellen, weil x>2.

>  
> Schnittpunkt mit y-Achse
>  
> Kein Schnittpunkt mit y-Achse, da [mm]x\not=0[/mm] bzw. [mm]x\in\IR^{+}[/mm]
>  
> Grenzwerte für [mm]x->\pm\infty[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2\infty(\infty-1)^{2}}{\infty-2}=\infty[/mm]

Ja


>  
> Keine Betrachtung von [mm]-\infty[/mm] da [mm]x\in\IR^{+}[/mm]

Ja

FRED

>  
> Bitte Euch um Eure Meinung.
>  
> Vielen, vielen Dank!
>  
> Gruß
>  
> mbau16


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion: An FRED
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 Mi 14.03.2012
Autor: mbau16

Danke für Deine immer gute Hilfe FRED.

Das mit der Uni halte ich erstmal für keine gute Idee. Wenn ich fertig bin und einen guten Job habe, lass ich Dich den Namen der Uni wissen.

Vielen Dank nochmal!

Gruß

mbau16

Bezug
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