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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
| Aufgabe | Diskutieren Sie die Funktion f(x)=x³+x (Untersuchungspunkte Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte)
Brauche dringend Eure Hilfe!! Schreibe Morgen eine Klausur!!! |
Ich habe als erstes die Ableitungen gemacht.
f(x) =x³+x
f(x)'=3x²+1
F(x)'' = 6x
2. Wollte ich die Achsensymmetire und Puntsymmetrie berechnen. Muss ich was für x einsetzen? oder ist das so richtig ?
f(-x) = f(x)
(-x)³+(-x) = x³ +x
-x³-x ungleich x³+x --> keine Symmetrie zu y-Achse
aber wie mache ihc das mit der Punktsymmetrie? f(-x) = -f(x)?
wie berechne ich die Nullstellen?
Ich habe durch probieren die Nullstelle x1= 0 herausgefunden aber wie kriege ich die anderen raus? ist das so richtig ?
x³+x : (x+0) = x² +1? und wie mache ich dann weiter ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
> Diskutieren Sie die Funktion f(x)=x³+x
> (Untersuchungspunkte Symmetrie, Nullstellen, Extrema,
> Wendepunkte)
>
> Brauche dringend Eure Hilfe!! Schreibe Morgen eine
> Klausur!!!
> Ich habe als erstes die Ableitungen gemacht.
>
> f(x) =x³+x
> f(x)'=3x²+1
> F(x)'' = 6x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Wollte ich die Achsensymmetire und Puntsymmetrie
> berechnen. Muss ich was für x einsetzen? oder ist das so
> richtig ?
> f(-x) = f(x)
> (-x)³+(-x) = x³ +x
> -x³-x ungleich x³+x --> keine Symmetrie zu y-Achse
Nur so... Man berechnet nicht die Achsen bzw. Punktsymmetrie, sondern man untersucht die Funktion auf derartige Eigenschaften.
> aber wie mache ihc das mit der Punktsymmetrie? f(-x) =
> -f(x)?
genau.
Wenn es darum geht die Symmetrie zu untersuchen, schreibst du dir am besten alle drei Möglichkeiten nebeneinander:
$f(x)$ $f(-x)$ $-f(x)$
Danach erkennst du ja was gleich ist und schreibst das mit einem kleinen Antwortsatz hin.
[mm] "$\Rightarrow$ [/mm] Punktsymmetrie zum Ursprung" bzw.
[mm] "$\Rightarrow$ [/mm] Achsensymmetrisch zur y-Achse"
>
> wie berechne ich die Nullstellen?
Setze zunächst mal f(x)=0.
Wenn du ein x ausklammerst, solltest du keine Probleme mehr haben.
> Ich habe durch probieren die Nullstelle x1= 0
> herausgefunden aber wie kriege ich die anderen raus? ist
> das so richtig ?
> x³+x : (x+0) = x² +1? und wie mache ich dann weiter ?
Das passt schon so. Ist aber auch umständlich. Versuchs mal mit dem Ansatz den ich dir oben hin geschrieben habe. (Das Ergebnis ist das selbe). Deshalb vorab: Welche Nullstellen hat denn [mm] $x^2+1$? [/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Wie sieht meine Funktion denn aus bei -f(x) ?
setze ich das - nach vorn?
-(x³+x)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:38 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Und zu der Nullstelle:
wie genau klammere ich x aus?
So : 0= x³+x
0= x(X²+1)
Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich kann doch jetzt nicht die pq formel anwenden oder? oder kann ich hier wieder x ausklammern?
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Hi!
> Und zu der Nullstelle
>
> wie genau klammere ich x aus?
> So : 0= x³+x
> 0= x(X²+1)
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich kann doch jetzt nicht
> die pq formel anwenden oder? oder kann ich hier wieder x
> ausklammern?
Deine erste Nullstelle kannst du doch nun ablesen, da dein Polynom in faktorisierter Form vorliegt. [mm] $(x_1=0)$
[/mm]
Ein Produkt ist doch genau dann gleich null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.
Es gilt also noch zu untersuchen, ob [mm] $x^2+1=0$ [/mm] ist. Wende mal die p-q Formel darauf an. Was stellst du fest? Und was genau heißt das dann für die Nullstelle [mm] $x_1=0$?
[/mm]
gruß Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Ich kann das doch auch ohne pq Formel machen oder ?
x²+1=0 -1
x² = -1 Wurzel ziehen
X = Wurzel aus -1 geht nicht oder? Was schreibe ich dann
Habe ich dann nur eine Nullstelle ? also x1= 0 ?
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Hi!
> Ich kann das doch auch ohne pq Formel machen oder ?
> x²+1=0 -1
> x² = -1 Wurzel ziehen
> X = Wurzel aus -1 geht nicht oder? Was schreibe ich
> dann
> Habe ich dann nur eine Nullstelle ? also x1= 0 ?
Mach das mit deiner p-q-Formel und stelle einfach fest, dass die Diskriminante negativ ist. Daraus folgt für dich, dass [mm] $x^2+1=0$ [/mm] keine Lösung besitzt.
Deine Schlussfolgerung ist richtig.
Welche Vielfachheit hat denn deine Nullstelle? Das müsstest du noch dazu erwähnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
was bedeutet Vielfachheit?
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Hallo,
Die Gleichung
[mm] x^2*(x^2-4)=0
[/mm]
besitzt die Lösungen:
[mm] x_{1,2}=0
[/mm]
[mm] x_3=-2
[/mm]
[mm] x_4=2
[/mm]
Dabei zählt man die Lösung von [mm] x^2=0 [/mm] doppelt. Um das verstehen zu wollen, solltest du dich ein wenig mit der Materie beschäftigen. Es hat etwas mit dem Hauptsatz der Algebra zu tun. Du kannst es auch einfach als gegeben hinnehmen, aber es ist sehr wichtig: die Gleichung
[mm] (x-a)^n=0
[/mm]
besitzt n Lösungen, die allesamt gleich a sind. Man zählt sie aber mehrfach und das Phänomen nennt man Vielfachheit.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Gibt es evetuell ein gutes Mathebuch, dass das alle leicht verständlich erklärt?
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Hallo,
> Gibt es evetuell ein gutes Mathebuch, dass das alle leicht
> verständlich erklärt?
Zigtausende. Auf welchem Niveau soll es denn sein?
Spaß beiseite: mache mal folgendes Experiment. Betrachte die Parabel mit der Gleichung
[mm] f(x)=x^2-4+c
[/mm]
Wählen wir zunächst c=0. Dann schneidet die Parabel die x-Achse an den Stellen [mm] x_{1,2}=\pm{2}. [/mm] Wenn wir jetzt c größer werden lassen, verschiebt sich das Schaubild der Parabel in y-Richtung nach oben. Wenn c=4 ist, dann ist der Scheitel im Ursprung angekommen. Aus den beiden Nullstellen ist plötzlich eine geworden. Dennoch zählen wir sie per definitionem doppelt. Und auch, wenn c>4 ist und keine Nullstellen mehr da sind: die Gleichung [mm] x^2-4+c=0 [/mm] besitzt dann immer noch zwei Lösungen, die aber nicht mehr reell sind sondern komplex.
Habt ihr von den Komplexen Zahlen in der Schule schon einmal gehört?
Es ist schon löblich, dass du nach einer Lektüre fragst, aber es ist tatsächlich so, dass weiterführende Literatur für Schüler eine absolute Mangelware ist. Es gibt viele Bücher für Schüler, in denen dann ebensowenig drinsteht wie im Schulbuch. Es gibbt sicherlich auch Ausnahmen davon, aber zu diesem Thema fällt mir gerade keine ein. Ganz ohne Tipp möchte ich dich aber nicht entlassen, schau dir doch mal diese ![[]](/images/popup.gif) Webseite etwas näher an.
Und zum Schluss noch ein ernstgemeinter Ratschlag: Mathematik lernt man nicht nur, indem man fleißig Bücher liest. Das ist zwar immer noch besser als das stereotype Lösen von Aufgaben, die man eh schon kann. Aber vor allem erfordert Mathematik, dass man stets nachdenkt über das was man tut, dass man versucht, den Sinn zu erkennen, und das man lernt, sich selbst zu hinterfragen. Das hört auch nie auf, das muss jeder tun, der ernsthaft Mathematik betreibt. Und das schöne daran ist: damit kann man jederzeit anfangen! 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Und zu der Nullstelle:
>
> wie genau klammere ich x aus?
> So : 0= x³+x
> 0= x(X²+1)
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich kann doch jetzt nicht
> die pq formel anwenden oder?
Doch kannst Du. Dann stellst Du fest, dass die Gl. [mm] x^2+1=0 [/mm] keine Lösung hat. Aber das wäre mit Kanonen nach Spatzen geschossen ! Denn:
[mm] x^2+1 \ge [/mm] 0+1=1,
da [mm] x^2 \ge [/mm] 0 ist.
FRED
> oder kann ich hier wieder x
> ausklammern?
>
>
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Hallo,
> Wie sieht meine Funktion denn aus bei -f(x) ?
>
> setze ich das - nach vorn?
>
> -(x³+x)?
hm, da hast du etwas noch nicht ganz verstanden. Deine Funktion heißt f(x). Untersuchen möchtest du auf Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse. Und da setzt man eben eine vorzeichenbehaftete Variable ein und rechnet nach:
[mm] f(-x_0)=(-x_0)^3+(-x_0)=-x_0^3-x_0=-(x_0^3+x_0)
[/mm]
So, und welches Symbol kann man jetzt an Stelle der letzten Klammer einsetzen?
Mache dir auch klar, dass man das Symmetrieverhalten ganzrqationaler Funktionen auch an den Exponenten sehen kann: sind alle Exponenten ungerade, dann iost auch die Funktion ungerade und somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Sind alle Exponenten gerade (wobei das sog. Absolutglied, das ist die allein stehende Zahl [mm] a_0, [/mm] als [mm] a_0*x^0 [/mm] gedacht wird und 0 ist eine gerade Zahl!), dann ist auch die Funktion gerade und damit symmetrisch zur y-Achse.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:44 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Ist f(-x) dann das gleiche wie -f(x)?
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Hi!
[mm] $f(x)=x^3+x$ $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x$ $-f(x)=-(x^3+x)=-x^3-x$
[/mm]
Das war schon richtig.
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