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Forum "Schul-Analysis" - Kurvendiskussion Wendepunkt
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Kurvendiskussion Wendepunkt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Sa 26.02.2005
Autor: Einstein

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Mein Nachhilfeschüler legte mir folgende Aufgabe vor:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt bei P(0/0) ein Minimum und besitzt bei x=2 einen Wendepunkt. Die Gleichung der Wendetangente lautet: y = 4x - 2. Wie lautet die Funktion?

Mein Lösungsansatz:

[mm]f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e[/mm]
[mm]f'(x)=4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d[/mm]
[mm]f''(x)=12*a*x^2+6*b*x+2*c[/mm]
[mm]f(0)=0[/mm]
[mm]f'(0)=0[/mm]
[mm]f(2)=6[/mm]
[mm]f'(2)=4[/mm]
[mm]f''(2)=0[/mm]

Als Lösung der Gleichungen (wird auf Wunsch nachgereicht) erhält man:
a=1/8 b=-1 c=3 d=0 e=0

Die Funktionsgleichung lautet also:
[mm]f(x)=\bruch{1}{8}*x^4-x^3+3*x^2[/mm]

Wenn ich jetzt aber die Funktion zeichne, sehe ich keinen Wendepunkt an der Stelle W(2/6). Wo ist mein Denkfehler?

        
Bezug
Kurvendiskussion Wendepunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:41 Sa 26.02.2005
Autor: hobbymathematiker


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mein Nachhilfeschüler legte mir folgende Aufgabe vor:
>  
> Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades besitzt
> bei P(0/0) ein Minimum und besitzt bei x=2 einen
> Wendepunkt. Die Gleichung der Wendetangente lautet: y = 4x
> - 2. Wie lautet die Funktion?
>  
> Mein Lösungsansatz:
>  
> [mm]f(x)=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e[/mm]
>  [mm]f'(x)=4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d[/mm]
>  [mm]f''(x)=12*a*x^2+6*b*x+2*c[/mm]
>  [mm]f(0)=0[/mm]
>  [mm]f'(0)=0[/mm]
>  [mm]f(2)=6[/mm]
>  [mm]f'(2)=4[/mm]
>  [mm]f''(2)=0[/mm]
>  
> Als Lösung der Gleichungen (wird auf Wunsch nachgereicht)
> erhält man:
>  a=1/8 b=-1 c=3 d=0 e=0
>  
> Die Funktionsgleichung lautet also:
>  [mm]f(x)=\bruch{1}{8}*x^4-x^3+3*x^2[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt aber die Funktion zeichne, sehe ich keinen
> Wendepunkt an der Stelle W(2/6). Wo ist mein Denkfehler?

Soweit ich sehen kann ist alles richtig

allerdings ist f'''(2) = 0 das heisst kein Wendepunkt.

vielleicht nimmst du die hinreichende bedingung mal mit als gleichung auf ?

Gruss
Eberhard

>  


Bezug
                
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Kurvendiskussion Wendepunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Sa 26.02.2005
Autor: fuenkchen

hi,

müsste nicht f´(2) = 6 sein und nicht f´(2) =4
da Die Gleichung der Wendetangente lautet: y =  4x - 2.



Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion Wendepunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Sa 26.02.2005
Autor: Zwerglein

Hallo, fuenkchen,

> hi,
>  
> müsste nicht f´(2) = 6 sein und nicht f´(2) =4
> da Die Gleichung der Wendetangente lautet: y =  4x - 2.
>

???????????????

Ich vermute, Du verwechselst "Tangente" mit "Ableitung":
Die Tangente ist eine Gerade, deren Steigung (in unserem Fall: m=4; die "Konstante beim x") gleich der Ableitung der Funktion an der entsprechenden Stelle (hier: x=2) ist; also hier: f'(2) = m = 4.

Wenn Du (wie ich vermute) x=2 in die Gleichung y=4x-2 einsetzt, erhältst Du nicht die Steigung im Wendepunkt, sondern die y-Koordinate des Wendepunktes: W(2;6) mit m=4.
  
Alles klar?

mfG!
Zwerglein


Bezug
                                
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Kurvendiskussion Wendepunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Sa 26.02.2005
Autor: fuenkchen

Achso!!!

Dankeschön!!

Bezug
                
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Kurvendiskussion Wendepunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Mo 28.02.2005
Autor: Einstein

Hallo Eberhard,

danke für den Hinweis. Das bedeutet also, daß die Aufgabenstellung falsch ist: Es handelt sich nicht um eine Wendetangente, sondern um eine normale Tangente im Punkt P(2/6).

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