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| Aufgabe | f(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{e^{x}}
[/mm]
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Gerade erst die Einführungsstunde bewältigt, sollen wir nun schon eine Kurvendiskussion managen.
Bei den Asymptoten weiß ich überhaupt nicht, wo ich ansetzen soll.
Die Extrem- & Wendestellen bereiten mir insofern Probleme, als dass ich zwar jeweils die notwendige, allerdings nicht die hinreichende Bedingung zu erfüllen weiß.
Liebsten Dank schon an dieser Stelle für die rege Beteiligung!
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Hallo!
Du brauchst die ![[]](/images/popup.gif) Quotientenregel, sowie erst einmal die beiden folgenden Ableitungen:
$ [mm] f(x)=x^2 \Rightarrow [/mm] f'(x)=2x $
$ [mm] f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x [/mm] $
Mit diesen Informationen kannst Du die erste Ableitung berechnen. Wenn Du die hast, musst Du bestimmen, ob und wo sie den Wert Null annimmt. Zeig doch mal bis zu diesem Punkt, wohin Du da so kommst. Dann ist Hilfestellung viel leichter (auch wenn Dein Ergebnis falsch sein sollte).
Danach brauchst Du an diesen Stellen auch den Wert der zweiten Ableitung. Versuch das doch auch...
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Hi reverend,
erstmal vielen Dank für die rasche Reaktion.
Über die notwendige Bedingung bin ich schon hinweg - [mm] x_{1}=0 [/mm] & [mm] x_{2}=2.
[/mm]
Für die hinreichende Bedingung muss ich die Werte (0 & 2) in die zweite Ableitung einsetzen - das ist der Punkt, an dem ich nicht weiter weiß.
Des Weiteren ist mir unbekannt, wie ich die Wendestelle(n) & Asymptote(n) errechne.
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> Hi reverend,
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> erstmal vielen Dank für die rasche Reaktion.
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> Über die notwendige Bedingung bin ich schon hinweg -
> [mm]x_{1}=0[/mm] & [mm]x_{2}=2.[/mm]
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> Für die hinreichende Bedingung muss ich die Werte (0 & 2)
> in die zweite Ableitung einsetzen - das ist der Punkt, an
> dem ich nicht weiter weiß.
>
> Des Weiteren ist mir unbekannt, wie ich die Wendestelle(n)
> & Asymptote(n) errechne.
Dann rechnen wir mal ein bisschen und ich habe Lust, mal wieder ausführlich zu sein.
Beginnen wir mit NST:
$ [mm] f(x)=\bruch{x^2}{e^x}=0 \gdw x^2*e^{-x}=0 [/mm] $
Ein Produkt ist dann Null, wenn ein Faktor 9 wird, also $ [mm] x^2=0 \vee e^{-x}=0 [/mm] $
Nullstelle bei [mm] x_{1/2}=0 [/mm] Doppelnullstelle, also Hinweiß auf Extrema
Verhalten für x gegen [mm] \infty [/mm] bzw Asymptoten. Es gibt schonmal keine horizontalen/senkrechten Asy., weil dafür der Nenner 0 werden müsste, [mm] e^x [/mm] besitzt jedoch keine NST.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{x^2}{e^x}=0 [/mm] $
Da [mm] e^x [/mm] viel schneller wächst als jede Potenz von x
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{x^2}{e^x}=\infty [/mm] $
Da [mm] e^x [/mm] für große negative Werte in den Zähler wandert und unendlich groß wird.
Damit weißt du, dass der Graph vom Unendlichen kommt und sich dann der x-Achse, also 0, annähert.
Extrema:
wie schon berechnet wurde:
$ [mm] f'(x)=\bruch{2x*e^x-x^2*e^x}{e^{2x}}=\bruch{e^x*(2x-x^2)}{e^{2x}}=\bruch{2x-x^2}{e^x} [/mm] $
NST: $ [mm] 2x-x^2=0 \gdw [/mm] x*(2-x)=0 $
$ [mm] x_1=0, [/mm] x2=2 $
Nun, dann setz die Werte doch einfach in die zweite Ableitung ein ^^
$ [mm] f''(x)=\bruch{(2-2x)*e^x-(2x-x^2)*e^x}{e^{2x}}=\bruch{2-2x-2x+x^2}{e^x}=\bruch{x^2-4x+2}{e^x} [/mm] $
Jetzt einsetzen:
$ [mm] f''(0)=\bruch{2}{1}=2>0 [/mm] => Tiefpunkt! $
$ [mm] f''(2)=\bruch{4-8+2}{e^2}<0 [/mm] => Hochpunkt! $
Damit liegt bei $ x_e1=0 $ ein Tiefpunkt und bei $ x_e2=2 $ ein Hochpunkt
Wendepunkte werden ermittelt, indem man die zweite Ableitung 0 setzt und das Ergebnis mit der dritten überprüft!
$ [mm] f''(x)=\bruch{x^2-4x+2}{e^x}=0 [/mm] $
$ [mm] x^2-4x+2=0 \gdw x_{1/2}=+2\pm\wurzel{4-2} [/mm] $
$ [mm] x_{w1}=2+\wurzel(2) [/mm] $; $ [mm] x_{w2}=2-\wurzel(2) [/mm] $
Überprüfung mit der dritten Ableitung erspare ich mir jetzt, muss aber jedesmal ungleich 0 ergeben.
Noch Fragen? :)
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Danke Dir!
Dann habe ich bis dahin immerhin nichts falsch gemacht. Wusste nicht, dass man bei der Extrem- & Wendestellenberechnung immer gleich vorgeht (warum auch immer mir das nicht in den Sinn gekommen ist).
2 Fragen habe ich jetzt noch:
Wie um Himmels Willen soll ich das mit den Asymptoten verstehen? Von diesem Limes-Geschreibsel habe ich keinen blassen Schimmer.
Extrema: Was bedeutet diese Schreibweise "$ x_e1=0 $"? Sagt mir nichts. Den Ansatz & die Ergebnisse habe ich. Leuchtet auch alles ein.
Danke!
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> Danke Dir!
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> Dann habe ich bis dahin immerhin nichts falsch gemacht.
> Wusste nicht, dass man bei der Extrem- &
> Wendestellenberechnung immer gleich vorgeht (warum auch
> immer mir das nicht in den Sinn gekommen ist).
>
> 2 Fragen habe ich jetzt noch:
>
> Wie um Himmels Willen soll ich das mit den Asymptoten
> verstehen? Von diesem Limes-Geschreibsel habe ich keinen
> blassen Schimmer.
>
> Extrema: Was bedeutet diese Schreibweise "[mm] x_e1=0 [/mm]"? Sagt
> mir nichts. Den Ansatz & die Ergebnisse habe ich. Leuchtet
> auch alles ein.
>
> Danke!
Asymptoten sind Funktionen, denen sich der Graph annähert und die im unendlichen zusammenfallen. Dazu betrachtet man bei gebrochenrationalen Funktionen den Nenner.
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] $
Hat zum Beispiel eine senkrechte Asymptote bei 0, also die y-Achse, wie du sicherlich auch weißt, denn das ist ja eine bekannte Funktion. Zudem gibt es eine waagrechte Asymptote, nämlich die x-achse.
Per Definition ist eine Asymptote a(x)
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0 [/mm] $
Sprich, für große Werte fallen die Graphen von f(x) und a(x) zusammen.
Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es also senkrechte Asy., die man ermittelt, indem man nach den NST des Nenners sucht.
Bei unserer Funktion gibt es jedoch keine senkrechte Asy.! Daher bleiben uns noch waagrechte. Allgemein schaut man sich dazu das Verhalten der Funktion im unendlichen an, also für große und kleine x-Werte. Dabei haben wir festgestellt, dass ein Grenzwert [mm] \infty [/mm] ist, also ein uneigentlicher Grenzwert, der dir nur sagt ,dass der Graph immer weiter steigt. Der andere Grenzwert für x gegen [mm] \infty [/mm] jedoch war eindeutig 0. Und damit ist deine Asymptote eine Gerade der Form y=0, also die x-Achse.
Also wenn das noch neu für euch ist, warte, bis deine Lehrerin es dir genauer erklärt, oder Frage nach, oder lies meine Erklärung dazu hier:
https://matheraum.de/read?t=445535
Dazu habe ich mir nämlich sehr viel Mühe gegeben :)
Das ist nur meine Schreibweise hihi, sorry. Das e steht nur für extremum und die 1 für die erste Extremstelle, ansonsten schreibt man ja schon für die NST [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] etc., daher schreibe ich für Extrema noch ein e dazu und für Wendestellen ein w
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Jetzt hat es hoffentlich KLICK gemacht, nachdem ich die superausführliche Variante gelesen habe.
GROßES DANKESCHÖN!!!
Schönen Abend noch!!!
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