Kurvendiskussion einer E-Funkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f(x)=e^x*(e^x-2) [/mm]
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und untersuchen sie die Funktion auf mögliche Symmetrieeigenschaften.
b) Ermitteln Sie das Verhalten des Graphen von f an den Rändern des Definitionsbereiches.
c) Untersuchen Sie die Funtkion f auf Extrem- und Wendepunkte und zeigen Sie, dass f wie wie folgt lautet:
f'(x) = [mm] 2e^x*(e^x-1)
[/mm]
d) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall (-3;1). Maßstab: Eine Längeneinheit entspricht 2 cm.
e) Bestimmen Sie die Konstante k so, dass die folgende Funktion F eine Stammfunktion von f ist.
[mm] F(x)=1/2e^x*/e^x-k)
[/mm]
f) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A , die der Graph der Funktion f mit der Abszisse und der Geraden x=-1 einschließt. |
Hallo, ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen könnte. Ich versuche mich gerade vor der ersten 4- meines Lebens in Mathe zu retten, nach 13 Jahren wäre das echt nicht so toll. (Hier macht sich es also doch bemerkbar wenn man die 11. überspringt und dann bei den ersten Schwierigkeiten sich nicht anstrengt)
Ich saß vorhin zwei Stunden daran, aber irgendwie müssen die 0 Punkte in der Klausur ja auch berechtigt gewesen sein, und ich komm wirklich garnicht weiter. Es wäre wirklich super wenn jemand mit helfen könnte.
a) Also als erstes habe ich geschrieben, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen beinhaltet, weil ja garnicht 0 rauskommen kann, stimmt das?
Dann habe ich f(-x) = f(x) & f(-x)= -f(x) gleichgesetzt und dabei herausgefunden, dass weder eine Achsensymmetrie noch eine Punktsymmetrie vorhanden ist.
Für den Schnittpunkt mit der Y-Achse habe ich x=0 gesetzt, also
f(0) = [mm] e^0*(e^0-2) [/mm]
Sy (0;-1)
Stimmt das?
Für den Schnittpunkt mit der X-Achse muss ich ja f(x)=0 setzen (?).
Also:
[mm] 0=e^x*(e^x-2)
[/mm]
Hier komm ich aber schon garnicht weiter. Ich müsste ja irgendwie das x vom e trennen, aber wie soll ich das denn machen? Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Bei b) habe ich eine hohe Zahl eingegeben und weiß somit, dass es ins unendlich geht. Aber habe ich damit nicht nur den einen Rand? Muss ich für den anderen eine Minuszahl einsetzen und bekomme dann raus, dass es sich [mm] -\infty [/mm] nähert? Oder muss ich was ganz anderes machen?
Aufgabe d) bekomme ich noch hin, f) auch, sobald ich den Rest habe, aber sonst habe ich nicht mal richtige Ansätze.
Ich hoffe jemand kann mir das erklären oder Tipps geben. Vielen Dank schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Gegeben ist [mm]f(x)=e^x*(e^x-2)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich, die
> Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und untersuchen sie
> die Funktion auf mögliche Symmetrieeigenschaften.
>
> b) Ermitteln Sie das Verhalten des Graphen von f an den
> Rändern des Definitionsbereiches.
>
> c) Untersuchen Sie die Funtkion f auf Extrem- und
> Wendepunkte und zeigen Sie, dass f wie wie folgt lautet:
> f'(x) = [mm]2e^x*(e^x-1)[/mm]
>
> d) Skizzieren Sie den Graph der Funktion f im Intervall
> (-3;1). Maßstab: Eine Längeneinheit entspricht 2 cm.
>
> e) Bestimmen Sie die Konstante k so, dass die folgende
> Funktion F eine Stammfunktion von f ist.
>
> [mm]F(x)=1/2e^x*/e^x-k)[/mm]
>
> f) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A , die der Graph
> der Funktion f mit der Abszisse und der Geraden x=-1
> einschließt.
> Hallo, ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand beim
> Lösen dieser Aufgabe helfen könnte. Ich versuche mich
> gerade vor der ersten 4- meines Lebens in Mathe zu retten,
> nach 13 Jahren wäre das echt nicht so toll. (Hier macht
> sich es also doch bemerkbar wenn man die 11. überspringt
> und dann bei den ersten Schwierigkeiten sich nicht
> anstrengt)
> Ich saß vorhin zwei Stunden daran, aber irgendwie müssen
> die 0 Punkte in der Klausur ja auch berechtigt gewesen
> sein, und ich komm wirklich garnicht weiter. Es wäre
> wirklich super wenn jemand mit helfen könnte.
>
> a) Also als erstes habe ich geschrieben, dass der
> Definitionsbereich alle reellen Zahlen beinhaltet, weil ja
> garnicht 0 rauskommen kann, stimmt das?
Nun..Selbst wenn die Funktion irgendwann 0 wird (was sie auch tut...), ist das kein Argument für [mm] $\ID=\IR$. [/mm] Das Argument was du geben musst: Man darf nicht druch 0 Teilen. Da es hier aber keinen Nenner gibt kannst du ganz [mm] $\IR$ [/mm] einstezen.
>
> Dann habe ich f(-x) = f(x) & f(-x)= -f(x) gleichgesetzt
> und dabei herausgefunden, dass weder eine Achsensymmetrie
> noch eine Punktsymmetrie vorhanden ist.
Hier geht es einfacher: Es reicht, ein Gegenbeispiel zu finden, dann brauchst du nicht so allgemein rechnen. Allgemein musst du nur dann, wenn du beweisen willst, dass eine Symmetrie vorliegt.
Nimm z.B. f(2) und f(-2), wenn die unterschiedlich sind, auch betragsmäßig, kann ja keine Symmetrie vorliegen. Das einzige, was vorkommen könnte wäre irgendeine verschoebene Symmetrie, aber wenn ihr das nie besprochen habt, reichen eg. die beiden Symmetrien.
>
> Für den Schnittpunkt mit der Y-Achse habe ich x=0 gesetzt,
> also
>
> f(0) = [mm]e^0*(e^0-2)[/mm]
> Sy (0;-1)
> Stimmt das?
Ja. Wenn x=0 schneidet der Graph dort die y-Achse. Ist also richtig.
>
> Für den Schnittpunkt mit der X-Achse muss ich ja f(x)=0
> setzen (?).
> Also:
>
> [mm]0=e^x*(e^x-2)[/mm]
>
> Hier komm ich aber schon garnicht weiter. Ich müsste ja
> irgendwie das x vom e trennen, aber wie soll ich das denn
> machen? Oder bin ich total auf dem Holzweg?
Nein, f(x)=0 ist der richtige Ansatz. Wann wird ein Produkt Null? Genau, wenn eines der Faktoren Null wird. Das e davor kann nie Null werden, also musst du dir die Klammer angucken. [mm] $e^x-2=0$ [/mm] gilt es zu lösen. Die zwei auf die andere Seite, dann den Logarithmus anwenden, dann hast du das Ergebnis (sei froh, dass du nicht zum NRW G8 gehörst, und dadurch noch Logarithmen lernst....)...
>
> Bei b) habe ich eine hohe Zahl eingegeben und weiß somit,
> dass es ins unendlich geht.
Naja, für den groben Überblick okay, aber mathematisch ziemlich unsauber. Ich wäre die Argumentations schöner: [mm] $e^x$ [/mm] geht für x gegen unendlich schnell gegen unendlich. Damit geht das [mm] $e^x$ [/mm] gegen unendlich, das [mm] $e^x-2$ [/mm] auch, und als Produtk dann sowieso.
Aber habe ich damit nicht nur
> den einen Rand? Muss ich für den anderen eine Minuszahl
> einsetzen
Ja. Du musst x gegen - unendlich gehen lassen, da hast du recht.
und bekomme dann raus, dass es sich [mm]-\infty[/mm]
> nähert? Oder muss ich was ganz anderes machen?
Nein, der Gedanke ist richtig, aber es geht nicht gegen [mm] $-\infty$. [/mm] Schreib dir mal [mm] $e^{-x}$ [/mm] als [mm] $1/e^x$ [/mm] um. Wenn du also [mm] $e^x$ [/mm] da stehen hast und x gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen lässt, dann schaut das aus wie [mm] $1/e^{\infty}$ [/mm] (das darf man so zwar nicht schreiben, aber du weist, was damit gemeint ist). 1 durch eine sehr große Zahl ist was? Naja, und was gilt dann für das Produkt?
>
> Aufgabe d) bekomme ich noch hin,
Ja, das geht dann ja mit den Daten, die du hast. Zur Not noch ein paar Wertepaare hinschreiben.
f) auch, sobald ich den
> Rest habe, aber sonst habe ich nicht mal richtige Ansätze.
Nun, die Ansätze waren doch allesamt richtig! Sei doch ein bisschen optimistischer und trau dir mehr zu =)
Liebe Grüße,
Kroni
>
>
> Ich hoffe jemand kann mir das erklären oder Tipps geben.
> Vielen Dank schon mal.
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Vielen Dank für die Antwort! Leider kann ich sie trotzdem noch nicht lösen.
"Nein, f(x)=0 ist der richtige Ansatz. Wann wird ein Produkt Null? Genau, wenn eines der Faktoren Null wird. Das e davor kann nie Null werden, also musst du dir die Klammer angucken. gilt es zu lösen. Die zwei auf die andere Seite, dann den Logarithmus anwenden, dann hast du das Ergebnis (sei froh, dass du nicht zum NRW G8 gehörst, und dadurch noch Logarithmen lernst....)... "
Leider hab ich die 11. übersprungen und Logarithmen so richtig nie kapiert.
Also, wenn [mm] e^x-2=0 [/mm] ist, muss ja [mm] e^x=2 [/mm] sein.
Irgendie kapier ich es nicht, bei mir kommt wenn ich es versuche immer 0 raus, aber dass 0=2 nicht sein kann, versteh sogar ich.
Wenn ich die Funktion jetzt ableite, bzw zeigen muss dass
f'(x)= [mm] 2e^x*(e^x-1) [/mm] ist, muss ich das dann Schritt für Schritt machen?
Also [mm] e^x [/mm] abgeleitet bleibt ja [mm] e^x [/mm] , woher kommt die 2 , und wieso fällt die -2 nicht weg sondern wird eine -1, ist das weil sie in der Klammer steht? Ich versteh Ableitungen mit Klammern nicht. Muss man dann Innere mal Äußere rechnen?
Bei Aufgabe e) verstehe ich nicht genau wir ich die Konstante k bestimmen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Radiohead!
Bilde die Stammfunktion $F(x)_$ und vergleiche anschließend mit der genannten Stammfunktion aus der Aufgabenstellung.
Gruß
Loddar
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