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Forum "Schul-Analysis" - Kurvendiskussion einer Schar
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Kurvendiskussion einer Schar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Di 07.09.2004
Autor: MHaupt1979

Hallo !

Habe mal wieder eine Aufgabe, die mich vor ein kleines Rätsel stellt... Bei folgender Funktionsschar soll ich eine Kurvendiskussion durchführen:

[mm] f(x)=x^3-ax, [/mm] a>0

Vielleicht könnte mir einer bei den Koordinaten der Extrema helfen. Habe ausgerechnet, dass bei [mm][mm] x=+/-\bruch{wurzel{a}}{3}[\m] [/mm] Stellen waagerechter Tangenten sind. Leider sind mir nun die Koordinaten des Tief- bzw. Hochpunktes nicht ganz klar.

Kann mir jemand helfen ???

Danke !

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
        
Bezug
Kurvendiskussion einer Schar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 07.09.2004
Autor: Andi

Hallo Maike,

> Habe mal wieder eine Aufgabe, die mich vor ein kleines
> Rätsel stellt... Bei folgender Funktionsschar soll ich eine
> Kurvendiskussion durchführen:

  
> [mm] f(x)=x^3-ax [/mm] ; a>0

  
> Vielleicht könnte mir einer bei den Koordinaten der Extrema
> helfen. Habe ausgerechnet, dass bei
> [mm] x=+/-\bruch{wurzel{a}}{3} [/mm] Stellen waagerechter
> Tangenten sind. Leider sind mir nun die Koordinaten des Tief- bzw.
> Hochpunktes nicht ganz klar.

Also ich habe als x-Werte möglicher Extremstellen folgendes erhalten:

Zuerst brauchen wir die erste Ableitung, welche uns die Steigung des Graphen verrät: [mm] f'(x)=3x^2-a [/mm]  
Bei einem Extrempunkt muss auf jedenfall die Steigung Null sein:
[mm] 3x^2-a=0 [/mm] Diese Gleichung müssen wir nun lösen.
[mm] 3x^2=a [/mm] Nun teilen wir auf beiden Seiten der Gleichung durch 3.
[mm] x^2=\bruch{a}{3} [/mm] Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.
[mm] x= \pm \wurzel{\bruch{a}{3}} [/mm] Nun haben wir die X-Werte möglicher Extremas gefunden.

Ob und welche Extrema es sind lässt sich auf verschiedene Weisen herrausfinden.

Zuerst die die Variante "Schema F" *g*:

Wir setzen die X-Werte in die zweite Ableitung ein und überprüfen somit die Krümmung in diesen Punkten.

[mm] f''(x)=6x [/mm]

[mm] f''(-\wurzel{\bruch{a}{3}})=-6*\wurzel{\bruch{a}{3}}<0 [/mm]
Da der Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle negativ ist, ist der Graph an dieser Stelle rechtsgekrümmt. Es handelt sich also um einen Hochpunkt. Warum ein Graph bei einem Hochpunkt immer rechtsgekrümmt ist kannst du dir durch Anschauen klar machen. (Wenn nicht, werde ich es dir auf Wunsch noch extra erklären)

[mm] f''(+\wurzel{\bruch{a}{3}})=6*\wurzel{\bruch{a}{3}}>0 [/mm]
Nun ist der Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle positiv. Das heißt der Graph ist dort linksgekrümmt. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.

Nun noch schnell die meiner Meinung elegantere Lösung ;-) :

Da unsere gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung "Einfache Nullstellen"  sind, ändert sich das Vorzeichen der Steigung in diesen Punkten. Das heißt es handelt sich auf jeden fall um Extremstellen.
Betrachten wir nun die Funktion. Es handelt sich um eine Ganzrationale Funktion 3. Grades mit einem positiven Paramter vor dem [mm] x^3 [/mm]. Das heißt der Graph kommt von "unten link" und geht nach "oben rechts".
Wenn wir wissen dass 2 Extremstellen existieren, dann muss die Linke Extremstelle ein Hochpunkt sein. Da der Graph ja von "unten" kommt.
Die andere Extremstelle muss dann ein Tiefpunkt sein.
Ich hoffe ich hab dich mit dieser Erklärung nicht all zu sehr verwirrt.
Um sie zu verstehen brauchst du viel Phantasie und musst mit "Vielfachen Nullstellen" vertraut sein. Falls du es nicht verstanden hast erklär ich es dir gern ausführlicher. Du kannst es aber wenn du willst auch wieder vergessen, denn du kannst solche Aufgaben ja mit "Schema F" lösen.


> Kann mir jemand helfen ???

Ich hab es zumindest versucht. Ich würde mich über ein Feedback freuen ob ich dir nun geholfen haben. :-)

Danke !
Kein Problem.

mfg Andi  


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