Kurvendiskussion ln-Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Es soll eine Kurvendiskussion für [mm] f(x)=\bruch{x}{lnx} [/mm] durchgeführt werden.
i) D(f)
ii) Symmetrie
iii) Stetigkeit
iv) Nullstellen, Polstellen, Lücken
v)Diffbarkeit und Ableitungen (1. bis 3.)
vi)Grenzwerte
vii)Extrema
viii) Wendepunkte
ix)Monotonie
x) Krümmunsintervalle
xi) Skizze |
folgendes hab ich durchgeführt:
i) [mm] D(f)=\IR\setminus{1}
[/mm]
ii)Symmetrie: nicht erkennbar
iii) Stetigkeit:
[mm] f(x)=\bruch{x}{lnx}=x*\bruch{1}{lnx}
[/mm]
-> als Produkt zweier stetiger Funktionen ist f(x) in (0,1) [mm] \cup (1,+\infty) [/mm] stetig.
iv) Nullstellen des Zählers: xn=0;
Nullstellen des Nenners (Polstellen): ln x= 0
-> xp=0 (wie erwartet Pol bei x = 0)
Nullstellen des Zählers = Nullstellen des Nenners, also hat f(x) in x=0 auch eine Lücke.
v) Diff.barkeit und Ableitungen
f(x) ist im gesamten Definitionsbereich differentierbar:
1. Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{1*lnx-x*{\bruch{1}{x}}}{(lnx)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{lnx-1}{(lnx)^{2}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}*(lnx)^{2}-(lnx-1)*\bruch{1}{x}*2}{(lnx)^{3}} [/mm]
Wie kann man das jetz am besten zusammenfassen, um noch eine ordentliche 3. Ableitung durchführen zu können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Also ich denke, dass bei Punkt iii) nach der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich gefragt ist.
Deine Antwort ist zwar richtig, wenn man deine Einschränkung macht, aber auf dem gesamten Definitonsbereich [mm] \IR^{+} \backslash \{1\}[/mm] ist die Funktion unstetig.
Bei der v) würde ich dann noch ln(x) kürzen bevor du ausmultiplizierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
zur Stetigkeit nochmal:
also wenn ich sage, f(x) ist in [mm] (0;1)\cup(1;+\infty) [/mm] stetig, dann meine ich doch, f(x) ist in [mm] D(f)=\IR^{+}\setminus \{1\} [/mm] stetig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Baufux!
> aber auf dem gesamten Definitonsbereich [mm]\IR^{+} \backslash \{1\}[/mm] ist die Funktion
> unstetig.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Das irritiert mich gerade ... warum soll die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich unstetig sein?
Die Funktion ist doch wunderbarst stetig ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Ach, beim Definitionsbereich hab ich mich verschrieben, das sollte [mm] D(f)=\IR^{+}\setminus{0} [/mm] heißen. |
ok, Polstelle war natürlich falsch.
lnx=0 -> ok, wenn ich für x da 1 einsetze, krieg ich als Funktionswert 0, klar.
und damit natürlich auch keine Lücken.
ok, nochmal Ansatz für die 2. Ableitung:
[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}\cdot{}(lnx)^{2}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{1}{x}\cdot{}2*(lnx)}{(lnx)^{3}}=
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{(lnx)^{2}}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{lnx*lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}}=
[/mm]
jetzt kann ich höchstens noch lnx ausklammern:
[mm] =\bruch{\bruch{lnx(\bruch{lnx}{x}-\bruch{2}{x})-lnx-1}}{(lnx)^{3}}
[/mm]
bringt mich aber wohl nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Hallo schau dir das mal an:
[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{4}} = [/mm]
[mm] = \bruch{\bruch{lnx*lnx-(lnx-1)*2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{4} = [/mm]
Jetz lnx ausklammern und kürzen:
[mm] = \bruch{\bruch{lnx-(lnx-1)*2}{x}}{(lnx)^{3}} = [/mm]
Und nun alles auf einen Bruchstrich schreiben:
[mm] = \bruch{lnx-(lnx-1)*2}{x*(lnx)^{3}} = [/mm]
Nun ausmultiplizieren:
[mm] = \bruch{2-lnx}{x*(lnx)^{3}}[/mm]
Grüße Baufux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 29.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, ich weiß, was du meinst, aber ich kann da etwas nicht ganz nachvollziehen:
[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}}
[/mm]
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[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx-(lnx-1)\cdot{}2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}}
[/mm]
irgendwie komm ich auf folgendes, wenn ich ln x ausklammer:
[mm] \bruch{\bruch{lnx(lnx-1-\bruch{1}{lnx})*2}{x}}{(lnx)^{3}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Fr 29.12.2006 | | Autor: | baufux |
Ich schreibe jetzt mal nur den Zähler des Zählers hin, weil der Rest fürs auklammern ja egal ist:
[mm] (ln(x))^ {2}-(ln(x)-1)*2*ln(x) [/mm]
Jetzt kann man entweder erst alles ausmultiplizieren und dann ln(x) ausklammern oder man betrachtet einfach die Differenz und klammert aus dieser ln(x) aus.
Wenn man es ausmultipliziert und anschließend ausklammert bekommt man:
[mm] (ln(x))^{2} - 2*(ln(x))^{2}+2*ln(x) = ln(x)*(ln(x)-2*ln(x)+2) = ln(x)*(2-ln(x))[/mm]
Das ln(x)-1 steht ja in Klammern, denke da liegt dein Denkfehler.
Wenn man dein Lösung wieder ausmultipliziert kommt man auf:
[mm] 2*(lnx)^{2}-2*lnx-2 [/mm] und das ist ungleich dem was beim ausmultiplizieren 3 zeilen weiter oben als erstes steht.
Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass im Nenner vor dem kürzen hoch 4 stehen muss, nach dem kürzen dann hoch 3 habs im vorigen post ausgebessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, mit der 2. Ableitung hab ich jetz soweit alles verstanden.
Fehlt noch die 3.
geg. war ja: [mm] f''(x)=\bruch{2-lnx}{(x*lnx)^{3}} [/mm] |
->
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}-(2-lnx)*3(1*lnx+x*\bruch{1}{x})^{2}}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*3(lnx+1)^{2}}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*3(lnx^{2}+2lnx+1)}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*(3lnx^{2}+6lnx+3)}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-6lnx^{2}-12lnx-6+3lnx^{3}+6lnx^{2}+3lnx}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-9lnx-6+3lnx^{3}}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}+3lnx^{3}-9lnx-6}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
die beiden Brüche im Zähler gleichnamig machen:
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*\bruch{x}{x}}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*x}{x}}{(x*lnx)^{6}}
[/mm]
Nenner mit Kehrwert mult.:
[mm] f(x)'''=\bruch{-1*(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*x}{x*(x*lnx)^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{-1+(3lnx^{3}-9lnx-6)}{(x*lnx)^{3}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{3lnx^{3}-9lnx-7}{(x*lnx)^{3}}
[/mm]
Ist die Lösung so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Ich habe aber eine etwas andere 2. Ableitung $f''(x)_$ erhalten.
Denn im Nenner steht nur [mm] $x^{\red{1}} [/mm] \ = \ x$ und nicht [mm] $x^3$ [/mm] :
[mm]f''(x) \ = \ \bruch{2-\ln x}{x*(\ln x)^3} \ = \ \bruch{2-\ln x}{x*\ln^3 x}[/mm]
Damit verändert (vereinfacht) sich auch Deine 3. Ableitung.
Hier mal mein Kontrollergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr): $f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{\ln^2 x -6}{x^2*\ln^4 x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ja, hab den Fehler unten im Nenner der 2. Ableitung auch bemerkt.
Allerdings komme ich nicht so ganz auf deine Lösung für die 3. Ableitung. |
Mein Ansatz:
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(1*lnx^{3}+x*\bruch{1}{x}*3)}{(x*lnx^{3})^{2}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(lnx^{3}+x*\bruch{3}{x})}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})}{x}-2lnx^{3}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
Jetzt will ich den Zähler gleichnamig machen:
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})}{x}-2lnx^{3}*\bruch{x}{x}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}*\bruch{x}{x}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})-2lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
jetzt unteren Nenner mit Kehrwert mult.:
[mm] f(x)'''=-\bruch{1*(x*lnx^{3})-2lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x*x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
jetz häng ich fest... kürzen geht noch nicht, weil ich im Zähler immer noch eine Summe habe... ich könnte höchstens (lnx * x) ausklammern und dann kürzen, aber dann komme ich auf ein anderes Ergebnis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Du machst denselben Fehler wie weiter oben bereits bei der äußeren Ableitung des Terms [mm] $\ln^3x [/mm] \ = \ [mm] \left(\ln x\right)^3$ [/mm] :
[mm] $\left[ \ \left(\ln x\right)^3 \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 3*\red{\left(\ln x\right)^2}*\bruch{1}{x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, die Kettenregel hats mir angetan...Fehler hab ich eingesehen...
allerdings komm ich trotzdem nicht weiter... |
irgendwann steht bei mir:
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(lnx^{3}+\bruch{3x}{x})}{(x*lnx^{3})^{2}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1*(x*lnx^{3})}{x}-2*lnx^{3}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
jetz mit x erweitern, um den Zähler als einen Bruch darzustellen:
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1*(x*lnx^{3})-2*lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
wenn ich jetz mit dem Kehrwert des untersten Nenners mult., kann ich aber noch nicht kürzen, weil ich oben im Zähler noch eine Summe habe und ausklammern kann ich nur lnx und x.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
> ok, die Kettenregel hats mir angetan...Fehler hab ich eingesehen...
Und warum setzt Du das dann nicht um in Deiner Rechnung?? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm]f'''(x) \ = \ \bruch{-\bruch{1}{x}*\left(x*\ln^3x\right)-(2-\ln x)*\left(1*\ln^3x+x*\bruch{3*\red{\ln^2 x}}{x}\right)}{\left(x*\ln^3 x\right)^{2}} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | ok, hab wohl versehentlich wieder falsch gerechnet...
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Ich mach mal da weiter...
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}\cdot{}\left(x\cdot{}\ln^3x\right)-(2-\ln x)\cdot{}\left(1\cdot{}\ln^3x+x\cdot{}\bruch{3\cdot{}\\ln^2 x}{x}\right)}{\left(x\cdot{}\ln^3 x\right)^{2}}
[/mm]
jetzt vereinfachen und die linke Klammer im Zähler ausmultiplizieren...
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x\cdot{}\ln^3x)}{x}-(2-lnx)*(\bruch{lnx}{x}+\bruch{3*lnx^{2}*x}{x})}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x\cdot{}\ln^3x)}{x}-\bruch{2*lnx}{x}-\bruch{6lnx^{2}*x}{x}+\bruch{lnx^{2}}{x}+\bruch{3*lnx^{3}*x}{x}}{x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
jetzt alles im Zähler als einen Bruch schreiben und mit Kehrwert des Nenners multiplizieren.
[mm] f(x)'''=\bruch{-1*(x\cdot{}\ln^3x)-2*lnx-6lnx^{2}*x+lnx^{2}+3*lnx^{3}*x}{x*x^{2}*lnx^{6}}
[/mm]
wie gehts jetzt weiter? Ich kann doch da höchstens lnx ausklammern...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Was bzw. wie hast Du denn hier etwas in der Klammer ausmultipliziert? Wo kommt denn da plötzlich noch der [mm] $\bruch{...}{x}$-Term [/mm] her?
Fassen wir doch einfach mal zunächst etwas zusammen (kürzen):
[mm]f'''(x) \ = \ \bruch{-\bruch{1}{x}\cdot{}\left(x\cdot{}\ln^3x\right)-(2-\ln x)\cdot{}\left(1\cdot{}\ln^3x+x\cdot{}\bruch{3\cdot{}\ln^2 x}{x}\right)}{\left(x\cdot{}\ln^3 x\right)^{2}}[/mm]
$= \ [mm] \bruch{-\ln^3x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln^3x+3\cdot{}\ln^2 x\right)}{x^2\cdot{}\ln^6 x}$
[/mm]
Nun klammern wir mal zunächst [mm] $\ln^2x$ [/mm] aus:
$= \ [mm] \bruch{\ln^2x*\left[-\ln x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln x+3\cdot{}1\right)\right]}{x^2\cdot{}\ln^6 x}$
[/mm]
Kürzen:
$= \ [mm] \bruch{-\ln x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln x+3\right)}{x^2\cdot{}\ln^4 x}$
[/mm]
Nun die Klammer ausmultiplizieren ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Di 02.01.2007 | | Autor: | RalU |
Hallo und erst mal ein frohes neues Jahr!
Ich habs jetzt verstanden bin auf das gleiche Ergebnis gekommen, was Du als Musterlösung hier angegeben hast.
Denke, mein Ansatz, den Zähler gleichnamig zu machen, war der falsche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Habe schonmal die Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen und am Pol) und die Extrema berechnet. |
vi) Grenzwerte:
Verhalten im Unendlichen:
(x gegen - [mm] \infty):
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{lnx}nicht [/mm] definiert.
(x gegen + [mm] \infty):
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{lnx}="\bruch{+\infty}{+\infty}=(L'Hospital)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{\bruch{1}{x}}=
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}x=+\infty
[/mm]
Verhalten am Pol:
(x gegen [mm] 1-\Delta):
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{x}{lnx}
[/mm]
-> da lnx an der Stelle [mm] x=1-\Delta [/mm] x<0, ist der gesamte Ausdruck <0, also negativ und nahe bei der 0, also [mm] 0^{-}.
[/mm]
(x gegen [mm] 1+\Delta):
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{x}{lnx}
[/mm]
-> da lnx an der Stelle [mm] x=1+\Delta [/mm] x>0, ist der gesamte Ausdruck >0, also postiv und nahe bei der 0, also [mm] 0^{+}
[/mm]
vii) Extrema:
f(x)'=0
[mm] \bruch {lnx-1}{lnx^{2}}=0
[/mm]
-> lnx - 1 = 0
-> [mm] e^{lnx}-e{1}=0
[/mm]
x-e=0
xe1=e (~2,7)
f(xe1)''!=0
[mm] \bruch{2-ln e}{e*ln e^{3}}=\bruch{2-1}{e*ln e^{3}}=\bruch{1}{ln e^{3}}>0, [/mm] also Tiefpunkt in xe1=e, Koordinaten TP1(e, e)
Stimmt das alles soweit?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, das heißt natürlich, das dort (am Pol) ein VZW vorliegt von - nach +. |
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Sa 30.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , wie Du auch an dieser Skizze erkennen kannst.
Gruß
Loddar
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wollte noch eine Anmerkung machen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Wenn man }\bruch{x}{\ln x}\text{ umschreibt zu }x*\ln^{-1}x\text{ kann man die Quotientenregel}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{getrost vergessen und sich somit eine Menge Arbeit ersparen.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f\left(x\right)=x*\ln^{-1}x \Rightarrow f'\left(x\right)=\ln^{-1}x+x*\ln^{-2}x*\left(-1\right)*\bruch{1}{x}=\ln^{-1}x-\ln^{-2}x\Rightarrow f''\left(x\right)=\dots$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Guten Rutsch euch allen,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 30.12.2006 | | Autor: | RalU |
ich betrachte Funktionswerte der 1. Ableitung in den folgenden Intervallen:
(0;1): streng monoton fallend
(1;e): streng monoton fallend
[mm] (e;+\infty): [/mm] streng monoton wachsend
(streng mon. fallend: immer dann, wenn Funktionswert der 1. Abl.<0)
(streng mon. wachsend: immer dann, wenn Funktionswert der 1. Abl. >0)
so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 30.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ix) Monotonie
> ich betrachte Funktionswerte der 1. Ableitung in den
> folgenden Intervallen:
>
> (0;1): streng monoton fallend
> (1;e): streng monoton fallend
> [mm](e;+\infty):[/mm] streng monoton wachsend
>
> (streng mon. fallend: immer dann, wenn Funktionswert der 1.
> Abl.<0)
> (streng mon. wachsend: immer dann, wenn Funktionswert der
> 1. Abl. >0)
> so korrekt?
Yep, korrekt. Genauso funkioniert es
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 02.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | jetzt fehlt noch Wendepunkte und Krümmung: |
viii) Wendepunkte:
f''(x)=0
-> 2-lnx=0
-lnx=-2 |*(-1)
lnx=2 |e
[mm] e^{lnx}=e^{2}\approx7,4
[/mm]
-> [mm] xw=e^{2}\approx [/mm] 7,4
f'''(x)!=0
[mm] \bruch{-6+ln^{2}e^{2}}{e^{2}*ln^{4}e^{2}}\approx0
[/mm]
allerdings bin ich etwas stutzig bezüglich des Zeichens [mm] \approx
[/mm]
Aber laut Skizze des Graphen liegt eigentlich kein WP vor, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Di 02.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> jetzt fehlt noch Wendepunkte und Krümmung:
> viii) Wendepunkte:
>
> f''(x)=0
> -> 2-lnx=0
> -lnx=-2 |*(-1)
> lnx=2 |e
> [mm]e^{lnx}=e^{2}\approx7,4[/mm]
> -> [mm]xw=e^{2}\approx[/mm] 7,4
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> f'''(x)!=0
> [mm]\bruch{-6+ln^{2}e^{2}}{e^{2}*ln^{4}e^{2}}\approx0[/mm]
Moment:
$ f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{\ln^2 x -6}{x^2\cdot{}\ln^4 x} [/mm] $
Also: f'''(e²)=
[mm] \bruch{ln^{2}e^{2}}{e^{\red{4}}*ln^{4}e^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6+ln²e²}{e^{4}*(ln(e²))^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6+(ln(e²))²}{e^{4}*((2*ln(e)))^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6+(2ln(e))²}{(e*2)^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-6+4}{2e^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{e^{4}}
[/mm]
[mm] \red{\ne}0
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Di 02.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Ich denke, ich hab für die 3. Ableitung die Regel für den ln [mm] (lna^{n}=n*ln^{a}) [/mm] hier nicht angesetzt und bin daher nicht auf das Ergebnis gekommen. |
-> Die 3. Ableitung liefert beim einsetzen von [mm] xw=e^{2} [/mm] also ein Ergebnis <0, d.h. also es liegt ein Wendepunkt vor in [mm] xw=e^{2} [/mm] mit den Koordinaten [mm] WP(\approx [/mm] 7,4 ; [mm] \approx [/mm] 3,7)
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> Ich denke, ich hab für die 3. Ableitung die Regel für den
> ln [mm](lna^{n}=n*ln^{a})[/mm] hier nicht angesetzt und bin daher
> nicht auf das Ergebnis gekommen.
> -> Die 3. Ableitung liefert beim einsetzen von [mm]xw=e^{2}[/mm]
> also ein Ergebnis <0, d.h. also es liegt ein Wendepunkt vor
> in [mm]xw=e^{2}[/mm] mit den Koordinaten [mm]WP(\approx[/mm] 7,4 ; [mm]\approx[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 3,7)
$\rmfamily \text{Jepp, der Wendepunkt liegt bei }W_{1}\left(e^2\left|\bruch{e^2}{\ln e^2}\right)\text{.}\right.$
$\rmfamily \text{Stefan.}$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 02.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Wenn ich die Intervalle für die Krümmung untersuche, muss ich doch auch die Polstelle berücksichtigen, weil laut Skizze jeweils links und rechsts vom Pol das Krümmungsverhalten unterschiedlich ist, oder? |
Also für die Krümmung habe ich dann folgendes:
(jeweils Werte der nachfolgenden Intervalle in die 2. Ableitung eingesetzt, falls 2. Ableitung mit jeweiligem Wert >0, -> konvex, falls <0, -> konkav
(2. Ableitung war: [mm] f''(x)=\bruch{ln^{2}x^-6}{x^{2}*ln^{4}x} [/mm] )
]0;1[: f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
[mm] ]1;e^{2}[: [/mm] f''(x)>0 -> Linkskrümmung (konvex)
[mm] ]e^{2};+ \infty[: [/mm] f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
> Wenn ich die Intervalle für die Krümmung untersuche, muss
> ich doch auch die Polstelle berücksichtigen, weil laut
> Skizze jeweils links und rechsts vom Pol das
> Krümmungsverhalten unterschiedlich ist, oder?
[mm] $\rmfamily \text{Ja und nein. Ja, wenn es eine Postelle mit Vorzeichenwechsel, nein, wenn es eine ohne VZW ist.}$
[/mm]
> Also für die Krümmung habe ich dann folgendes:
> (jeweils Werte der nachfolgenden Intervalle in die 2.
> Ableitung eingesetzt, falls 2. Ableitung mit jeweiligem
> Wert >0, -> konvex, falls <0, -> konkav
>
> (2. Ableitung war: [mm]f''(x)=\bruch{ln^{2}x^-6}{x^{2}*ln^{4}x}[/mm]
> )
>
> ]0;1[: f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
> [mm]]1;e^{2}[:[/mm] f''(x)>0 -> Linkskrümmung (konvex)
> [mm]]e^{2};+ \infty[:[/mm] f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was ist mit den negativen Zahlen? Schließlich ist [mm] $\ln(x)$ [/mm] nur für [mm] $\IR^+$ [/mm] definiert.
