Kurvendiskussion m. 2Parameter < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Jana-WG |
| Aufgabe | Die Funktion ft ist für t [mm] \in \IR [/mm] + gegeben durch
[mm] ft(x)=tx^4-2x³-(t-2)x² [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm]
Mit Gft wird der Graph ft bezeichnet.
Zunächst sei t=2!
a) Untersuchen Sie den Graphen von f2 auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von f2 in ein Koordinatensystem.
b) Nun ist t [mm] \in \IR [/mm] +
Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse. Für welche Werte von t hat Gft genau zwei gemeinsame Punkte mit der x-Achse?
c) Für welche Werte von t ist der Ursprung Hochpunkt von Gft?
d) Zeigen Sie: Alle Graphen Gft haben genau drei von t unabhängige Schnittstellen.
e) Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet den Graphen zu ft1 im Punkt B(u/ft1(u)) und den Graphen zu ft2 im Punkt C(u/ft2(u)). Für welche Werte von t verläuft die Tangente an den Graphen zu ft1 in B parallel zur Tangente an den Graphen zu ft2 in C? |
Hallo erst ma!
Habe einige Probleme mit der oben gestellten Frage. Die Teilaufgabe a und b habe ich problemlos hinbekommen. Doch ab der c komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand vielleicht ein Tipp geben wie ich vorgehen muss? Also Ansätze..? Wäre sehr nett! Schon mal danke im voraus!!
Liebe Grüße Jana
|
|
| |
|
Schauen wir doch mal, was wir für Ansätze hinbekommen
> Die Funktion ft ist für t [mm]\in \IR[/mm] + gegeben durch
> [mm]ft(x)=tx^4-2x³-(t-2)x²[/mm] mit x [mm]\in \IR[/mm]
> Mit Gft wird der Graph ft bezeichnet.
> Zunächst sei t=2!
> a) Untersuchen Sie den Graphen von f2 auf Schnittpunkte
> mit der x-Achse, Hoch-, Tief-, und Wendepunkte. Zeichnen
> Sie den Graphen von f2 in ein Koordinatensystem.
>
> b) Nun ist t [mm]\in \IR[/mm] +
> Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der
> x-Achse. Für welche Werte von t hat Gft genau zwei
> gemeinsame Punkte mit der x-Achse?
>
> c) Für welche Werte von t ist der Ursprung Hochpunkt von
> Gft?
>
Ab hier gibt es Probleme ja? Also..der Ursprung soll Hochpunkt sein, was bedeutet das? Der Ursprung ist der Punkt (0/0) und wenn er ein Hochpunkt sein soll, muss er in der ersten Ableitung einen Funktionswert von 0 haben (da seine Steigung ja 0 ist). Also bildest du die erste Ableitung, die hoffentlich noch ein t enthält und setzt dann x=0 und y=0
> d) Zeigen Sie: Alle Graphen Gft haben genau drei von t
> unabhängige Schnittstellen.
Nun, diese Aufgabe ist etwas schwieriger, weil du erst einmal die Schnittstellen ausrechnen musst. Dazu kann man z.B. zwei Vertreter der Schar wählen, nimm doch einmal [mm] f_0 [/mm] und [mm] f_1
[/mm]
Dann setzt du diese zwei Vertreter gleich und rechnest damit ihre Schnittpunkte aus.
Ich hätte dann z.B. [mm] x_{1/2}=0 [/mm] und [mm] x_{3/4}=\pm [/mm] 1
Nun hast du spezielle Schnittstellen und willst wissen, ob sie auch Schnittstellen für alle Funktionen der Schar sind, also gerade in [mm] f_t(x) [/mm] einsetzen und du erhälst z.B.
[mm] f_t(0)=0 [/mm] Offenbar ist für alle Graphen die Stelle x=0 einerseits eine Nullstelle, andererseits aber auch ein Schnittpunkt, denn der Punkt enthält keinen Parameter t und ist damit für ALLE Funktionen der Schar identisch :)
nun kannst du selbst die anderen beiden Schnittstellen überprüfen
>
> e) Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet den Graphen
> zu ft1 im Punkt B(u/ft1(u)) und den Graphen zu ft2 im Punkt
> C(u/ft2(u)). Für welche Werte von t verläuft die Tangente
> an den Graphen zu ft1 in B parallel zur Tangente an den
> Graphen zu ft2 in C?
> Hallo erst ma!
So, das ist echt kompliziert...da muss ja sogar ich mehrmals lesen *g*
Also machen wir schrittweise, was wir haben.
Erst einmal
$ [mm] f_1(x)=x^4-2x^3-3x^2 [/mm] $
$ [mm] f_2(x)=2x^4-2x^3-4x^2 [/mm] $
Nun gibt es eine Parallele zur y-Achse, nämlich x=u, die unsere Graphen schneidet, und zwar an der selben x-Stelle x=u
Da nach Tangenten gefragt ist, kann es nicht schaden, die erste Ableitung zu bilden
$ [mm] f'_1(x)=4x^3-6x^2-6x [/mm] $
$ [mm] f'_2(x)=8x^3-6x^2-8x [/mm] $
Setze u für x ein und du hast die Steigung an der Stelle u für die Tangente/Funktion.
Damit hast du zwei Gleichungen für zwei verschiedene Tangenten. Einmal die Steigung der Tangente für [mm] f_1 [/mm] an der Stelle x=u und einmal die Steigung der Tangente für [mm] f_2 [/mm] an der Stelle x=u. Zum Glück ist nur nach parallelen Tangenten gefragt, also muss ihre Steigung identisch sein! Also setzt du die beiden Gleichungen gleich und rechnest u aus
> Habe einige Probleme mit der oben gestellten Frage. Die
> Teilaufgabe a und b habe ich problemlos hinbekommen. Doch
> ab der c komme ich nicht mehr weiter. Kann mir jemand
> vielleicht ein Tipp geben wie ich vorgehen muss? Also
> Ansätze..? Wäre sehr nett! Schon mal danke im voraus!!
> Liebe Grüße Jana
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Fr 19.09.2008 | | Autor: | Jana-WG |
Danke, dass hört sich super an!
Ich werds gleich nochmal versuchen zu rechnen... wenn ich noch ne Frage hab, meld ich mich wieder *g*
un nochma danke dass es so schnell ging!
Schönes Wochenende!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:45 So 21.09.2008 | | Autor: | Jana-WG |
c) Für welche Werte von t ist der Ursprung Hochpunkt von
Gft?
>
> Ab hier gibt es Probleme ja? Also..der Ursprung soll
> Hochpunkt sein, was bedeutet das? Der Ursprung ist der
> Punkt (0/0) und wenn er ein Hochpunkt sein soll, muss er in
> der ersten Ableitung einen Funktionswert von 0 haben (da
> seine Steigung ja 0 ist). Also bildest du die erste
> Ableitung, die hoffentlich noch ein t enthält und setzt
> dann x=0 und y=0
>
>So also ich habe jetzt die 1. Ableitung gebildet, die eigentlich f'(x)=4tx³-6x²-2tx+4x sein müsste. Oder habe ich hier schon einen Fehler reingebaut?!?
Jetzt versteh ich allerdings nicht wie ich weiter machen soll, soll ich für x den Wert 0 einsetzen? Dann kommt ja aber f'(0)=0 raus. Und was ist mit y=0 gemeint?
> > d) Zeigen Sie: Alle Graphen Gft haben genau drei von t
> > unabhängige Schnittstellen.
>
> Nun, diese Aufgabe ist etwas schwieriger, weil du erst
> einmal die Schnittstellen ausrechnen musst. Dazu kann man
> z.B. zwei Vertreter der Schar wählen, nimm doch einmal [mm]f_0[/mm]
> und [mm]f_1[/mm]
>
Gut, ich habe für [mm]f_0[/mm] = -2x³-2x² und für [mm]f_1[/mm] = [mm] x^4-2x³-3x² [/mm] heraus.
> Dann setzt du diese zwei Vertreter gleich und rechnest
> damit ihre Schnittpunkte aus.
> Ich hätte dann z.B. [mm]x_{1/2}=0[/mm] und [mm]x_{3/4}=\pm[/mm] 1
>
Soweit bin ich noch gekommen =), habe die selben Schnittpunkte raus bekommen.
> Nun hast du spezielle Schnittstellen und willst wissen, ob
> sie auch Schnittstellen für alle Funktionen der Schar sind,
> also gerade in [mm]f_t(x)[/mm] einsetzen und du erhälst z.B.
>
> [mm]f_t(0)=0[/mm] Offenbar ist für alle Graphen die Stelle x=0
> einerseits eine Nullstelle, andererseits aber auch ein
> Schnittpunkt, denn der Punkt enthält keinen Parameter t und
> ist damit für ALLE Funktionen der Schar identisch :)
>
> nun kannst du selbst die anderen beiden Schnittstellen
> überprüfen
>
Ich habe für [mm]f_t(1)=0[/mm] heraus und für [mm]f_t(-1)=4[/mm]
Stimmt das? Ich glaube bei [mm]f_t(-1)[/mm] müsste auch 0 heraus kommen oder?
> >
> > e) Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet den Graphen
> > zu ft1 im Punkt B(u/ft1(u)) und den Graphen zu ft2 im Punkt
> > C(u/ft2(u)). Für welche Werte von t verläuft die Tangente
> > an den Graphen zu ft1 in B parallel zur Tangente an den
> > Graphen zu ft2 in C?
>
> So, das ist echt kompliziert...da muss ja sogar ich
> mehrmals lesen *g*
> Also machen wir schrittweise, was wir haben.
>
> Erst einmal
> [mm]f_1(x)=x^4-2x^3-3x^2[/mm]
> [mm]f_2(x)=2x^4-2x^3-4x^2[/mm]
>
> Nun gibt es eine Parallele zur y-Achse, nämlich x=u, die
> unsere Graphen schneidet, und zwar an der selben x-Stelle
> x=u
> Da nach Tangenten gefragt ist, kann es nicht schaden, die
> erste Ableitung zu bilden
> [mm]f'_1(x)=4x^3-6x^2-6x[/mm]
> [mm]f'_2(x)=8x^3-6x^2-8x[/mm]
>
> Setze u für x ein und du hast die Steigung an der Stelle u
> für die Tangente/Funktion.
So, wenn ich das mache habe ich:
[mm]f'_1(u)=4u^3-6u^2-6u[/mm]
[mm]f'_2(u)=8u^3-6u^2-8u[/mm]
> Damit hast du zwei Gleichungen für zwei verschiedene
> Tangenten. Einmal die Steigung der Tangente für [mm]f_1[/mm] an der
> Stelle x=u und einmal die Steigung der Tangente für [mm]f_2[/mm] an
> der Stelle x=u. Zum Glück ist nur nach parallelen Tangenten
> gefragt, also muss ihre Steigung identisch sein! Also setzt
> du die beiden Gleichungen gleich und rechnest u aus
Also muss ich [mm] 4u^3-6u^2-6u=8u^3-6u^2-8u [/mm] rechnen.
Dann kommt bei mir für u einma u=0 heraus und [mm] u=\pm \wurzel{0,5} [/mm]
Habe aber irgendwie das Gefühl, dass das nicht stimmt. Habe ich recht?!?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 So 21.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jana!
> c) Für welche Werte von t ist der Ursprung Hochpunkt von Gft
> So also ich habe jetzt die 1. Ableitung gebildet, die
> eigentlich f'(x)=4tx³-6x²-2tx+4x sein müsste.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt versteh ich allerdings nicht wie ich weiter machen
> soll, soll ich für x den Wert 0 einsetzen? Dann kommt ja
> aber f'(0)=0 raus. Und was ist mit y=0 gemeint?
mit $y_$ ist der Funktionswert [mm] $f_t(0) [/mm] \ = \ ...$ gemeint. Der ist aber hier stets [mm] $f_t(0) [/mm] \ = \ 0$ .
Damit $H \ (0;0)$ ein Hochpunkt ist, muss gelten:
[mm] $$f_t''(0) [/mm] \ < \ 0$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 So 21.09.2008 | | Autor: | Jana-WG |
> Damit [mm]H \ (0;0)[/mm] ein Hochpunkt ist, muss gelten:
> [mm]f_t''(0) \ < \ 0[/mm]
Gibt es also gar keinen Hochpunkt? Weil es ist ja =0 und nicht <0
..das müsste ja dann eventuell ein Terrassenpunkt sein oder nicht?
Oder wie komme ich darauf dass f'' < 0 ist??
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] f_t''(x)=12*t*x^{2}-12x-2t+4
[/mm]
[mm] f_t''(0)=-2t+4<0
[/mm]
-2t+4<0
somit liegt für t>2 an der Stelle x=0 ein Maximum,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 So 21.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jana!
Gemäß Aufgabenstellung dürft ihr [mm] $f_{\red{0}}(x)$ [/mm] gar nicht verwenden, da ja gilt: $t \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR^{\red{+}}$ [/mm] .
Zudem sollte man das schon allgemein lösen. Verwende zwei unterschiedliche Parameter $t \ [mm] \not [/mm] \ s$ und setze die beiden Funktionsterme gleich:
[mm] $$t*x^4-2x^3-(t-2)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] s*x^4-2x^3-(s-2)*x^2$$
[/mm]
Dies nun nach $x \ = \ ...$ auflösen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
