Kurvendiskussion mit e < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Führen Sie für die Funktion f mit [mm] f(x)=x^2 e^x [/mm] eine Kurvendiskussion durch ( ausgenommen Symmetrie-Monotonie und Krümmungsverhalten) und stellen Sie f über dem Intervall [-6;1] grafisch dar. |
Mahlzeit zusammen
also, ich habe jetzt eine Kurvendiskussion bis zu den Wendepunkten durchgeführt, bin mir aber irgendwie nicht sicher ob das alles richtig ist, was ich da gerechnet habe. besonders beim Maximum/Minimum komme ihc leider nicht weiter. Könntet ihr mir bitte helfen? Danke schonmal!
Nullstellen:
f(x))= [mm] x^2 e^x [/mm] = 0 /: [mm] e^x
[/mm]
[mm] x^2= [/mm] 0
Daraus folgt : Nulltstelle bei x=0
Extrema:
f'(x) = u'v+uv'
2x [mm] e^x [/mm] + [mm] x^2 e^x
[/mm]
x [mm] e^x(2+x) [/mm] = 0 / : [mm] e^x
[/mm]
x(2+x) = 0
durch Raten : x = -2
Maximum/Minimum
f'' = u' v + u v'
2 [mm] e^x [/mm] + 2x [mm] e^x
[/mm]
[mm] 2(e^x [/mm] +x) = 0
Da komme ich grad einfach nicht weiter -.-
Wendepunkte
f'' = [mm] 2e^x [/mm] + 2x = 0 / :2
[mm] e^x [/mm] + x = 0
x = [mm] -e^x
[/mm]
So, ich hoffe ich habe wenigstens ein paar Dinge richtig ;)
Gruß,
Die Gruene_Fee
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Hallo Fee,
> Führen Sie für die Funktion f mit [mm]f(x)=x^2 e^x[/mm] eine
> Kurvendiskussion durch ( ausgenommen Symmetrie-Monotonie
> und Krümmungsverhalten) und stellen Sie f über dem
> Intervall [-6;1] grafisch dar.
> Mahlzeit zusammen
>
> also, ich habe jetzt eine Kurvendiskussion bis zu den
> Wendepunkten durchgeführt, bin mir aber irgendwie nicht
> sicher ob das alles richtig ist, was ich da gerechnet habe.
> besonders beim Maximum/Minimum komme ihc leider nicht
> weiter. Könntet ihr mir bitte helfen? Danke schonmal!
>
> Nullstellen:
>
> f(x))= [mm]x^2 e^x[/mm] = 0 /: [mm]e^x[/mm]
> [mm]x^2=[/mm] 0
>
> Daraus folgt : Nulltstelle bei x=0
Jo, sogar eine doppelte NST
>
> Extrema:
>
> f'(x) = u'v+uv'
> 2x [mm]e^x[/mm] + [mm]x^2 e^x[/mm]
> x [mm]e^x(2+x)[/mm] = 0 / : [mm]e^x[/mm]
> x(2+x) = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> durch Raten : x = -2
Durch Raten? Ein Produkt ist doch genau dann 0, wenn (mindestens) einer der Faktoren 0 ist, also [mm]x(2+x)=0 \ \gdw \ x=0 \ \text{oder} \ 2+x=0[/mm]
Also gibt es neben [mm]x=-2[/mm] auch noch die Möglichkeit [mm]x=0[/mm]
>
> Maximum/Minimum
>
> f'' = u' v + u v'
> 2 [mm]e^x[/mm] + 2x [mm]e^x[/mm]
Was ist mit dem anderen Summanden [mm]x^2e^x[/mm] von [mm]f'(x)[/mm] ?
Nimm einfacher die Darstellung [mm]f'(x)=(x^2+2x)\cdot{}e^x[/mm] und leite das mal ab ..
> [mm]2(e^x[/mm] +x) = 0
>
> Da komme ich grad einfach nicht weiter -.-
>
>
> Wendepunkte
>
> f'' = [mm]2e^x[/mm] + 2x = 0 / :2
> [mm]e^x[/mm] + x = 0
> x = [mm]-e^x[/mm]
Hier ist Kuddelmuddel, rechne nochmal sorgfältig [mm]f''(x)[/mm] aus ...
>
>
> So, ich hoffe ich habe wenigstens ein paar Dinge richtig ;)
>
> Gruß,
> Die Gruene_Fee
Zurück!
schachuzipus
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mhm..war ja zum Glück nicht alles Falsch ;)
Also der Übersichthalber habe ich zuerst ganz normal mit Produktformel abgleitet:
[mm] 2xe^x [/mm] + [mm] x^2e^x [/mm]
[mm] 2e^x x^2e^x [/mm] + [mm] 2xe^x2^xe^x /e^x [/mm] ausklammern
[mm] e^x(2+x^2+2x) [/mm] / [mm] :e^x
[/mm]
[mm] 2+x^2+2x [/mm] = 0 / x ausklammer
x(x+2) = 0
wiederum x=0 oder x = -2
Wenn ich wie du vorgeschlagen hast [mm] (2x+x^2)e^x [/mm] ableite komme ich auf dieses Ergebnis:
[mm] (2x+x^2)e^x [/mm] = 0 / [mm] :e^x
[/mm]
[mm] 2x+x^2= [/mm] 0 / x ausklammern
x(2+x) = 0
Selbige wie oben.
Stimmt das so?
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Hallo GrueneFee,
da ist noch was faul.
> mhm..war ja zum Glück nicht alles Falsch ;)
>
> Also der Übersichthalber habe ich zuerst ganz normal mit
> Produktformel abgleitet:
>
> [mm]2xe^x[/mm] + [mm]x^2e^x[/mm]
bis hier:
> [mm]2e^x x^2e^x[/mm] + [mm]2xe^x2^xe^x /e^x[/mm] ausklammern
Aber was ist das? Die zweite Ableitung? Da hättest Du ja gleich zweimal die Produktformel anzuwenden, so dass
[mm] f''(x)=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x
[/mm]
Ein Term mit [mm] 2^x [/mm] kommt z.B. gar nicht drin vor. Rechne das nochmal nach.
> [mm]e^x(2+x^2+2x)[/mm] / [mm]:e^x[/mm]
Wo diese Zeile dann herkommt, kann ich auch nicht nachvollziehen. Sie ist aber schon recht nah am richtigen Ergebnis.
Das würde in dieser Form lauten: [mm] f''(x)=e^x(x^2+4x+2)
[/mm]
> [mm]2+x^2+2x[/mm] = 0 / x ausklammer
> x(x+2) = 0
Nee, das wäre dann immer noch [mm] \blue{2}+x(x+2)=0
[/mm]
> wiederum x=0 oder x = -2
Eben auch nicht.
> Wenn ich wie du vorgeschlagen hast [mm](2x+x^2)e^x[/mm] ableite
> komme ich auf dieses Ergebnis:
>
> [mm](2x+x^2)e^x[/mm] = 0 / [mm]:e^x[/mm]
Nein. Auch da gilt die Produktregel!
> [mm]2x+x^2=[/mm] 0 / x ausklammern
> x(2+x) = 0
>
> Selbige wie oben.
>
> Stimmt das so?
Nein, ganz und gar nicht.
Mir scheint, Du hast es nur zu eilig beim Rechnen.
Grüße
reverend
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Hey,
also die Zeile [mm] e^x(x^2+2x+2) [/mm] hatte ich von der 2. Ableitung: Habe dabei aber vergessen das es 4x und nicht 2x sind. Daher müsste ja auch meine 2. Ableitung richtig sein, wenn ich zusammendfassend das von dir auch bestätigte richtige Ergebnis erhalte?
Jedenfalls habe ich ja jetzt [mm] e^x(x^2+4x+2) [/mm] = 0 [mm] /:e^x
[/mm]
[mm] x^2+4x+2 [/mm] = 0
kann/ darf ich da jetzt die pq-Formel anwenden?
Vielen Dank schonmal für deine schnelle Hilfe ...
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Hallo nochmal,
so ist es ok, und die pq-Formel solltest Du unbedingt verwenden. 
Grüße
reverend
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Ok, sehr schön:)
Also Ergebnisse habe ich x1 = - 0,59 und x2 = -3,41... hoffe die Stimmen
Noch eine letzte Frage:
Ich soll ja auch die Funktion grafisch darstellen. Aber wie kann ich das denn mit der Exponentialfunktion machen? weil ich kann ja für e nichs einsetzen?
Oh je :/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo GrüneFee!
> Also Ergebnisse habe ich x1 = - 0,59 und x2 = -3,41...
> hoffe die Stimmen
Aber ruhig auch genau darstellen mit [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] -2+\wurzel{2}$ [/mm] bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] -2-\wurzel{2}$ [/mm] .
> Noch eine letzte Frage:
> Ich soll ja auch die Funktion grafisch darstellen. Aber wie
> kann ich das denn mit der Exponentialfunktion machen? weil
> ich kann ja für e nichs einsetzen?
Warum nicht? $e_$ ist eine konstante Zahl mit $e \ [mm] \approx [/mm] \ 2{,}71828$ .
Und die e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] sollte auch auf Deinem Taschenrechner durchaus vorhanden sein.
Gruß
Loddar
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