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Ich habe keine Probleme bei der Diskussion einer Funktion "-2 cos (3x²)". Aber wie funktioniert das bei der Fkt. "cos²x - sin²x" und "tan(0,5x). Es geht mir nur darum, dass Prinzip zu verstehen, von daher wäre eine Demonstration zur Berechnung 1. Ableitung und der Nullstellen ausreichend. Besten Dank vorab, der Hochpunkt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerHochpunkt,
leider scheint keiner hier im MR Lust zu haben, dir zu antworten, deswegen mache ich es mal kurz:
> Ich habe keine Probleme bei der Diskussion einer Funktion
> "-2 cos (3x²)". Aber wie funktioniert das bei der Fkt.
Okay, dann darf ich annehmen, dass du die Ketten- und Produktregel der Differentiation kennst und beherrschst.
> "cos²x - sin²x" und "tan(0,5x). Es geht mir nur darum, dass
> Prinzip zu verstehen, von daher wäre eine Demonstration zur
> Berechnung 1. Ableitung und der Nullstellen ausreichend.
(a)
[mm] f(x)=\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(x)^2-\sin(x)^2 [/mm]
Nullstellen:
[mm] f(x) = 0[/mm]
[mm] \gdw \cos^2(x) - \sin^2(x) = 0 [/mm] (aus Formelsammlung: [mm] \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) [/mm])
[mm] \gdw \cos(2x) = 0 [/mm]
[mm] \gdw 2x \in \underbrace{\left\{ y|y=2*k*\pi+\frac{\pi}{2},\;k\in\IZ \right\}}_{\mbox{Dies sind genau die Nullstellen von cos}} [/mm]
[mm] \gdw 2x =2*k*\pi+\frac{\pi}{2}[/mm] mit [mm]k\in\IZ[/mm] (andere Schreibweise für die Nullstellenmenge)
[mm] \gdw x =k*\pi+\frac{\pi}{4}[/mm] mit [mm]k\in\IZ[/mm]
1. Ableitung:
[mm] f'(x)=2*\cos(x)*(-\sin(x)) - 2*\sin(x)*\cos(x) [/mm][mm] = -4 *\sin(x)*\cos(x) [/mm]
Alternative Berechnungsmöglichkeit, mit [mm] f(x)=\cos(2x) [/mm]:
[mm] f'(x)=2*(-\sin(2x))=-2\sin(2x) [/mm]
(Damit haben wir en passant gezeigt, dass [mm] -2\sin(2x) = -4 *\sin(x)*\cos(x) [/mm] bzw. [mm] \sin(2x) = 2\sin(x)cos(x) [/mm])
(b)
[mm] g(x) = \tan\left(\frac{1}{2}x\right) [/mm]
Nullstellen:
[mm] g(x) = 0 [/mm]
[mm] \gdw \tan\left(\frac{1}{2}x\right) = 0 [/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{2}x = k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] (auf der rechten Seite stehen wieder genau die Nullstellen des tan)
[mm] \gdw x = 2*k*\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm]
1. Ableitung:
Falls du diese Ableitung vergessen haben solltest, kannst du dir mit dieser Schreibweise des Tangens behelfen: [mm] \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} [/mm] und dann dieses mit der Quotientenregel ableiten.
Bequemer ist natürlich ein Blick in die Formelsammlung:
[mm] g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x} [/mm]
Kommst du nun alleine weiter mit deinen Kurvendiskussionen? Wie immer gilt: Probleme? MatheRaum!
Alles Gute,
Marc.
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soweit klar. bei der ersten fkt hab ich di eExtrempkte HP(0/1) / TP(pi/2 / -1) und HP(pi/1) und die WP (3/4pi / 0) und WP (1/4pi / 0).
aber bei der zweiten ableitung. tanx = sinx/cosx im tafelwerk steht auch schon die zugehörige ableitung. aber wie is das mit tan (0.5x)?? schreib ich dann tan(0.5x) = 1(sinx)/2cos(x), also ich multipliziere die gleichung für tan x mit 1/2 oder wie is das dann? danke für die bisherige hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 18.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerHochpunkt,
> soweit klar. bei der ersten fkt hab ich di eExtrempkte
> HP(0/1) / TP(pi/2 / -1) und HP(pi/1) und die WP (3/4pi / 0)
> und WP (1/4pi / 0).
Wir hatten ja als erste Ableitung
[mm] f'(x)=-2\sin(2x) [/mm]
Die Nullstellen davon wären dann
[mm] 2x=k*\pi, k\in\IZ [/mm]
[mm] x=\frac{1}{2}*k*\pi, k\in\IZ [/mm]
also [mm] x = \left\{ \ldots,-\frac{3\pi}{2}, -\pi,-\frac{\pi}{2},0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\ldots \right\} [/mm]
Da sehe ich jetzt nicht, mit welcher Regelmäßigkeit du gerade deine Extrempunkte aus dieser Menge herausgepickt hast.
Sofern kein (beschränkter) Definitionsbereich angegeben ist, gibt es unendlich viele Extrempunkte, die du dann auch alle nennen mußt.
Das gleiche gilt für die WP.
> aber bei der zweiten ableitung. tanx = sinx/cosx im
> tafelwerk steht auch schon die zugehörige ableitung. aber
> wie is das mit tan (0.5x)?? schreib ich dann tan(0.5x) =
> 1(sinx)/2cos(x), also ich multipliziere die gleichung für
> tan x mit 1/2 oder wie is das dann? danke für die bisherige
Nein.
[mm] f(0{,}5x) [/mm] bedeutet ja, dass anstelle des "x" in der Funktionsvorschrift der Ausdruck "0,5x" eingesetzt werden soll. Wenn wir nun haben
[mm] \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} [/mm], dann ist
[mm] \tan 0{,}5x = \frac{\sin 0{,}5x}{\cos 0{,}5x} [/mm]
Viele Grüße,
Marc.
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ja die extrem und wendepunkte gelten nur für die kleinste periode. 2x = 0 => x = 0; 2x = 2pi => x2 = pi ; Periode = x2-x1.
den rest hab ich kapiert. wie wäre es denn, wenn nicht tan(0.5x) sonder 0.5 * tan(0.5x) stehen würde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 18.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerHochpunkt,
> ja die extrem und wendepunkte gelten nur für die kleinste
> periode. 2x = 0 => x = 0; 2x = 2pi => x2 = pi ; Periode =
> x2-x1.
Ja, sorry, du hast natürlich recht (mit deinen Hoch-, Tief- und Wendepunkten).
Der Ausdruck "kleinste Periode" ist natürlich etwas unglücklich, da es nur eine Periode gibt. Mir fällt aber auch kein besserer ein, vielleicht "Hauptbereich". Das wäre dann das Intervall, dass die 0 enthält.
Zur Anschauung noch eine Skizze (mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot angefertigt  )
[Dateianhang nicht öffentlich]
> den rest hab ich kapiert. wie wäre es denn, wenn nicht
> tan(0.5x) sonder 0.5 * tan(0.5x) stehen würde
Die 0,5 vor dem Tangens ist ein konstanter Faktor und bleibt beim Ableiten erhalten:
[mm] 0,5*\tan(0,5x) = 0,5*\frac{\sin 0,5}{\cos 0,5x} [/mm]
[mm] (0,5*\tan(0,5x))' = 0,5*\tan(0,5x)' = 0,5*\frac{1}{\cos^2 0,5x} = \frac{1}{2\cos^2 0,5x}[/mm]
Beantwortet das deine Fragen?
Viele Grüße,
Marc.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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