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Forum "Differenzialrechnung" - Kurvendisskusion
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Kurvendisskusion: Hilfe/ Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Di 15.08.2006
Autor: Waltraud

Aufgabe
Diskutieren sie die Funktion f(x) ---> [mm] 4x^4 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm]

hallo zusammen, ich brauch da eure Hilfe.

Ich hab da schon angefangen, bitte um korrektur und Erklärungen. Danke

Also:

Benötigte Ableitungen:
f(x) --> [mm] 4x^4 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm]
f'(x) --> [mm] 16x^3 [/mm] - 8x
f''(x) --> [mm] 48x^2 [/mm] - 8
f'''(x) --> 96x

Nullstellen:

f'(xN) = 16x^3N - 8xN = xN (16x^2N - 8) =0
liefert xN1 = 0 ; xN1 = wrz 1/2 und xN3 = - wrz 1/2

So meine Frage jetzt: Wie bekomm ich die Extremstellen und wie die Wendestellen heraus?

Wie gehe ich davor? Un was ist mit Asymptoten und Polstellen und dergleichen. Könnt ihr mir da helfen?

Wäre sehr dankbar

Gruß Waltraud



        
Bezug
Kurvendisskusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Di 15.08.2006
Autor: Disap


> Diskutieren sie die Funktion f(x) ---> [mm]4x^4[/mm] - [mm]4x^2[/mm]
>  hallo zusammen, ich brauch da eure Hilfe.

Hi.

> Ich hab da schon angefangen, bitte um korrektur und
> Erklärungen. Danke
>  
> Also:
>  
> Benötigte Ableitungen:
>  f(x) --> [mm]4x^4[/mm] - [mm]4x^2[/mm]

>  f'(x) --> [mm]16x^3[/mm] - 8x

[ok]

>  f''(x) --> [mm]48x^2[/mm] - 8

[ok]
>  f'''(x) --> 96x

[daumenhoch] Alles korrekt.  

> Nullstellen:

[notok] Nein. Du berechnest hier die Nullstellen der ersten Ableitung, also die Extremstellen.

>  
> f'(xN) = 16x^3N - 8xN = xN (16x^2N - 8) =0
>  liefert xN1 = 0 ; xN1 = wrz 1/2 und xN3 = - wrz 1/2

Hier berechnest du die Extrema. Also [mm] x_E! [/mm] Die Ergebnisse stimmen aber, Glückwunsch!
Du musst natürlich die Funktion f(x) = [mm] $4x^4-4x^2$ [/mm] gleich null setzen.

> So meine Frage jetzt: Wie bekomm ich die Extremstellen und
> wie die Wendestellen heraus?

Für die Wendestellen musst du die zweite Ableitung gleich null setzen.

[mm] $48x^2 [/mm] - 8 =0$

Vergiss aber nicht die hinreichende Bedingung. D. h. zu überprüfen, ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt (durch einsetzen der Extremstellen in die zweite Ableitung) vorliegt und ob es wirklich ein/mehrere Wendestellen gibt. Das machst du, indem du die X-Stelle des 'Wendepunktes' in die dritte Ableitung einsetzt. Die hinreichende Bedingung ist bekannt?


> Wie gehe ich davor? Un was ist mit Asymptoten und

Asymptoten ist nur das Unendlichkeitsverhalten. Das zeigst du mit dem Limes. Da kein Minus vor dem größten Exponenten [mm] (x^4) [/mm] steht, ist die Funktion nach oben geöffnet und läuft für [mm] \pm \infty [/mm] auch nur nach [mm] +\infty. [/mm]

> Polstellen und dergleichen. Könnt ihr mir da helfen?

Das ist eine ganzrationale Funktion. Da gibt es keine Polstellen. Oder hast du in der Funktion schon den Nenner weggekürzt?

Vergiss den Y-Achsenabschnitt nicht. Der gehört zu den einfachsten Sachen bei der Kurvendiskussion. Ansonsten noch die Symmetrie zu beachten
(nur gerade Exponenten [mm] \Rightarrow [/mm] Achsensymmetrisch;
nur ungerade Exponenten [mm] \Rightarrow [/mm] Punktsymmetrisch zum Ursprung)

Wenn du noch etwas zur Kontrolle hast oder Fragen auftauchen, kannst du sie ja hier posten.


Gruß Disap
Bezug
                
Bezug
Kurvendisskusion: Danke
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Di 15.08.2006
Autor: Waltraud

Hallo noch mal, so ich habs verstanden. Vielen Dank. Aber noch eine kurze Frage wie ist das denn mit den y-abschnitten? was muss ich da beachten?

Lieben Gruß Waltraud

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Bezug
Kurvendisskusion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Di 15.08.2006
Autor: M.Rex

Hallo, Juliane.

Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt (0/y), wobei gilt: y = f(0).

Wenn du die Extrem- und Wendestellen berechnet hast, solltest du diese Werte ebenfalls noch in die Ausgangsfunktion f einsetzen, um den konkreten Extrem-/Wendepunkt zu berechnen.

Marius
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Bezug
Kurvendisskusion: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Di 15.08.2006
Autor: informix

Hallo Waltraud,

> Diskutieren sie die Funktion f(x) ---> [mm]4x^4[/mm] - [mm]4x^2[/mm]
>  hallo zusammen, ich brauch da eure Hilfe.
>  
> Ich hab da schon angefangen, bitte um korrektur und
> Erklärungen. Danke
>  

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