Kurvenintegral+V < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Mi 03.10.2018 | | Autor: | StudMWT |
| Aufgabe | Gegeben sind die Kurve:
K(t) = [mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} cos(t) - \wurzel{2} sin(t) \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} cos(t) + \wurzel{2} sin(t)} [/mm] , t [mm] \in [-\pi,\pi]
[/mm]
und das Vektorfeld: V(x,y) = [mm] \bruch{1}{2} \vektor{y \\ -x}
[/mm]
a) ist K(t) geschlossen?
b) Besitzt V ein Potential?
c) G sei das von der Kurve K(t) umschlossene Gebiet. Zeigen Sie die Relation
- [mm] \iint V_{2,x} [/mm] - [mm] V_{1,y} [/mm] d(x,y) = [mm] F_{G} [/mm]
d) Berechnen Sie
[mm] \iint V_{2,x} [/mm] - [mm] V_{1,y} [/mm] d(x,y) |
zu a):
t einsetzten und schauen, ob [mm] k(-\pi) [/mm] = k [mm] (\pi). [/mm] Ist korrekt
Welche Erkenntnis kann ich daraus für die restlichen Teilaufgaben ziehen?
zu b):
[mm] V_{2,x} [/mm] und [mm] V_{1,y} [/mm] ermittelt und überprüft, ob [mm] V_{2,x} [/mm] = [mm] V_{1,y}.
[/mm]
Nicht der Fall. V kein Potential sagt mir dann welche Informationen für die kommenden Teilaufgaben?
zu c):
wenn ich die Werte aus b) einsetzte habe ich ein Doppelintegral mit dem Wert 1 (das Minus reingezogen) mal d(x,y). Das Soll gleich der Fläche G sein.
Da weiß ich leider nicht, was ich da jetzt genau tun muss, um das zu beweisen. Ein Oberflächenintegral?
In der Lösung steht nur: "Nachrechnen, ist korrekt".
Mein Gedankengang war nur das Oberflächenintegral ausrechnen, aber selbst da fehlt mir der korrekte Ansatz.
zu d):
Das habe ich ausgerechnet und ist auch korrekt. Nur erschließt sich mir dadurch die Teilaufgabe c trotzdem noch nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 04.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Kurve:
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> K(t) = [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} cos(t) - \wurzel{2} sin(t) \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} cos(t) + \wurzel{2} sin(t)}[/mm]
> , t [mm]\in [-\pi,\pi][/mm]
>
> und das Vektorfeld: V(x,y) = [mm]\bruch{1}{2} \vektor{y \\ -x}[/mm]
>
> a) ist K(t) geschlossen?
> b) Besitzt V ein Potential?
>
> c) G sei das von der Kurve K(t) umschlossene Gebiet. Zeigen
> Sie die Relation
>
> - [mm]\iint V_{2,x}[/mm] - [mm]V_{1,y}[/mm] d(x,y) = [mm]F_{G}[/mm]
>
> d) Berechnen Sie
>
> [mm]\iint V_{2,x}[/mm] - [mm]V_{1,y}[/mm] d(x,y)
> zu a):
>
> t einsetzten und schauen, ob [mm]k(-\pi)[/mm] = k [mm](\pi).[/mm] Ist
> korrekt
Stimmt.
> Welche Erkenntnis kann ich daraus für die restlichen
> Teilaufgaben ziehen?
Keine.
>
> zu b):
> [mm]V_{2,x}[/mm] und [mm]V_{1,y}[/mm] ermittelt und überprüft, ob [mm]V_{2,x}[/mm]
> = [mm]V_{1,y}.[/mm]
> Nicht der Fall. V kein Potential
Stimmt auch.
> sagt mir dann welche
> Informationen für die kommenden Teilaufgaben?
Keine.
>
> zu c):
>
> wenn ich die Werte aus b) einsetzte habe ich ein
> Doppelintegral mit dem Wert 1 (das Minus reingezogen) mal
> d(x,y). Das Soll gleich der Fläche G sein.
Ja, Du bekommst
$ [mm] \iint_{G}1 [/mm] d(x,y)$.
>
> Da weiß ich leider nicht, was ich da jetzt genau tun muss,
> um das zu beweisen. Ein Oberflächenintegral?
Nein. Kein Oberflächenintegral.
Ihr habt doch sicher gehabt, dass $ [mm] \iint_{G}1 [/mm] d(x,y)$ =Inhalt der Menge G ist. Oder wie habt Ihr "Inhalt" definiert ?
>
> In der Lösung steht nur: "Nachrechnen, ist korrekt".
>
> Mein Gedankengang war nur das Oberflächenintegral
> ausrechnen, aber selbst da fehlt mir der korrekte Ansatz.
>
> zu d):
> Das habe ich ausgerechnet und ist auch korrekt. Nur
> erschließt sich mir dadurch die Teilaufgabe c trotzdem
> noch nicht.
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 04.10.2018 | | Autor: | StudMWT |
> Nein. Kein Oberflächenintegral.
> Ihr habt doch sicher gehabt, dass $ [mm] \iint_{G}1 [/mm] d(x,y) $ =Inhalt der Menge G ist. Oder wie habt Ihr "Inhalt" definiert ?
Bei uns heißt das:
$ [mm] \mu [/mm] (G) = [mm] \iint_{G} [/mm] d(x,y) $
Inhalt oder Maß von G.
Bis zu diesem Punkt bin ich auch gekommen. Ich habe aber eine Kurve gegeben und nur den Parameter t.
Was muss ich da dann einsetzten und welche Grenzen habe ich? DAS wäre mein Hauptproblem bei der Aufgabe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Fr 05.10.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
dx=x'(t)dt
berechne int y(t)*x'(t)*dt
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 Fr 05.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> > Nein. Kein Oberflächenintegral.
> > Ihr habt doch sicher gehabt, dass [mm]\iint_{G}1 d(x,y)[/mm] =Inhalt
> der Menge G ist. Oder wie habt Ihr "Inhalt" definiert ?
>
>
> Bei uns heißt das:
>
> [mm]\mu (G) = \iint_{G} d(x,y)[/mm]
>
> Inhalt oder Maß von G.
Dachte ich mir es, nur was ist dann [mm] F_G [/mm] ?
>
> Bis zu diesem Punkt bin ich auch gekommen. Ich habe aber
> eine Kurve gegeben und nur den Parameter t.
>
> Was muss ich da dann einsetzten und welche Grenzen habe
> ich? DAS wäre mein Hauptproblem bei der Aufgabe
Ich denke, dass Du den Integralsatz von Gauss bemühen sollst.
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