Kurvenintegral < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Hallo Mathe-Raum,
Ich habe eine Frage im Bezug auf Kurvenintegrale.
Wenn man ein Vektorfeld f beispielsweise [mm] f=\vektor{\bruch{-y}{x^2+y^2} \\ \bruch{x}{x^2+y^2}} [/mm] bezüglich eines Weges [mm] \gamma [/mm] berechnet, das ist alles klar, aber was ist wenn man ein Vektorfeld in Form von [mm] \omega=x*dx+x*dy [/mm] gegeben hat. Ist das eine besondere Form eines Vektorfeldes und was soll dx und dy aussagen?
Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen.
Mit freundlichen Grüßen.
|
|
| |
|
> Hallo Mathe-Raum,
> Ich habe eine Frage im Bezug auf Kurvenintegrale.
> Wenn man ein Vektorfeld f beispielsweise
> [mm]f=\vektor{\bruch{-y}{x^2+y^2} \\ \bruch{x}{x^2+y^2}}[/mm]
> bezüglich eines Weges [mm]\gamma[/mm] berechnet, das ist alles
> klar, aber was ist wenn man ein Vektorfeld in Form von
> [mm]\omega=x*dx+x*dy[/mm] gegeben hat. Ist das eine besondere Form
> eines Vektorfeldes und was soll dx und dy aussagen?
> Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen.
> Mit freundlichen Grüßen.
Hallo Sim22,
die Antwort ist ganz einfach, aber für dich vielleicht
nicht sogleich befriedigend:
Durch die Gleichung [mm]\omega=x*dx+x*dy[/mm] wird halt
einfach gar nicht ein Vektorfeld dargestellt, sondern
ein Differential(-Feld), wie man es zum Beispiel im
Zusammenhang mit einer Integrationsaufgabe benützen kann.
Es wäre sinnvoll, wenn du uns dazu eine vollständige
Aufgabenstellung angeben würdest.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für deine schnelle Antwort!
Also aus meiner Vorlesung habe ich folgendes zu Kurvenintegrale:
[mm] \omega=f1(x)dx1+...+fd(x)dxd
[/mm]
[mm] \gamma=[a,b]\to\IR^d
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{f1(\gamma(t))*\gamma'(t)+...+fd(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}
[/mm]
Eine Aufgabe die ich im Moment habe ist:
Es sei [mm] \omega=x*dx+x*dy [/mm] und [mm] \gamma:[0,2pi]\to\IR^2, \gamma(t)=\vektor{1 \\ 0}; \delta:[0,2pi]\to\IR^2, \delta=\vektor{cost \\ sint}
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] \integral_{\gamma}^{}{\omega} [/mm] und [mm] \integral_{\delta}^{}{\omega}
[/mm]
b) Könnte es eine Funktion [mm] F:\IR^2\to\IR [/mm] mit [mm] dF=\omega [/mm] existieren?
Ich habe jetzt angenommen das [mm] \omega [/mm] ein Vektorfeld sei. Wenn es aber nun kein Vektorfeld ist sondern ein Differential wie du sagtest, kann ich die Aufgabe wie oben beschrieben(aus der Vorlesung) lösen?
Aber wo wäre dann der Unterschied vom Differential(-feld) zum Vektorfeld?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!
Mit freundlichen Grüßen.
|
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Also aus meiner Vorlesung habe ich folgendes zu
> Kurvenintegrale:
> [mm]\omega=f1(x)dx1+...+fd(x)dxd[/mm]
> [mm]\gamma=[a,b]\to\IR^d[/mm]
> [mm]\Rightarrow \integral_{a}^{b}{f1(\gamma(t))*\gamma'(t)+...+fd(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
>
Hierbei ist [mm]\bold{v}=\pmat{f_{1}\left(x\right) \\ ... \\ f_{d}\left(x\right)}[/mm] das Vektorfeld.
mit [mm]f_{i}\left(x\right), \ i=1, \ ... \, \ d[/mm] reellwertige stetige Funktionen.
Und [mm]d\bold{x}=\pmat{dx_{1} \\ ... \\ dx_{d}}[/mm] der Differentialoperator.
So daß [mm]\omega=< \bold{v}, \ d\bold{x} \ >[/mm] ist.
>
> Eine Aufgabe die ich im Moment habe ist:
> Es sei [mm]\omega=x*dx+x*dy[/mm] und [mm]\gamma:[0,2pi]\to\IR^2, \gamma(t)=\vektor{1 \\ 0}; \delta:[0,2pi]\to\IR^2, \delta=\vektor{cost \\ sint}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie [mm]\integral_{\gamma}^{}{\omega}[/mm] und
> [mm]\integral_{\delta}^{}{\omega}[/mm]
> b) Könnte es eine Funktion [mm]F:\IR^2\to\IR[/mm] mit [mm]dF=\omega[/mm]
> existieren?
>
> Ich habe jetzt angenommen das [mm]\omega[/mm] ein Vektorfeld sei.
> Wenn es aber nun kein Vektorfeld ist sondern ein
> Differential wie du sagtest, kann ich die Aufgabe wie oben
> beschrieben(aus der Vorlesung) lösen?
[mm]\omega[/mm] ist eine Differentialform bzw. 1-Form oder Pfaffsche Form.
Die Aufgabe kannst Du mit den Mitteln aus der Vorlesung lösen.
> Aber wo wäre dann der Unterschied vom Differential(-feld)
> zum Vektorfeld?
>
> Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!
> Mit freundlichen Grüßen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Zu b). Für eine Funktion [mm]F = F(x,y)[/mm] definiert man:
[mm]\mathrm{d}F = \frac{\partial F}{\partial x} ~ \mathrm{d}x + \frac{\partial F}{\partial y} ~ \mathrm{d}y[/mm]
Dabei gilt folgender Satz: WENN eine Funktion [mm]F[/mm] mit [mm]\mathrm{d}F = \omega[/mm] existiert, DANN ist das Integral [mm]\int_{\gamma} \omega[/mm] wegunabhängig.
Was folgerst du mit diesem Satz aus a)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für eure schnelle Antwort!
(Hat mir gut geholfen)
Also ich habe mit Teilaufgabe b) begonnen um zu schauen ob das Kurvenintegral weggab- oder wegunabhängig ist.
Bei mir kam raus, dass das Vektorfeld [mm] \vektor{f1 \\ f2}=\vektor{x \\ x} [/mm] ein wegabhängiges Vektorfeld ist, das heißt es existiert kein [mm] \omega=dF [/mm] (kein Potential F), womit man das Kurvenintegral nur von den Endpunkten berechnen kann.
[mm] \bruch{df_{1}}{dy} \not= \bruch{df_{2}}{dx}
[/mm]
Bei Teilaufgabe a) bin ich mir noch unsicher, denn wenn Vektorfeld und Weg in die Form:
[mm] \integral_{a}^{b}{f1(\gamma(t))*\gamma'(t)+...+fd(\gamma(t))*\gamma'(t)dt} [/mm] einsetze
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{1 \\ 0}*\vektor{0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 0}*\vektor{0 \\ 0}dt}=0
[/mm]
Hab ich ein Fehler beim einsetzen gemacht?
Wenn das Integral gleich Null wäre, dann wäre es doch ein konservatives Vektorfeld und somit würde sich das doch mit meiner Aussage aus Teilaufgabe b) widersprechen oder?
Ich würde mich über eure Hilfe freuen!
Mit freundlichen Grüßen!
|
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Danke für eure schnelle Antwort!
> (Hat mir gut geholfen)
>
> Also ich habe mit Teilaufgabe b) begonnen um zu schauen ob
> das Kurvenintegral weggab- oder wegunabhängig ist.
> Bei mir kam raus, dass das Vektorfeld [mm]\vektor{f1 \\ f2}=\vektor{x \\ x}[/mm]
> ein wegabhängiges Vektorfeld ist, das heißt es existiert
> kein [mm]\omega=dF[/mm] (kein Potential F), womit man das
> Kurvenintegral nur von den Endpunkten berechnen kann.
> [mm]\bruch{df_{1}}{dy} \not= \bruch{df_{2}}{dx}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei Teilaufgabe a) bin ich mir noch unsicher, denn wenn
> Vektorfeld und Weg in die Form:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f1(\gamma(t))*\gamma'(t)+...+fd(\gamma(t))*\gamma'(t)dt}[/mm]
> einsetze
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\vektor{1 \\ 0}*\vektor{0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 0}*\vektor{0 \\ 0}dt}=0[/mm]
>
Hier muss es doch zunächst lauten:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}<\vektor{1 \\ 1}, \ \vektor{0 \\ 0}>dt}=\integral_{0}^{2\pi}\left(1*0+1*0\right) \ dt}[/mm]
.wobei das Vektorfeld [mm]\bold{v}=\pmat{x \\ x[/mm] und [mm]d\bold{x}= \gamma'\left(t}\right) \ dt = \pmat{0 \\ 0 } \ dt[/mm] ist.
> Hab ich ein Fehler beim einsetzen gemacht?
> Wenn das Integral gleich Null wäre, dann wäre es doch
> ein konservatives Vektorfeld und somit würde sich das doch
> mit meiner Aussage aus Teilaufgabe b) widersprechen oder?
>
Berechne das Integral über den zweiten angegebenen Weg.
> Ich würde mich über eure Hilfe freuen!
> Mit freundlichen Grüßen!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Du scheinst auch kein Freund einer ordentlichen Klammersetzung zu sein. Richtig muß es so heißen:
[mm]\int_0^{2 \pi} \left( 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
Und den Buchstaben x einmal für eine Koordinate und im selben Atemzug beim Differential eines Vektors zu verwenden, ist auch nicht gerade hilfreich. Da nützt auch der kaum sichtbare Fettdruck nicht viel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 17:34 Mi 13.08.2014 | | Autor: | MathePower |
Hallo Leopold_Gast,
> Du scheinst auch kein Freund einer ordentlichen
> Klammersetzung zu sein. Richtig muß es so heißen:
>
> [mm]\int_0^{2 \pi} \left( 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
>
> Und den Buchstaben x einmal für eine Koordinate und im
> selben Atemzug beim Differential eines Vektors zu
> verwenden, ist auch nicht gerade hilfreich. Da nützt auch
> der kaum sichtbare Fettdruck nicht viel.
Das ist sonst nicht meine Art, aber was soll man da machen,
wenn es in diversen Lehrbüchern ebenfalls so drin steht.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Vielen Dank!
Ich frage mich nur woher du im Integral den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] hast?
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}<\vektor{1 \\ 1}, \ \vektor{0 \\ 0}>dt}=\integral_{0}^{2\pi}1*0+1*0 \ dt}[/mm]
Müsste man nicht für x den Vektor [mm] \gamma(t) [/mm] einsetzen also [mm] \vektor{1 \\ 0}?
[/mm]
Zu dem zweiten Weg:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cost \\ sint},\vektor{-sint \\ cost}>dt} =\integral_{0}^{2\pi}{-cost*sint+sint*cost dt} [/mm] = 0
Es kommt ebenfalls 0 raus, oder mach ich grundsätzlich einen Fehler?
Würde mich über eine Antwort freuen!
|
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Vielen Dank!
> Ich frage mich nur woher du im Integral den Vektor
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] hast?
Die Kurve [mm]\gamma\left(t\right)=\pmat{1 \\ 0}[/mm] wurde
in das Vektorfeld
[mm]\bold{v}=\pmat{x \\ x}[/mm]
eingesetzt.
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi}<\vektor{1 \\ 1}, \ \vektor{0 \\ 0}>dt}=\integral_{0}^{2\pi}1*0+1*0 \ dt}[/mm]
>
> Müsste man nicht für x den Vektor [mm]\gamma(t)[/mm] einsetzen
> also [mm]\vektor{1 \\ 0}?[/mm]
>
Nein, es ist
[mm]\gamma(t)=\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right)}=\pmat{1 \\ 0}[/mm]
> Zu dem zweiten Weg:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cost \\ sint},\vektor{-sint \\ cost}>dt} =\integral_{0}^{2\pi}{-cost*sint+sint*cost dt}[/mm]
Es muss doch hier stehen:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cos\left(t\right) \\ \blue{\cos\left(t\right)}},\vektor{-sint \\ cost}>dt}[/mm]
> = 0
>
> Es kommt ebenfalls 0 raus, oder mach ich grundsätzlich
> einen Fehler?
>
> Würde mich über eine Antwort freuen!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Vielen Dank!
Das war ein blöder Fehler, ich werde es sofort noch einmal ausprobieren!
Mit freundlichen Grüßen!
|
|
|
| |
|
Es wird Zeit, daß dieser gräßliche chaotische Formelsalat einmal ordentlich hingeschrieben wird.
Am besten schreibt man
[mm]\omega = u ~ \mathrm{d}x + v ~ \mathrm{d}y[/mm]
Hierbei sind [mm]u = u(x,y)[/mm] und [mm]v = v(x,y)[/mm] reellwertige Funktionen zweier reeller Variabler [mm]x,y[/mm], bei den meisten Anwendungen als hinreichend oft differenzierbar angenommen.
Man kann jetzt [mm]u,v[/mm] zu einer vektorwertigen Funktion zusammenfassen. Nehmen wir dafür den Bezeichner [mm]f[/mm] und wählen wir die Spaltenschreibweise:
[mm]f = f(x,y) = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm]
Auch [mm]x,y[/mm] kann man zu einem Vektor zusammenfassen. Da der Bezeichner [mm]x[/mm] aber schon vergeben ist, muß man irgendeinen anderen Bezeichner wählen. Oft sieht man dafür [mm]r[/mm]:
[mm]r = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
Zur Klarstellung kann es hilfreich sein, über [mm]f = f(r)[/mm] und [mm]r[/mm] einen Pfeil zu setzen, also [mm]\vec{f} = \vec{f} \left( \vec{r} \right)[/mm] und [mm]\vec{r}[/mm] zu schreiben. Die Physiker machen das, glaube ich, gerne. Es ist aber nicht nötig, wenn man sich zu jeder Zeit bewußt ist, welche der Bezeichner Skalare und welche Vektoren repräsentieren.
Und jetzt setzt man ganz formal
[mm]\mathrm{d}r = \begin{pmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \end{pmatrix}[/mm]
und kann damit [mm]\omega[/mm] als formales Skalarprodukt von Vektoren schreiben:
[mm]\omega = u(x,y) ~ \mathrm{d}x + v(x,y) ~ \mathrm{d}y = f(r) \cdot \mathrm{d}r[/mm]
Ich betone noch einmal, daß es sich beim letzten Malpunkt um ein Skalarprodukt handelt.
Und wenn man nun eine Parameterdarstellung [mm]\gamma(t), \ t \in [a,b][/mm] einer Kurve hat, dann ist [mm]t[/mm] eine gewöhnliche reelle Variable, während [mm]\gamma[/mm] eine vektorwertige Funktion mit zwei Koordinaten ist:
[mm]\gamma(t) = \begin{pmatrix} \gamma_1(t) \\ \gamma_2(t) \end{pmatrix}[/mm]
Und hier sind [mm]\gamma_1,\gamma_2[/mm] gewöhnliche reelle Funktionen, wie man sie aus der Schule schon kennt.
Will man das Kurvenintegral [mm]\int_{\gamma} \omega[/mm] nun berechnen, muß man einfach überall [mm]x[/mm] durch [mm]\gamma_1(t)[/mm] und [mm]y[/mm] durch [mm]\gamma_2(t)[/mm] ersetzen. Alternativ setzt man in der Darstellung mit [mm]r,f[/mm] für [mm]r[/mm] den Term [mm]\gamma(t)[/mm] ein:
[mm]\omega = u(x,y) ~ \mathrm{d}x + v(x,y) ~ \mathrm{d}y \ \ \text{wird zu} \ \ u \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \mathrm{d}\gamma_1(t) + v \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \mathrm{d}\gamma_2(t)[/mm]
Und wie man das zum Beispiel auch von der Substitutionsregel bei eindimensionalen Integralen kennt, ist [mm]\mathrm{d}\gamma_1(t) = \gamma_1'(t) ~ \mathrm{d}t[/mm] und [mm]\mathrm{d}\gamma_2(t) = \gamma_2'(t) ~ \mathrm{d}t[/mm] zu setzen. Man erhält so weiter den Ausdruck
[mm]u \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_1'(t) ~ \mathrm{d}t + v \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_2'(t) ~ \mathrm{d}t = \left( \ \ u \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_1'(t) + v \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_2'(t) \ \ \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
Und über diesen ist im Parameterintervall zu integrieren:
[mm]\int_{\gamma} \omega = \int_a^b \left( \ \ u \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_1'(t) + v \left( \gamma_1(t),\gamma_2(t) \right) ~ \gamma_2'(t) \ \ \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 13.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke, für deine ausführliche Antwort!
Ich habe nun das Integral des zweiten Weges berechnet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cos(t) \\ cos(t)},\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}>dt} =\integral_{0}^{2\pi}{(-cos(t)*sin(t)+cos^2(t)) dt}=\pi
[/mm]
Ich hoffe nun, dass es richtig ist.
|
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Danke, für deine ausführliche Antwort!
> Ich habe nun das Integral des zweiten Weges berechnet:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{<\vektor{cos(t) \\ cos(t)},\vektor{-sin(t) \\ cos(t)}>dt} =\integral_{0}^{2\pi}{(-cos(t)*sin(t)+cos^2(t)) dt}=\pi[/mm]
>
> Ich hoffe nun, dass es richtig ist.
>
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich hätte es umgekehrt gemacht. Erst a), dann b). Denn bei richtiger Rechnung stellt sich in a) heraus, daß die Integrale über [mm]\gamma[/mm] und [mm]\delta[/mm] verschieden sind, obwohl sie beide über geschlossene Kurven mit demselben Anfangs- und Endpunkt laufen. Bei [mm]\gamma[/mm] tritt man in [mm](1,0)[/mm] auf der Stelle, bei [mm]\delta[/mm] läuft man von [mm](1,0)[/mm] aus einmal um den Einheitskreis herum. Das Integral ist wegabhängig, ein [mm]F[/mm] mit [mm]\mathrm{d}F = \omega[/mm] kann daher nicht existieren.
Zum zweiten Teil deiner Frage. Schreibe die allgemeine Formel mal ordentlich auf. So, wie es da steht, ist es Unfug. Entweder verwendest du den Malpunkt im Sinne eines Skalarprodukts von Vektoren. Oder du verwendest ihn im Sinn der Multiplikation von [mm]\mathbb{R}[/mm]. Was du jedoch tust, ist, ein heilloses Durcheinander anzurichten.
Und setze bitte Klammern, wo welche hingehören.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Do 14.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Definitionen und Schreibweisen:
Sei [mm] $c=(c_1,...,c_n):[a,b] \to \IR^n$ [/mm] ein stückweise stetig differenzierbarer Weg und [mm] $f=(f_1,...,f_n):c([a,b]) \to \IR^n$ [/mm] stetig.
Def. 1:
[mm] \integral_{c}^{}{f(x) *dx}:=\integral_{a}^{b}{f(c(t))*c'(t) dt} [/mm] ,
wobei mit $f(c(t))*c'(t)$ das Standardskalarprodukt von $f(c(t))$ und $c'(t)$ gemeint ist.
Def. 2: sei $i [mm] \in \{1,...,n\}.$
[/mm]
[mm] \integral_{c}^{}{f_i(x) dx_i}:=\integral_{a}^{b}{f_i(c(t))*c_i'(t) dt}.
[/mm]
Dann haben wir:
[mm] \integral_{c}^{}{f(x) *dx}=\summe_{i=1}^{n} \integral_{c}^{}{f_i(x) dx_i}.
[/mm]
Für das Integral [mm] \integral_{c}^{}{f(x) *dx} [/mm] schreibt man daher auch
[mm] \integral_{c}^{}(f_1(x) dx_1+f_2(x) dx_2+...+f_n(x) dx_n)
[/mm]
FRED
|
|
|
|
