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| Aufgabe | Berechnen Sie den Massenschwerpunkt eines spiralförmigen, homogenen Seils, das durch
[mm] \gamma=e^{-t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 4\pi
[/mm]
parametrisiert wird. Wo liegt der Schwerpunkt, wenn man ein unendlich langes Seil, d.h. [mm] \gamma(t) [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \infty [/mm] betrachtet? |
Wenn ich das folgende Integral löse:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{| \gamma'(t) | dt}=\integral_{0}^{4\pi}{\wurzel{-sin^2(t)+cos^2(t)} dt}
[/mm]
dann habe ich die Länge des Seils, aber wie hilft mir das, um den Massenschwerpunkt zu bestimmen?
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Hallo!
Überlege mal, wie man den Schwerpunkt definiert. Für eine Anzahl einzelner Massen an bestimmten Positionen ist das:
[mm] $\vec{s}=\frac{\sum\vec{x}_i*m_i}{\sum m_i}$
[/mm]
Das Seil kannst du nun in infinitesimal kleine Stücke zerlegen, jedes ist an der Position [mm] \vec{\gamma}(t) [/mm] und hat die Länge [mm] |\vec{\gamma}'(t)| [/mm] bzw. das Gewicht [mm] \rho*|\vec{\gamma}'(t)| [/mm] . Dabei ist [mm] \rho [/mm] eine Liniendichte, gibt dir also das Gewicht pro Länge an.
Das mußt du jetzt zusammensetzen.
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also wenn ich dich richtig verstanden habe, dann muss ich das folgende Integral lösen:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}=\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} *\wurzel{(-e^{-t}*cos(t)-sin(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t}*sin(t)+cos(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t})^2} dt}
[/mm]
wie löse ich das integral? muss ich jede Komponente integrieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ja, du musst jede Komponente einzeln integrieren.
Ziehe dafür zunächst die Exp-Funktion aus der Wurzel, multipliziere aus und fasse zusammen.
Liebe Grüße
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ich habe das Integral nun so zusammengefasst:
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}=\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} *\wurzel{(-e^{-t}*cos(t)-sin(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t}*sin(t)+cos(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t})^2} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} *e^{-t}((-cos(t)-sin(t))^2+(-sin(t)+cos(t))^2-1)^{\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} *((-cos(t)-sin(t))^2+(-sin(t)+cos(t))^2-1)^{\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
jetzt Betrachte ich die erste Komponente:
[mm] f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*((-cos(t)-sin(t))^2+(-sin(t)+cos(t))^2-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
wie integriere ich nun [mm] f_1(t)?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Du solltest die Wurzel erstmal etwas vereinfachen.
(Es sollte +1 am Ende statt -1 lauten)
Liebe Grüße
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nur die Wurzel betrachtet:
[mm] ((-cos(t)-sin(t))^2+(-sin(t)+cos(t))^2-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
= [mm] ((-1)(cos(t)+sin(t)))^2+((-1)(sin(t)-cos(t)))^2-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =((cos(t)+sin(t))^2+(sin(t)-cos(t))^2-1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
ich wechsel wieder zur wurzel, weil es mir mit den klammern zu unübersichtlich wird
[mm] =\wurzel{(cos(t)+sin(t))^2+(sin(t)-cos(t))^2-1}
[/mm]
[mm] =\wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}
[/mm]
daraus folgt
[mm] f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*\wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}
[/mm]
ich weiß aber immer noch nicht wie ich es integrieren soll
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Hi!
Manchmal wird ein Term erst einfacher, wenn man ihn zunächst aufbläht...
Löse erstmal die binomischen Terme auf und beachte dann [mm] sin^2+cos^2=1
[/mm]
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[mm] f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*\wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}
[/mm]
= [mm] \wurzel{-(cos^2(t)+2cos(t)*sin(t)+sin^2(t))-(sin^2(t)-2cos(t)*sin(t)+cos^2(t))+1}
[/mm]
= [mm] \wurzel{-cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)-sin^2(t)-sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)-cos^2(t)+sin^2(t)+cos^2(t)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{-cos^2(t)-sin^2(t)}
[/mm]
[mm] =\wurzel{-1}=i
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*i
[/mm]
jetzt habe ich eine funktion mit einer komplexen zahl. ohne die komplexe zahl hätte ich die partielle integration angewendet oder gibt es da eine elegantere Lösung?
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Hallo arbeitsamt,
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> [mm]f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*\wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}[/mm]
>
Es muss doch hier zunächst so lauten:
[mm]f_1(t)=\[{e}^{-2t}\,\mathrm{cos}\left( t\right) \,\sqrt{{\left(\mathrm{cos}\left( t\right) -\mathrm{sin}\left( t\right) \right) }^{2}+{\left( -\mathrm{sin}\left( t\right) -\mathrm{cos}\left( t\right) \right) }^{2}+1}\][/mm]
>
> [mm]\wurzel{-(cos(t)+sin(t))^2-(sin(t)-cos(t))^2+1}[/mm]
>
> =
> [mm]\wurzel{-(cos^2(t)+2cos(t)*sin(t)+sin^2(t))-(sin^2(t)-2cos(t)*sin(t)+cos^2(t))+1}[/mm]
>
> =
> [mm]\wurzel{-cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)-sin^2(t)-sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)-cos^2(t)+sin^2(t)+cos^2(t)}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{-cos^2(t)-sin^2(t)}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{-1}=i[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]f_1(t)=e^{-2t}*cos(t)*i[/mm]
>
>
> jetzt habe ich eine funktion mit einer komplexen zahl. ohne
> die komplexe zahl hätte ich die partielle integration
> angewendet oder gibt es da eine elegantere Lösung?
Gruss
MathePower
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Hallo,
[mm] f_1(t)=\[{e}^{-2t}\,\mathrm{cos}\left( t\right) \,\sqrt{{\left(\mathrm{cos}\left( t\right) -\mathrm{sin}\left( t\right) \right) }^{2}+{\left( -\mathrm{sin}\left( t\right) -\mathrm{cos}\left( t\right) \right) }^{2}+1}\]
[/mm]
[mm] f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)+sin^2(t)+sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)+cos^2(t)+1}
[/mm]
[mm] f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)+sin^2(t)+sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)+cos^2(t)+1}
[/mm]
[mm] f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{3cos^2(t)+3sin^2(t)}
[/mm]
[mm] f_1(t) [/mm] kann ich jetzt mir partielle Integration integrieren oder?
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Hallo arbeitsamt,
> Hallo,
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>
> [mm]f_1(t)=\[{e}^{-2t}\,\mathrm{cos}\left( t\right) \,\sqrt{{\left(\mathrm{cos}\left( t\right) -\mathrm{sin}\left( t\right) \right) }^{2}+{\left( -\mathrm{sin}\left( t\right) -\mathrm{cos}\left( t\right) \right) }^{2}+1}\][/mm]
>
>
> [mm]f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)+sin^2(t)+sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)+cos^2(t)+1}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)-2cos(t)*sin(t)+sin^2(t)+sin^2(t)+2cos(t)*sin(t)+cos^2(t)+1}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{3cos^2(t)+3sin^2(t)}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)[/mm] kann ich jetzt mir partielle Integration integrieren
> oder?
Der obige Integrand kann noch etwas zusammengefasst werden.
Dann kannst Du partiell Integrieren.
Gruss
MathePower
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[mm] f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{3cos^2(t)+3sin^2(t)}
[/mm]
[mm] f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)+sin^2(t)}
[/mm]
[mm] f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)\wurzel{1}
[/mm]
[mm] f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)
[/mm]
[mm] \wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\bruch{[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}}{2}= \bruch{[\bruch{-e^{-8\pi}+e^{0}}{2}]+[0]}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-e^{-8\pi}+1}{4}
[/mm]
Ist die Lösung richig?
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Hallo arbeitsamt,
> [mm]f_1(t)=e^{-2t}cos(t)\wurzel{3cos^2(t)+3sin^2(t)}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)\wurzel{cos^2(t)+sin^2(t)}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)\wurzel{1}[/mm]
>
> [mm]f_1(t)=\wurzel{3}e^{-2t}cos(t)[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}\red{-\bruch{1}{2}}\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\bruch{[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}+[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}}{2}= \bruch{[\bruch{-e^{-8\pi}+e^{0}}{2}]+[0]}{2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-e^{-8\pi}+1}{4}[/mm]
>
> Ist die Lösung richig?
>
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}\red{-\bruch{1}{2}}\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}[/mm]
Heute ist echt nicht mein tag
[mm] \wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{5\wurzel{3}}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\bruch{4}{5}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{4}{10}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{5}(-\bruch{1}{2}e^{-8\pi}-(-\bruch{1}{2}e^{-2*0})-\bruch{4}{10}*0=0,4
[/mm]
aber jetzt ist es doch richtig oder?
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Hallo arbeitsamt,
> Hallo,
>
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}\red{-\bruch{1}{2}}\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}[/mm]
>
> Heute ist echt nicht mein tag
>
> [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}sin(t) dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]\wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{5\wurzel{3}}{4}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\wurzel{3}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{\wurzel{3}}{2}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}cos(t) dt}=\bruch{4}{5}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}-\bruch{4}{10}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}[/mm]
>
>
>
>
> =
> [mm]\bruch{4}{5}(-\bruch{1}{2}e^{-8\pi}-(-\bruch{1}{2}e^{-2*0})-\bruch{4}{10}*0=0,4[/mm]
>
> aber jetzt ist es doch richtig oder?
>
Die Integration ist richtig.
Die Auswertung jedoch nicht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Sa 18.10.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
Hallo
> Die Integration ist richtig.
> Die Auswertung jedoch nicht.
ich habe das jetzt mehrmals ausgerechnet und komme immer auf 0,4
[mm] \bruch{4}{10}*[-\bruch{1}{2}e^{-2t}*sin(t)]_0^{4\pi}=0
[/mm]
[mm] \bruch{4}{5}*[\bruch{1}{-2}e^{-2t}*cos(t)]_0^{4\pi}= \bruch{4}{5}((-\bruch{e^{-2*4\pi}}{2}*cos(4\pi)-(-\bruch{e^{-2*0}}{2}*cos(0))=0.4
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 18.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechne etwas sorgfältiger. woher kommt die 3 unter der Wurzel und [mm] cos^2+sin^2=1 [/mm] hast du auch nicht benutzt.
Gruß leduart.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Sa 18.10.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
Hallo
> Hallo
> rechne etwas sorgfältiger. woher kommt die 3 unter der
> Wurzel und [mm]cos^2+sin^2=1[/mm] hast du auch nicht benutzt.
> Gruß leduart.
ich habe [mm] cos^2+sin^2=1 [/mm] benutzt. [mm] cos^2(t)+cos^2(t)+cos^2(t)=3cos^2(t)
[/mm]
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[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}=\integral_{0}^{4\pi}{e^{-t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} *\wurzel{(-e^{-t}*cos(t)-sin(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t}*sin(t)+cos(t)*e^{-t})^2+(-e^{-t})^2} dt}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}\integral_{0}^{4\pi}{e^{-2t}\vektor{cos(t) \\ sin(t)\\ 1} dt}=\vektor{0,4 \\ 0,2\\ 0,87}
[/mm]
wir gehen jetzt einfach mal davon aus, das die Lösung richtig ist.
ist der Vektor [mm] \vektor{0,4 \\ 0,2\\ 0,87} [/mm] bereits der Schwerpunkt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 So 19.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, sieh dir die Def. des Schwerpunktes in der ersten Antwort an.
Gruß leduart
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Gesucht ist der schwerpunkt der Kurve [mm] \gamma(t). [/mm]
Das heißt ich brauch eine Gleichung, die äquivalent zu dieser Gleichung ist:
Gleichung 1: [mm] \vec{s}=\frac{\sum\vec{x}_i*L_i}{\sum L_i} [/mm] mit L=Länge
Die richtige Gleichung wäre dann:
gleichung 2: [mm] \bruch{1}{\integral_{0}^{4\pi}{| \gamma'(t) | dt}}\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}
[/mm]
so jetzt habe ich aber ein verständnisproblem. Meines Wissens nach sind die Zähler aus Gleichung 1 und 2 nicht äquivalent
[mm] \sum\vec{x}_i*L_i= [/mm] Summe der Schwerpunkte * die jeweilige Länge
[mm] \integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}= [/mm] Summe der Positionen auf der Kurve * die jeweilige Länge
also mein problem ist ich verstehe nicht wieso die folgende Gleichung gilt:
[mm] \sum\vec{x}_i*L_i=\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}
[/mm]
oder anders gefragt:
Was bedeutet dieses Integral: [mm] \integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}?
[/mm]
ich weiß das das folgene Integral die Länge der Kurve ist: [mm] \integral_{0}^{4\pi}{| \gamma'(t) | dt}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Gesucht ist der schwerpunkt der Kurve [mm]\gamma(t).[/mm]
> Das heißt ich brauch eine Gleichung, die äquivalent zu
> dieser Gleichung ist:
>
> Gleichung 1: [mm]\vec{s}=\frac{\sum\vec{x}_i*L_i}{\sum L_i}[/mm] mit
> L=Länge
>
> Die richtige Gleichung wäre dann:
>
> gleichung 2: [mm]\bruch{1}{\integral_{0}^{4\pi}{| \gamma'(t) | dt}}\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}[/mm]
>
>
> so jetzt habe ich aber ein verständnisproblem. Meines
> Wissens nach sind die Zähler aus Gleichung 1 und 2 nicht
> äquivalent
>
> [mm]\sum\vec{x}_i*L_i=[/mm] Summe der Schwerpunkte * die jeweilige
> Länge
[mm] $x_i$ [/mm] sind nichts als die Ortsvektoren der Massenpunkte.
>
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}=[/mm] Summe
> der Positionen auf der Kurve * die jeweilige Länge
>
> also mein problem ist ich verstehe nicht wieso die folgende
> Gleichung gilt:
>
> [mm]\sum\vec{x}_i*L_i=\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}[/mm]
Du hast hier keine Gleichheit.
Wenn du aber willst, kannst du einige Analogien ziehen:
i<-->t
[mm] $x$<-->$\gamma$
[/mm]
[mm] $L_i$<-->$\mathrm{d}\sigma(t)$, [/mm] wobei [mm] $\sigma$ [/mm] das Maß auf $Bild [mm] \gamma$ [/mm] ist
[mm] $\sum$<-->$\int$
[/mm]
[mm] $\sum L_i$<-->$\int\mathrm{d}\sigma(t) [/mm] $
Damit wird auch die Formel einigermaßen plausibel, hoffe ich.
> oder anders gefragt:
>
> Was bedeutet dieses Integral:
> [mm]\integral_{0}^{4\pi}{\gamma(t)*| \gamma'(t) | dt}?[/mm]
>
> ich weiß das das folgene Integral die Länge der Kurve
> ist: [mm]\integral_{0}^{4\pi}{| \gamma'(t) | dt}[/mm]
>
>
>
>
Liebe Grüße
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