Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne das folgende Kurvenintegral. Die Kurve ist gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen.
[mm] \integral_{|z-i|=2}^{}{1/(z^2+4) dz} [/mm] |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe mit dem Weg, über den ich integrieren soll nicht klar.
An sich nehme ich ja immer den Ansatz
[mm] \integral_{ \gamma}^{}{f(z) dz}= \integral_{a}^{b}{f( \gamma(z)) * \gamma'(z) dz}
[/mm]
Das hat bei anderen Aufgaben super geklappt, bei denen der Weg explizit angegeben war.
Wie sieht der Weg hier aus und was nehme ich dann für Start und Endpunkt?
Gruß, Mzeespitti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Do 03.08.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
Der Weg ist hier einfach alle z, die von i den Abstand 2 haben, also der Kreis mit Radius 2 mit dem Mittelpunkt i. Diese Kurve kannst du einfach parametrisieren, indem du Polarkoordinaten substituierst, also z=i+2*exp(i*t).
Wenn du hier dann das t von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lässt, dann durchläufst du den Kreis gerade gegen den Uhrzeigersinn, also genauso wie du es haben willst.
Du musst aber aufpassen wenn du substituierst gilt:
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz}= \integral_{a}^{b}{f(z(t))*z'(t) dt}
[/mm]
Wenn du das Integral dann normal ausrechnest, erhälst du deine Lösung.
Viel Spaß beim Rechnen
Tausi
|
|
|
| |
|
Danke, das hat mir sehr geholfen um den Weg zu verstehen.
Ich hatte da leider in der Aufgabenstellung einen Fehler gemacht, es sollte
|z-2i|=2 heißen
Aber dann heißt doch dann die parametrisierte kurve
z(t)=2i+2*exp(i*t)
Ich habe jetzt versucht, das Integral auszurechnen, komme aber noch nicht auf das richtige Ergebnis.
Mein Weg bis jetzt:
[mm] \integral_{|z-2i|=2}^{}{ \bruch{1}{z^2+4} dz}= \integral_{|z-2i|=2}^{}{ \bruch{1}{(z-2i)*(z+2i)} dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{ \bruch{2i*exp(it)}{(2i+2*exp(i*t)-2i)*(2i+2*exp(i*t)+2i)}dt}= \integral_{0}^{2 \pi}{ \bruch{i}{4i+2exp(it)} dt}
[/mm]
An der Stelle hänge ich zur Zeit, denn ich weiß, dass die Lösung [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] lautet.
Wie mache ich jetzt weiter?
Vielen Dank schon mal für die Bemühungen!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 03.08.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
Wenn du u=exp(i*t) substituierst und dann partialbruchzerlegst, kommst du genau auf die [mm] \pi/2!
[/mm]
Tausi
|
|
|
| |
|
Sorry, sorry, sorry!!
Ich hab leider immer noch eine Frage, steh heute ganz schön auf dem Schlauch.
Wie kann ich denn
[mm] \bruch{i}{4i+2u} [/mm] partialbruchzerlegen?
Dazu müßte doch unten ein Produkt stehen, oder nicht?
Danke für die Geduld!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 03.08.2006 | | Autor: | tausi |
Hallo!
Du musst aufpassen, wenn du u=exp(it) substituierst!
Du musst
[mm] \bruch{du}{dt}=i*exp(i*t)=i*u
[/mm]
damit
[mm] dt=\bruch{1}{u*i}du
[/mm]
Wenn du das einsetzt, kürzt sich das i weg und den Rest musst du dann partialbruchzerlegen!
Tausi
|
|
|
|
