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Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Mi 30.07.2008
Autor: Surfer

Hallo, stecke gerade an folgender Kurvenintegralaufgabe:

Gegeben Sei die Funktion
f: [mm] \IR^{2} [/mm] \ {(2,0)} [mm] \to \IR: (x_{1},x_{2})\mapsto \bruch{x_{1}}{(x_{1}-2)^{2} + x_{2}^{2}} [/mm]

Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um (2,0) mit radius 2. berechnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{}^{}_{K}{f(s) ds} [/mm]

Jetzt kann ich doch das eigentlich mit reelen Werten machen oder über Polarkoordinaten oder? Was ist der bessere Weg?

lg Surfer

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Mi 30.07.2008
Autor: Somebody


> Hallo, stecke gerade an folgender Kurvenintegralaufgabe:
>  
> Gegeben Sei die Funktion
>  f: [mm]\IR^{2}[/mm] \ {(2,0)} [mm]\to \IR: (x_{1},x_{2})\mapsto \bruch{x_{1}}{(x_{1}-2)^{2} + x_{2}^{2}}[/mm]
>  
> Weiter sei K die obere Hälfte eines Kreises um (2,0) mit
> radius 2. berechnen Sie das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{}^{}_{K}{f(s) ds}[/mm]
>  
> Jetzt kann ich doch das eigentlich mit reelen Werten machen
> oder über Polarkoordinaten oder?

Reell bleibts in jedem Fall.

> Was ist der bessere Weg?

Keine Ahnung, aber in Polarkoordinaten geht es jedenfalls sehr gut. Sei etwa [mm] $x_1=2\cos(\varphi)+2, x_2 [/mm] = [mm] 2\sin(\varphi)$, $\varphi=0\ldots \pi$, [/mm] dann ist das Linienelement $ds = [mm] 2d\varphi$ [/mm] und daher das gesuchte Integral:

[mm]\integral_{}^{}_{K}{f(s) ds}=\integral_0^\pi \frac{2\cos(\varphi)+2}{(2\cos\varphi)^2+(2\sin\varphi)^2}\;2\,d\varphi=\integral_0^\pi\left(\cos(\varphi)+1\right)\; d\varphi=\ldots[/mm]


Bezug
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