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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 So 08.11.2009 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Kurvenintegral für das Vektorfeld [mm] \vec{A}(\vec{r})=\vec{\omega}\times\vec{r}, \vec{\omega}=\omega*\vec{e_{3}} [/mm] entlang zwei verschiedener Kurven (C1 und C2) zwischen den Punkten [mm] \vec{r_{a}}=(R,0,0) [/mm] und [mm] \vec{r_{b}}=(-R,0,\pi)
[/mm]
C1: [mm] {r_{1}(t)}=(R*cos(t),R*sin(t),t)
[/mm]
C2 sei die gerade Verbindung zwischen [mm] \vec{r_{a}} [/mm] und [mm] \vec{r_{b}}
[/mm]
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So.. :)
Zuerst habe ich erstmal das Vektorprodukt ausgerechnet, dabei habe ich dann für [mm] \vec{\omega}\times\vec{r} [/mm] heraus :
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \omega}\times\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] \vektor{-\omega*y \\ \omega*x \\ 0}
[/mm]
Die Ableitung von [mm] {r_{1}(t)} [/mm] ist
(-R*sin(t),R*cos(t),1)
Ich setze meine Werte von C1 in A ein und erhalte:
[mm] (-\omega*R*sin(t), \omega*R*cos(t),0)
[/mm]
Nun bilde ich das Skalarprodukt der beiden und erhalte:
[mm] R^2*\omega*sin^2(t)+ R^2*\omega*cos^2(t)=R^2*\omega
[/mm]
Davon bilde ich nun letztlich das Integral über den Grenzen [mm] t_{a} [/mm] =0 und [mm] t_{b}=\pi [/mm] und erhalte erhalte dann [mm] R^2*\omega*\pi
[/mm]
Ist das Ergebnis korrekt?
Möchte den zweiten Teil erst nach der Rückfrage besprechen
Bedanke mich schonmal für eure Hilfe :)
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Hallo,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ich konnte keinen Fehler entdecken!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 08.11.2009 | | Autor: | flare |
Bei C2 hab ich das Gefühl, dass was falsch ist?
Ich muss ja C2 irgendwie in Abhängigkeit von t ausdrücken...
hätte von [mm] \overrightarrow{r_{a}r_{b}} [/mm] (-2R,0,/pi)
Nun habe ich rumprobiert und für r(t) raus:
[mm] (R-\bruch{2Rt}{\pi},0,t)
[/mm]
leite ich das nun ab erhalte ich:
[mm] (-\bruch{2R}{\pi},0,1)
[/mm]
C2 in A:
(0, /omega* [mm] (R-\bruch{2Rt}{\pi}),0) [/mm] - (Anm.: warum wird das so hässlich dargestellt?)
Damit erhalte ich als Skalarprodukt 0 und dann fürs Integral [mm] \pi.
[/mm]
Stimmt das?
Kann ich meine Gerade Verbindung so wählen?
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Eine Gerade zwischen zwei Punkte P,Q parametrisiert man so:
[mm] r(t)=\vec{p}+t*(\vec{q}-\vec{p})
[/mm]
Dabei ist dann [mm] $t\in [/mm] [0,1]$
Gruß Patrick
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 So 08.11.2009 | | Autor: | flare |
Dann hätte ich für das Skalarprodukt immernoch 0.
Aber nun fürs Integral 1 heraus?
Warum hast du die Grenzen verändert?
Liegt es daran, dass wir vorher Winkelfunktionen hatten?
@leduart
Ich habe die Grenzen immer so gewählt, dass ich von [mm] r_{a} [/mm] auf [mm] r_{b} [/mm] komme, bei C1 war das eben 0 bis [mm] \pi [/mm] und bei der Geraden, hängt es nun ab, ob ich meine Form nehme oder die allgemeine, da ich für das Skalarprodukt immer 0 herausbekomme?
Mein A wird zu [mm] (0,\omega*R-2Rt\omega,0) [/mm] bzw [mm] (0,\omega(R-\bruch{2Rt}{\pi}),0)
[/mm]
Die Ableitung der Geraden lautet [mm] (-2R,0,\pi) [/mm] bzw [mm] (-\bruch{2R}{\pi},0,1)
[/mm]
In beiden Fällen ist das Skalarprodukt 0, aber die Grenzen für das Integral sind verschieden und somit das Ergebnis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 10.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Gerade ist richtig. (aber auf ner Strecke lässt man meist t von 0 bis 1 laufen also einfach [mm] R+t*\vec{AB}
[/mm]
warun kriegst du wenn du über 0 integrierst [mm] \pi [/mm] raus?
(schlechte Darstellung wei du statt backslash / verwendest)
Gruss leduart .
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