Kurvenintegral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Es sei [mm] y:[0,2\pi] \to [/mm] y(t) mit y(t) = [mm] e^{it} [/mm] gegeben. Dann soll das folgende Kurvenintegral bestimmt werden: [mm] \integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz}. [/mm] Es ist [mm] \integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz} [/mm] = [mm] i*\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{sin(e^{it})}{e^{it}} e^{it} dt} [/mm] =i*
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{ sin(cos(t) +isin(t)) dt} [/mm] . Doch wie erhält man nun eine Stammfunktion dieser Verknüpfung?
Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo kroneckerdelta,
> Hallo,
> Es sei [mm]y:[0,2\pi] \to[/mm] y(t) mit y(t) = [mm]e^{it}[/mm] gegeben. Dann
> soll das folgende Kurvenintegral bestimmt werden:
> [mm]\integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz}.[/mm] Es ist
> [mm]\integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz}[/mm] =
> [mm]i*\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{sin(e^{it})}{e^{it}} e^{it} dt}[/mm]
> =i*
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ sin(cos(t) +isin(t)) dt}[/mm] . Doch
> wie erhält man nun eine Stammfunktion dieser Verknüpfung?
Schreibe die Funktion [mm]\sin\left(e^{i*t}\right)[/mm] in eine Taylorreihe um.
Verwende dazu die Taylorreihe des Sinus.
> Tobias
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 15.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Es sei [mm]y:[0,2\pi] \to[/mm] y(t) mit y(t) = [mm]e^{it}[/mm] gegeben.
>
> Dann
> soll das folgende Kurvenintegral bestimmt werden:
> [mm]\integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz}.[/mm] Es ist
> [mm]\integral_{y}^{}{ \bruch{sin(z)}{z} dz}[/mm] =
> [mm]i*\integral_{0}^{2\pi}{ \bruch{sin(e^{it})}{e^{it}} e^{it} dt}[/mm]
> =i*
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{ sin(cos(t) +isin(t)) dt}[/mm] . Doch
> wie erhält man nun eine Stammfunktion dieser Verknüpfung?
> Tobias
Die Funktion [mm] \bruch{sin(z)}{z} [/mm] hat in z=0 eine hebbare Singularität. Sie kann also auf [mm] \IC [/mm] zu einer holomorphen Funktion foretgesetzt werden. Wie fällt dann das integral aus ? Tipp: Cauchyscher Integralsatz.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Ist der Weg eigentlich abgeschlossen? Falls es sich um eine holomorphe Funktion auf C handelt und der Weg abgeschlossen ist, gilt folglich für das Integral
[mm] \integral_{y}^{}{f(z) dz} [/mm] = 0.
Nun muss f also nur noch holomorph sein, um obigen Satz anwenden zu können?
tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist der Weg eigentlich abgeschlossen?
Du meinst sicher "geschlossen". Ja, das ist der Weg.
> Falls es sich um eine
> holomorphe Funktion auf C handelt und der Weg abgeschlossen
> ist, gilt folglich für das Integral
>
> [mm]\integral_{y}^{}{f(z) dz}[/mm] = 0.
>
> Nun muss f also nur noch holomorph sein, um obigen Satz
> anwenden zu können?
Ja, setze
[mm] f(z):=\bruch{sin(z)}{z} [/mm] für z [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=1.
Mit der Potenzreihenentwicklung des Sinus sieht man, dass obiges f auf [mm] \IC [/mm] holomorph ist.
FRED
> tobias
|
|
|
|
