Kurvenintegral Integrationsber < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass das Vektorfeld [mm] v=\vektor{2xy+1 \\ x^{2}} [/mm] konservativ ist und berechnen Sie seine Potentialfunktion.
Berechnen sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{C} [/mm] v dx, wobei C den Kreisbogen [mm] x^{2}+y^{2}=4 [/mm] , 0 [mm] \le [/mm] x , 0 [mm] \le [/mm] y mit Anfangspunkt (2,0) und Endpunkt (0,2) bezeichne, direkt und mit Hilfe der Potentialfunktion. |
Zu zeigen dass es konservativ ist, war kein Problem. Die Potentialfunktion dann auszurechnen auch nicht. Diese Lautet: [mm] P(x)=x^{2}y+x
[/mm]
Das Integral mit Hilfe der Potentialfunktion auszurechnen hat mir auch keine Schwierigkeiten bereitet.
Doch wie rechne ich es direkt aus?
Mit dem Satz: (Existenz und rückführung auf gewöhnliche Riemannintegrale)
[mm] \integral_{C} [/mm] v dx = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] [v(x(t)) * x(t) [mm] \bruch{d}{dt}] [/mm] dt
Wie komme ich nun auf die Integrationsgrenzen?
Ich kann ja einen Kreis in Parameterdarstellung umschreiben:
x=r cos [mm] \alpha
[/mm]
y=r sin [mm] \alpha
[/mm]
Der radius ist hier ja 2 also
x=2 cos [mm] \alpha
[/mm]
y=2 sin [mm] \alpha
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{a}^{b} \vektor{8sin\alpha cos\alpha +1\\ 4 cos^{2}\alpha} [/mm] * [mm] \vektor{-2sin\alpha\\ 2cos\alpha} d\alpha
[/mm]
Doch woher weiss ich jetzt wie die Integrationsgrenzen sind?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch längs des Kreisbogens integrieren von (2,0) bis (0,2).
Mal Dir mal ein Bild, dann siest Du: es ist das Stück des Kreisbogens, welches im 1. Quadranten verläuft, also der Viertelkreisbogen von (2,0) bis (0,2).
Ein Viertel von 2pi ist 0,5pi
Sind dir die Integrationsgrenzen nun klar?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | tobe |
Wenn ich also einen ganzen kreis integrieren möchte, hätte ich das [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] . Da ich hier aber nur den Viertelkreis integrieren möchte, habe ich von 0 bis 0.5 [mm] \pi [/mm] ?
in der lösung berechnen sie das integral komischerweise bis [mm] 2\pi.
[/mm]
kann aber auch sein dass es falsch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du schreibst doch , dass x und y größer gleich 0 sein sollen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 27.05.2008 | | Autor: | tobe |
Dass x und y größe 0 sind ist ja mit allen Werten zwischen und einschließlich 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gegeben.
Sind das also auch meine Integrationsgrenzen?
Was hätte das dann vorher mit der rechnung zu tun, dass 1/4 * 2pi =0.5 pi ist?
Bitte schreibe doch etwas ausführlicher :D
Lg Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Der obige Viertelkreisbogen liegt im 1. Quadranten, für einen Punkt (x,y) dieses Bogens gilt also: x, y größer oder gleich 0.
Deine Integrationsgrenzen sin 0 und 0,5pi.
FRED
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