Kurvenintegral Vektorfeld < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mi 11.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
Ich habe mal eine Frage. Es geht um die folgende Aufgabe:
Kontruiere ein Vektorfeld [mm] \vec{F}: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \integral_{\vec{x}}\vec{F}\vec{ds}=\pi, [/mm] wobei [mm] \vec{x} [/mm] die Gerade von (0,0) nach (1,1) ist.
Entscheidend ist ja hierfür, dass mein Kurvenintegral [mm] \pi [/mm] ergibt. Ich habe nun ein wenig rumprobiert und komme aber noch nicht so recht zu einer vernünftigen Lösung.
Gibt es nun eventuell einen Trick, mit dem ich das ganze von hinten aufarbeiten kann ???
Ich hatte an folgendes gedacht:
[mm] \integral_0^{\pi}1dt=\pi
[/mm]
Damit weiß ich ja schonma wie mein Integral aussehen muss.
Andernfalls wäre das ja eine Intervallgrenze von 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \pi [/mm] und in meinem Fall muss ja, wegen der Aufgabenstellung 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 oder ???
Irgendwie weiß ich grad nicht so ganz weiter und hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoss geben...
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Nimm [mm] \vec{x(t)}=(t,t)^T [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mi 11.01.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo und Danke...
Ich habe nun folgendes gemacht:
ich wähle das Vektorfeld [mm] \vec{F}=\vektor{\bruch{\pi}{2} \\ \bruch{\pi}{2}}
[/mm]
ich wähle deine parametrisierung mit [mm] \vec{x}(t)=\vektor{t \\ t} [/mm] und erhalte somit die Ableitung [mm] \vec{x}'(t)=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und zwar für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
Es ergibt sich weiterhin [mm] \vec{F}(t,t)=\vektor{\bruch{\pi}{2} \\ \bruch{\pi}{2}}
[/mm]
und somit das Kurvenintegral [mm] \integral_0^1{ \left\langle \vektor{\bruch{\pi}{2} \\ \bruch{\pi}{2}},\vektor{1 \\ 1} \right\rangle}dt=\integral_0^{1}{\bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2}}dt=t\bruch{\pi}{2}+t\bruch{\pi}{2} [/mm] und in den Grenzen von 0 bis 1 ergibt das ja [mm] \pi
[/mm]
Darf ich denn [mm] \vec{F}=\vektor{\bruch{\pi}{2} \\ \bruch{\pi}{2}} [/mm] überhaupt durch [mm] \vec{x}(t)=\vektor{1 \\ 1} [/mm] parametrisieren?
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Passt alles
FRED
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