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| Aufgabe | Bestimme die Werte, die das Integral
$ [mm] \int_C \frac{z^2}{(z-1)^3} [/mm] + [mm] \dfrac{z^2}{(z-2)^2} [/mm] + [mm] \dfrac{z^3}{(z-3)} [/mm] dz $
annimmet, wenn $ C $ alle geschlossenen Kurven aus $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{1,2,3\} [/mm] $ durchläuft. |
Hi
Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
Was genau bedeutet: 'wenn $ C $ alle geschlossenen Kurven aus $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{1,2,3\} [/mm] $ durchläuft' ?
Welche Kurven muss ich denn betrachten? Ich meine
Die Kreise um 1,2 und 3 mit jeweils den Radien: $ r < 1 $, $ r < 2$ , $ r < 3 $ und $ r > 3 $
Oder liege ich da falsch?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Werte, die das Integral
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> [mm]\int_C \frac{z^2}{(z-1)^3} + \dfrac{z^2}{(z-2)^2} + \dfrac{z^3}{(z-3)} dz[/mm]
> annimmet, wenn [mm]C[/mm] alle geschlossenen Kurven aus [mm]\mathbb{C} \setminus \{1,2,3\}[/mm]
> durchläuft.
>
> Hi
>
> Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz.
> Was genau bedeutet: 'wenn [mm]C[/mm] alle geschlossenen Kurven aus
> [mm]\mathbb{C} \setminus \{1,2,3\}[/mm] durchläuft' ?
>
> Welche Kurven muss ich denn betrachten? Ich meine
> Die Kreise um 1,2 und 3 mit jeweils den Radien: [mm]r < 1 [/mm], [mm]r < 2[/mm]
> , [mm]r < 3[/mm] und [mm]r > 3[/mm]
>
> Oder liege ich da falsch?
ja, Ist C eine geschlossene Kurve , die in [mm] \IC \setminus \{1,2,3\} [/mm] verläuft,
so sei I (C) obiges Integral und ich nenne eine solche Kurve Fred - Kurve
Bestimmen sollst Du:
{ I(C): C ist eine Fred- Kurve }
fred
I
>
>
> lg
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aber davon gibt es doch unendlich viele oder nicht?
z.B. $ [mm] \gamma_1(t) [/mm] = 1 + [mm] \dfrac{1}{2}e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi] [/mm] $
oder $ [mm] \gamma_2(t) [/mm] = 10+ [mm] e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi] [/mm] $.
Eine Kurve die nicht in $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm] $ liegt wäre z.B.
[mm] $\gamma_3(t) [/mm] = 1 + [mm] 2e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm] $
Also muss ich doch irgendwelche Fallunterscheidungen machen, wenn Polstellen im Inneren des Kreises liegen oder ausserhalb um dann die cauchysche Integralformel zu benutzen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> aber davon gibt es doch unendlich viele oder nicht?
Ja
>
> z.B. [mm]\gamma_1(t) = 1 + \dfrac{1}{2}e^{it}, t \in [0, 2\pi][/mm]
Ja
>
> oder [mm]\gamma_2(t) = 10+ e^{it}, t \in [0, 2 \pi] [/mm].
Ja
>
> Eine Kurve die nicht in [mm]\mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}[/mm]
> liegt wäre z.B.
> [mm]\gamma_3(t) = 1 + 2e^{it}, t \in [0,2 \pi][/mm]
Ja
>
> Also muss ich doch irgendwelche Fallunterscheidungen
> machen, wenn Polstellen im Inneren des Kreises liegen oder
> ausserhalb um dann die cauchysche Integralformel zu
> benutzen?
..... oder den Residuensatz....
FRED
>
>
> lg
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Den hatten wir noch nicht, aber ich werde ihn mir trotzdem mal anschauen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Den hatten wir noch nicht, aber ich werde ihn mir trotzdem
> mal anschauen.
Es geht auch ohne den Residuensatz
FRED
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Kannst du mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Kannst du mir einen Tip geben, wie ich anfangen soll?
https://www.uni-due.de/~hn213me/sk/knoopa/p13.pdf
Satz 13.12
FRED
>
>
> lg
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ok ich bekomme 0 heraus, stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> ok ich bekomme 0 heraus, stimmt das?
Nein.
Zeig Deine Rechnungen !
FRED
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Ok ich hab nochmal gerechnet und jetzt eine Fallunterscheidung gemacht:
1. Fall: $ 1,2,3 [mm] \notin [/mm] Int(C) $
Sei $ U := [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}$, [/mm] dann ist $ f: U [mm] \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ mit $ f(z) = [mm] \frac{z^2}{(z-1)^3} [/mm] + [mm] \dfrac{z^2}{(z-2)^2} [/mm] + [mm] \dfrac{z^3}{(z-3)} [/mm] $ holomorph.
Ausserdem ist C ein nullhomologer Zyklus in $ [mm] \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm] $, also ist das obige Integral = 0.
2. Fall: $ 1,2,3 [mm] \in [/mm] Int(C) $
Sei $ f,g: [mm] \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} [/mm] $ mit $f(z) := [mm] z^2, [/mm] g(z) := [mm] z^3 [/mm] $.
$ C $ ist ein nullhomologer Zyklus in $ [mm] \mathbb{C} [/mm] $ und dann gilt:
obiges Integral = $ [mm] \int_C \frac{f(z)}{(z-1)^3} [/mm] dz + [mm] \int_C \frac{f(z)}{(z-2)^2} [/mm] dz + [mm] \int_C \frac{g(z)}{(z-3)} [/mm] dz = [mm] \frac{2i \pi}{2!}f''(1)*n(C,1) [/mm] + [mm] \frac{2i \pi}{1!}f'(2)*n(C,2) [/mm] + [mm] \frac{2i \pi}{0!}g(3)*n(C,3) [/mm] $
das kann man noch leicht vereinfachen, aber die Umlaufzahlen kenne ich ja nicht, das sind irgendwelche Zahlen aus $ [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich hab nochmal gerechnet und jetzt eine
> Fallunterscheidung gemacht:
>
> 1. Fall: [mm]1,2,3 \notin Int(C)[/mm]
> Sei [mm]U := \mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \}[/mm],
> dann ist [mm]f: U \rightarrow \mathbb{C}[/mm] mit [mm]f(z) = \frac{z^2}{(z-1)^3} + \dfrac{z^2}{(z-2)^2} + \dfrac{z^3}{(z-3)}[/mm]
> holomorph.
> Ausserdem ist C ein nullhomologer Zyklus in [mm]\mathbb{C} \setminus \{ 1,2,3 \} [/mm],
> also ist das obige Integral = 0.
Das stimmt.
>
> 2. Fall: [mm]1,2,3 \in Int(C)[/mm]
> Sei [mm]f,g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> mit [mm]f(z) := z^2, g(z) := z^3 [/mm].
> [mm]C[/mm] ist ein nullhomologer
> Zyklus in [mm]\mathbb{C}[/mm] und dann gilt:
>
> obiges Integral = [mm]\int_C \frac{f(z)}{(z-1)^3} dz + \int_C \frac{f(z)}{(z-2)^2} dz + \int_C \frac{g(z)}{(z-3)} dz = \frac{2i \pi}{2!}f''(1)*n(C,1) + \frac{2i \pi}{1!}f'(2)*n(C,2) + \frac{2i \pi}{0!}g(3)*n(C,3)[/mm]
>
> das kann man noch leicht vereinfachen, aber die
> Umlaufzahlen kenne ich ja nicht, das sind irgendwelche
> Zahlen aus [mm]\mathbb{Z}[/mm] ?
Ja
Es fahlen noch Fälle !
FRED
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Also die Fälle wenn 1 oder 2 oder 3 im Inneren des Zyklus ist. Und wenn 2 und 3 aber 1 nicht usw...?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 20.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Also die Fälle wenn 1 oder 2 oder 3 im Inneren des Zyklus
> ist. Und wenn 2 und 3 aber 1 nicht usw...?
Ja
FRED
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