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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral berechnen
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Kurvenintegral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Mi 12.06.2019
Autor: Markusss

Aufgabe
Berechnen Sie jeweils für die folgenden Fälle die Kurvenintegrale [mm] $\int_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} [/mm] s$ direkt und au-
Berdem unter Verwendung einer Stammfunktion falls [mm] $\vec{v}$ [/mm] ein Potenzialfeld ist. In diesem Fall
vergleichen Sie beide Ergebnisse.

[mm] $\vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}{y} \\ {x-y}\end{array}\right), \quad \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right)$ [/mm] für $0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \leq [/mm] 1$

Guten Morgen,
ich sitze gerade etwas fragend vor dieser Aufgabe, denn ich glaube ich mache hier "Mist", könnte mir Jemand helfen?

Ich fange einmal an:

a) Zuerst prüfen ich ob [mm] $\ve{v}$ [/mm] ein Potenzial hat, ist dies nicht der Fall, wir es kompliziert, bzw ich wüsste dann erst einmal nicht weiter :) .

Wir leiten also beide Komponenten ab, die erste nach y und die zweite nach x und erhalten den Vektor [mm] $(1,1)^T$ [/mm] ich würde sagen, das eine Symmetrie vorliegt? und somit existiert ein Potenzial.

Nun ist es noch interessant ob, die Kurve auf der wir integrieren geschlossen  oder nicht. Da wir zwischen 0 und 1 integrieren würde ich behaupten, dass dies nicht der Fall ist, denn setzt man dies nacheinander in [mm] $\vec{x}$ [/mm] ein, kommen unterschiedliche Werte raus?


Nun berechne ich zuerst mit der direkten Methode:
Also [mm] $$\int_{\vec{x}}\left\langle\vec{v}, \vec{x}_{x}\right\rangle dx=\frac{1}{20}$$. [/mm]

Nun über das Potenzial. Da wir wissen, das ein Potenzial existiert, aber die Geschlossenheit nicht vorliegt folgt die Berechnung über die Formel
[mm] $$\int_{\vec{x}} \vec{v} [/mm] dx = v( [mm] \vec{x}(1))-v(\vec{x}(0)) [/mm] = [mm] (1,0)^T -(0,0)^T [/mm] = [mm] (1,0)^T [/mm]  $$


Könnte dies so stimmen?

Ich habe das Gefühl, dass das hier alles keinen Sinn macht:(

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 12.06.2019
Autor: fred97


> Berechnen Sie jeweils für die folgenden Fälle die
> Kurvenintegrale [mm]\int_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} s[/mm]
> direkt und au-
>  Berdem unter Verwendung einer Stammfunktion falls [mm]\vec{v}[/mm]
> ein Potenzialfeld ist. In diesem Fall
>  vergleichen Sie beide Ergebnisse.
>  
> [mm]\vec{v}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}{y} \\ {x-y}\end{array}\right), \quad \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{t} \\ {t^{2}}\end{array}\right)[/mm]
> für [mm]0 \leq t \leq 1[/mm]
>  Guten Morgen,
>   ich sitze gerade etwas fragend vor dieser Aufgabe, denn
> ich glaube ich mache hier "Mist", könnte mir Jemand
> helfen?
>  
> Ich fange einmal an:
>  
> a) Zuerst prüfen ich ob [mm]\ve{v}[/mm] ein Potenzial hat, ist dies
> nicht der Fall, wir es kompliziert, bzw ich wüsste dann
> erst einmal nicht weiter :) .
>  
> Wir leiten also beide Komponenten ab, die erste nach y und
> die zweite nach x und erhalten den Vektor [mm](1,1)^T[/mm] ich
> würde sagen, das eine Symmetrie vorliegt? und somit
> existiert ein Potenzial.

Ja, so ist es  [mm]\vec{v}[/mm]  besitzt eine Stammfunktion.


>  
> Nun ist es noch interessant ob, die Kurve auf der wir
> integrieren geschlossen  oder nicht. Da wir zwischen 0 und
> 1 integrieren würde ich behaupten, dass dies nicht der
> Fall ist, denn setzt man dies nacheinander in [mm]\vec{x}[/mm] ein,
> kommen unterschiedliche Werte raus?

Die Kurve ist nicht geschlossen, denn [mm]\vec{x}(1)=(1,1)^T \ne (0,0)^T=\vec{x}(0)[/mm] .


>  
>
> Nun berechne ich zuerst mit der direkten Methode:
>  Also [mm]\int_{\vec{x}}\left\langle\vec{v}, \vec{x}_{x}\right\rangle dx=\frac{1}{20}[/mm].

Also das ist alles sehr merkwürdig ! Schon bei den Bezeichnungen gehts drunter und drüber !

Es ist $ [mm] \int_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} [/mm] s = [mm] \int_0^1 \vec{v}(\vec{x}(t)) \cdot \vec{x'}(t)$, [/mm]

wobei [mm] \cdot [/mm] das Skalarprodukt bezeichne.

1/20 is jedenfalls falsch ! Da Du keine Rechnung mitgeliefert hast, kann ich Dir auch nicht sagen, was Du falsch gemacht hast.

Es ist  $ [mm] \int_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} [/mm] s = 1/2.$

>  
> Nun über das Potenzial. Da wir wissen, das ein Potenzial
> existiert, aber die Geschlossenheit nicht vorliegt folgt
> die Berechnung über die Formel
>  [mm]\int_{\vec{x}} \vec{v} dx = v( \vec{x}(1))-v(\vec{x}(0)) = (1,0)^T -(0,0)^T = (1,0)^T [/mm]
>  
>
> Könnte dies so stimmen?

Mit Verlaub, aber das ist völliger Quark ! Wenn Du das Integral über ein Potenzial berechnen willst, so musst Du doch ein solches verwenden !!! Du redest aber nur vom Potenzial, benutzt aber keines. Fällt Dir dabei nicht auf, dass das in die Hose gehen muss ?


Mach nun folgendes: bestimme ein Potenzial f von v. Dann lautet die Formel richtig so:

$ [mm] \int_{\vec{x}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}} [/mm] s=f( [mm] \vec{x}(1))-f(\vec{x}(0)) [/mm] $.


>  
> Ich habe das Gefühl, dass das hier alles keinen Sinn
> macht:(
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Mi 12.06.2019
Autor: Markusss

Hallo, mit 1/20  hatte ich mich nur verschrieben:)

Ich habe nun das Potenzial berechnen und komme auf 1/2, also auf denselben Wert, ich danke für die Hilfe

Bezug
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