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Forum "Integration" - Kurvenintegral einer Funktion
Kurvenintegral einer Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kurvenintegral einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 So 01.02.2009
Autor: hackbert-celine

Aufgabe
Gegeben ist die Kurve $C:[0,1] [mm] \to \IR^2: [/mm] t [mm] \to \vektor{t^2 \\ t-4}$. [/mm]

1.) Berechnen Sie die Ableitung der Kurve an der Stelle $t$.
2.) Berechnen Sie für [mm] $f:\IR^2 \to \IR: [/mm] (u,v) [mm] \to u-v^2+16$ [/mm] folgendes Kurvenintegral:
[mm] \integral_{ C}^{}{f(s)ds} [/mm]

Zu 1.
Die Ableitung der Kurve hab ich berechnet zu $C'(t) = [mm] \vektor{2t \\t}$ [/mm]
Das stimmt auch mit der Musterlösung der Aufgabe überein.



Zu 2.
Das Kurvenintegral hab ich mittels [mm] $\integral_{0}^{1}{f(C(t))*C'(t)dt}$ [/mm] berechnet. Mit eingesetzten Werten wurde aus dem Integral [mm] $\integral_{0}^{1}{8t*\vektor{2t\\t}dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{16t^2+8t dt} [/mm] = [mm] \bruch{28}{3}$ [/mm]

Die Musterlösung gibt mir aber einen Wert für das Kurvenintegral mit [mm] $\bruch{2}{3}(5\wurzel{5}-1)$ [/mm] an.

Ich hab aber ehrlich gesagt keinen blassen Schimmer wie man auf dieses Ergebnis kommt.



Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein und bedanke mich schon mal für eure Hilfe.

Grüße hackbert
        
Bezug
Kurvenintegral einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 So 01.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Stephan,

> Gegeben ist die Kurve [mm]C:[0,1] \to \IR^2: t \to \vektor{t^2 \\ t-4}[/mm].
>  
> 1.) Berechnen Sie die Ableitung der Kurve an der Stelle [mm]t[/mm].
>  2.) Berechnen Sie für [mm]f:\IR^2 \to \IR: (u,v) \to u-v^2+16[/mm]
> folgendes Kurvenintegral:
>  [mm]\integral_{ C}^{}{f(s)ds}[/mm]
>  Zu 1.
>  Die Ableitung der Kurve hab ich berechnet zu $C'(t) = [mm] \vektor{2t \\\red{1}}$ [/mm]

vertippt ;-)

>  
> Das stimmt auch mit der Musterlösung der Aufgabe überein.
>  
>
>
> Zu 2.
>  Das Kurvenintegral hab ich mittels
> [mm] $\integral_{0}^{1}{f(C(t))*C'(t)dt}$ [/mm] berechnet. [notok]

> Mit eingesetzten Werten wurde aus dem Integral
> [mm] $\integral_{0}^{1}{8t*\vektor{2t\\t}dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{16t^2+8t dt}$ [/mm] [notok]

Du hast zum einen das Integral falsch angesetzt, zum anderen kommt doch ein Vektor heraus, wenn du eine reelle Zahl mit nem Vektor multiplizierst, bei dir kommt eine reelle Zahl raus, kann also nicht sein.

> $= [mm] \bruch{28}{3}$ [/mm]
>  
> Die Musterlösung gibt mir aber einen Wert für das
> Kurvenintegral mit [mm]\bruch{2}{3}(5\wurzel{5}-1)[/mm] an. [ok]
>  
> Ich hab aber ehrlich gesagt keinen blassen Schimmer wie man
> auf dieses Ergebnis kommt.



Du musst die (euklid.) Norm der Ablöeitung von C nehmen

ALso [mm] $\int\limits_{0}^{1}{f(C(t))\cdot{}\red{||}C'(t)\red{||_2} \ dt}$ [/mm]

[mm] $=\int\limits_{0}^{1}{8t\cdot{}\sqrt{(2t)^2+1} \ dt}$ [/mm]

Rechne das mal aus und du kommst genau auf die Musterlösung ;-)

>  
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein und bedanke mich
> schon mal für eure Hilfe.
>  
> Grüße hackbert


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 So 01.02.2009
Autor: hackbert-celine

Hey.. Vielen Dank für deine schnelle Antwort, hat jetzt alles wunderbar geklappt.

Dann folgt natürlich nur die Frage wann ich die Formel die ich aufgeschrieben habe, anwende. Verwendet man die wenn man eine vektorwertige Funktion hat? In diesem Fall hat sie bei mir eigentlich immer "funktioniert".

Vielen Dank für eure Antworten und liebe Grüße
hackbert


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 01.02.2009
Autor: XPatrickX


> Hey.. Vielen Dank für deine schnelle Antwort, hat jetzt
> alles wunderbar geklappt.
>  
> Dann folgt natürlich nur die Frage wann ich die Formel die
> ich aufgeschrieben habe, anwende. Verwendet man die wenn
> man eine vektorwertige Funktion hat? In diesem Fall hat sie
> bei mir eigentlich immer "funktioniert".

Genau!!

In deinem Beispiel hingegen hattest du eine skalare Funktion und musst daher die Norm der Ableitung der Parametrisierung nehmen, sodass du nur noch eine einfache Multiplikation hast.


>  
> Vielen Dank für eure Antworten und liebe Grüße
>  hackbert
>  
>  

Gruß Patrick
Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 So 01.02.2009
Autor: hackbert-celine

Super! Danke, hast mir sehr geholfen.

Vielen Dank nochmal
Gruß
hackbert
Bezug
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