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Kurvenintegral und Vektorfeld: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Fr 14.09.2018
Autor: StudMWT

Aufgabe
Gegeben ist folgende Kurve:
S:={ [mm] (x_{1},x_{2}, x_{3}) \in \IR^{3}: x_{1}=r*sin(t), x_{2}=r*cos(t), x_{3}=t, [/mm] t [mm] \in ]0;\pi[ [/mm] , r [mm] \in [/mm] ]1;2[ }.

Das Vektorfeld ist definiert mit: V(x) = [mm] \vektor{x_{1}*x_{3} \\ x_{2}*x_{3} \\ 0}. [/mm]

Zu berechnen ist:

[mm] \integral_S \nabla [/mm] x V dS

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich weiß leider nicht, wie ich damit umgehen soll. Der Term in der Klammer wäre ja rot V (das Kreuzprodukt aus Nabla und dem Vektorfeld, das habe ich auch berechnet. Aber wie geht es dann weiter?

Ich muss ja ein Doppelintegral erhalten, um die Grenzen für r und t einsetzen zu können. Ich weiß nicht, in welchem Themengebiet ich mich da wieder finde. Fluss durch eine Fläche?
Die Kurve ist ja in Polarkoordinaten, entsprechend der Kreisformel dachte ich.

Mehr Input von meiner Seite kann ich leider nicht geben.

Schon mal im Voraus danke für Ratschläge, Tipps oder zu verwendende Formeln/Integralsätze.

        
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Fr 14.09.2018
Autor: leduart

Hallo
ich nene rotV=W du willst also Wds integrieren,  und zwar das Skalarprodukt der beide längs der Kurve, dabei ist ds=s'*dt. im W musst du für di [mm] x_i [/mm] die Kurve einsetzen und dann das Integral von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] über das Skalarprodukt.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 Fr 14.09.2018
Autor: Chris84

Hallo Leduart
Ich kann natuerlich irren, aber (obgleich in der Fragestellung "Kurvenintegral" auftritt) handelt es sich hier noch um ein zweidimensionales Oberflaechenintegral (S wie surface). S beschreibt doch gerade eine Oberflaeche, bei der $r$ und $t$ die unabhaengigen Variablen sind, oder nicht?

Das Ganze sieht uebrigens wie eine Uebungsaufgabe zum Satz von Stokes aus (wo man auch das Oberflaechenintegral einer Rotation berechnet).

Gruss,
Chris

Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 So 16.09.2018
Autor: leduart

Hallo Chris
S(t) ist eindeutig eine Kurve, keine Flache, es ist eine Schraubenlinie! und es wird nicht rot integriert sondern [mm] rot\times [/mm] V. also ist schon meine Anleitung richtig.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 So 16.09.2018
Autor: StudMWT

Also ich habe den Satz von Stokes mit dem Oberflächenintegral S und [mm] \vec{n} [/mm] berechnet. Ist ja im Integral dann der Vektor (rot V) sklar multipliziert mit dem Normalenvektor. Ausmultipliziert ergibt es das Doppelintegral mit gegebenen Grenzen über r drdt. Stammfunktion gebildet, eingesetzt und als Ergebnis kam raus:

[mm] 2*\pi [/mm] (wie in der Lösung vorgegeben, da war nur eben kein Rechenweg dabei).

Soll ich die Lösung als Anhang mal hochladen? Evtl. gibt es ja auch einen alternativen Rechenweg

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 So 16.09.2018
Autor: Chris84


> Also ich habe den Satz von Stokes mit dem
> Oberflächenintegral S und [mm]\vec{n}[/mm] berechnet. Ist ja im
> Integral dann der Vektor (rot V) sklar multipliziert mit
> dem Normalenvektor. Ausmultipliziert ergibt es das
> Doppelintegral mit gegebenen Grenzen über r drdt.
> Stammfunktion gebildet, eingesetzt und als Ergebnis kam
> raus:
>  
> [mm]2*\pi[/mm] (wie in der Lösung vorgegeben, da war nur eben kein
> Rechenweg dabei).

Schoen, dass es funktioniert hat :)

>  
> Soll ich die Lösung als Anhang mal hochladen? Evtl. gibt
> es ja auch einen alternativen Rechenweg

Das waere klasse. Dann koennen wir auch sehen, ob es ein Kurvenintegral oder ein Oberflaechenintegral war ;)

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:37 Mo 17.09.2018
Autor: leduart

Hallo chris
Du hattest bzw. hast recht, ich hatte r für fest gehalten, dass r sus [1,2] gilt war bei mit nicht auf dem Schirm. also hattest du mit Fläche  natürlich recht. sorry
Gruß leduart

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Bezug
Kurvenintegral und Vektorfeld: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:26 So 16.09.2018
Autor: Chris84


> Hallo Chris

Hallo Leduart

>  S(t) ist eindeutig eine Kurve, keine Flache, es ist eine

Aehm... genau hier habe ich meine Probleme. S haengt doch von zwei Parametern ab, naemlich $r$ und $t$ und muss damit eine Flaeche sein???

> Schraubenlinie! und es wird nicht rot integriert sondern
> [mm]rot\times[/mm] V. also ist schon meine Anleitung richtig.

Dass ueber rot V integriert wird, bestreitet ja keiner. Kann man ja auch bei Oberflaechen. Anscheinend passt die Berechnung eines Oberflaechenintegrals auch mit der Musterloesung.

>  Gruß leduart

Gruss,
Chris

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