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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{a}(x)=ln(x)+ln(a-x) [/mm] ,a>0
a) Wie lautet die maximale Definitionsmege?
b)Untersuchen Sie f auf Extrema und Wendepunkte.
c)Untersuchen Sie die Funktionen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] auf Nullstellen.
d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm] f_{a} [/mm] erfüllen die Lösungsformel [mm] x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}
[/mm]
Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine Nullstelle/zwei Nullstellen?
Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?
e)Welche Scharkurve hat ein Extremum mit der Ordinate y=1?
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Hallo^^
ich mache grad diese Aufgabe und wollte mal fragen,ob das richtig ist,was ich berechnet habe.Und bei manchen Teilaufgaben komme ich nicht mehr weiter,hoffe ihr könnt mir helfen.
a) Definitionsmenge: a>x>0.Stimmt das so?
b) [mm] f_{a}'(x)=\bruch{1}{x}-\bruch{1}{a-x}
[/mm]
[mm] f_{a}''(x)=-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{(a-x)^{2}}
[/mm]
[mm] H(\bruch{a}{2}/2*ln(\bruch{a}{2}))
[/mm]
Es gibt keine Wendepunkte.
c) ln(x)+ln(a-x)=0
[mm] e^{a-x}=-e^{x}
[/mm]
[mm] -e^{a-2x}=1
[/mm]
[mm] x=\bruch{a}{2} [/mm]
[mm] f_{2}(0)=1 [/mm] , [mm] f_{3}(0)=1.5
[/mm]
d) Hier stoße ich auf ein Problem.Den Anfang dieser Lösungsformel hab ich ja,nämlich [mm] \bruch{a}{2},aber [/mm] ich versteh nicht wie man auf den zweiten Ausdruck dieser Formel kommt ???
e) Ich hab einfach [mm] 2*ln(\bruch{a}{2})=1 [/mm] nach a aufgelöst,stimmt das so?
Für a hab ich 2e raus.
vielen dank
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
vielen dank,
> > c) ln(x)+ln(a-x)=0
> > [mm]e^{a-x}=-e^{x}[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Beachte:
> [mm]\begin{matrix}\ln(a-x)&=&-\ln(x) \\
e^{\ln(a-x)} &=& e^{-\ln x} \\
a-x &=& x^{-1} \\
\end{matrix}[/mm]
>
>
Ich habs nochmal gerechnet und komme auf [mm] x=\bruch{1}{a-2},stimmts [/mm] jetzt?
> > [mm]f_{2}(0)=1[/mm] , [mm]f_{3}(0)=1.5[/mm]
>
> Das ist ganz seltsam. Wie kannst Du x=0 einsetzen, wenn's
> doch gar nicht zur Definitionsmenge gehört. Und dann auch
> noch ein Ergebnis erhalten?
Ich weiß nicht,in der Aufgabe steht,dass man die Funktionen [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] auf Nullstellen untersuchen soll,heißt das,die haben gar keine Nullstellen oder wie?
Aber die hab ich doch ausgerechnet.
>
> > d) Hier stoße ich auf ein Problem.Den Anfang dieser
> > Lösungsformel hab ich ja,nämlich [mm]\bruch{a}{2},aber[/mm] ich
> > versteh nicht wie man auf den zweiten Ausdruck dieser
> > Formel kommt ???
>
> Folgefehler von oben.
Ok,jeztz hab ich zwar ein anderes Ergebnis,aber ich versteh immer noch nicht wie man auf diese Formel kommt,habt ihr da vielleicht nen kleinen Ansatz für mich?
> > e) Ich hab einfach [mm]2*ln(\bruch{a}{2})=1[/mm] nach a
> > aufgelöst,stimmt das so?
>
> Ansatz richtig, aber ...
>
> > Für a hab ich 2e raus.
>
> ... dann verrechnet.
Habs auch nochmal gemacht und komme auf [mm] a=2e^{0.5}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Nun weiter
> mit  p/q-Formel ...
>
>
vielen dank Loddar.
Mit der pq-Formel komme ich auf [mm] x=\bruch{a}{2}\pm\wurzel{\bruch{a^{2}}{4}-1}.
[/mm]
Das ist aber nicht der Ausdruck,der in d) steht,hat man dort mit irgendetwas erweitert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Mandy,
du brauchst den Term unter der Wurzel nur auf den gleichen Nenner bringen. Dann noch:
[mm] \wurzel{\bruch{a}{b}}=\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}
[/mm]
anwenden
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank für eure Hilfe =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
hallo,bins nochmal
ich hab noch eine Frage zur d)
> d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm]f_{a}[/mm] erfüllen die
> Lösungsformel
> [mm]x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}[/mm]
> Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine
> Nullstelle/zwei Nullstellen?
> Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?
Die Lösungsformel hab ich ja jetzt gezeigt,sind meine folgenden Antworten auch richtig ?
keine Nullstelle:-2<a<2
eine [mm] Nullstelle:a=\pm2
[/mm]
Bei zwei Nullstellen wusste ich nicht,wie ich das rauskriegen soll,könnt ihr mir da helfen?
Und ich hab raus,dass die Scharkurve mit [mm] a=\wurzel{10} [/mm] eine Nullstelle bei x=2 hab,aber das stimmt nicht.
Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \bruch{a}{2}+\wurzel{\bruch{a^{2}-4}{2}}=2
[/mm]
[mm] a+\wurzel{a^{2}-4}=4
[/mm]
[mm] \wurzel{a^{2}-4}=4-a
[/mm]
[mm] a^{2}-4=16-a^{2}
[/mm]
[mm] 2a^{2}=20
[/mm]
[mm] a=\wurzel{10}
[/mm]
Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
vielen dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> hallo,bins nochmal
>
> ich hab noch eine Frage zur d)
>
> > d)Zeigen Sie:Mögliche Nullstellen von [mm]f_{a}[/mm] erfüllen die
> > Lösungsformel
> > [mm]x_{1,2}=\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}[/mm]
> > Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen/eine
> > Nullstelle/zwei Nullstellen?
> > Welche Scharkurve hat eine ihrer Nullstellen bei x=2?
>
> Die Lösungsformel hab ich ja jetzt gezeigt,sind meine
> folgenden Antworten auch richtig ?
>
> keine Nullstelle:-2<a<2
> eine [mm]Nullstelle:a=\pm2[/mm]
> Bei zwei Nullstellen wusste ich nicht,wie ich das
> rauskriegen soll,könnt ihr mir da helfen?
Bei zwei verschiedenen Nullstellen muß der Ausdruck unter der Wurzel
größer als Null sein.
>
> Und ich hab raus,dass die Scharkurve mit [mm]a=\wurzel{10}[/mm] eine
> Nullstelle bei x=2 hab,aber das stimmt nicht.
Die angeblich doppelte Nullstelle stimmt auch nicht.
Diese ist nur möglich für [mm]a=\pm2[/mm].
Demnach lauten die doppelten Nullstellen: [mm]x=\pm1[/mm]
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{a}{2}+\wurzel{\bruch{a^{2}-4}{2}}=2[/mm]
>
> [mm]a+\wurzel{a^{2}-4}=4[/mm]
>
> [mm]\wurzel{a^{2}-4}=4-a[/mm]
>
> [mm]a^{2}-4=16-a^{2}[/mm]
>
> [mm]2a^{2}=20[/mm]
>
> [mm]a=\wurzel{10}[/mm]
>
> Weiß jemand wo mein Fehler liegt?
>
> vielen dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank,
Ich versteh noch nicht so ganz,wie du drauf kommst, dass für [mm] a=\pm2 [/mm] eine Nullstelle 2 ist.?
Wie hast du das denn berechnet?
lg
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Hallo Mandy_90,
> ok,vielen dank,
> Ich versteh noch nicht so ganz,wie du drauf kommst, dass
> für [mm]a=\pm2[/mm] eine Nullstelle 2 ist.?
> Wie hast du das denn berechnet?
Ich habe geschrieben, daß x=2 keine doppelte Nullstelle ist.
Die Nullstelle ist nur für [mm]a=\pm 2[/mm] doppelt.
Das hast Du im übrigen hier selbst festgestellt.
Demnach ergibt sich die Nullstelle zu [mm]x=\bruch{\pm 2}{2}=\pm 1[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ja,ok das ist mir jetzt klar,aber das ist doch in der Aufgabe gefragt,die Aufgabenstellung kann doch nicht falsch sein oder?
lg
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Hallo Mandy_90,
> ja,ok das ist mir jetzt klar,aber das ist doch in der
> Aufgabe gefragt,die Aufgabenstellung kann doch nicht falsch
> sein oder?
Sorry, ich hatte übersehen, daß noch festzustellen ist, welche
Scharkurve einen Nullstelle bei x=2 hat.
Natürlich mußt Du dann lösen
[mm]\bruch{a}{2}\pm\bruch{\wurzel{a^{2}-4}}{2}=2[/mm]
[mm]\gdw a \pm \wurzel{a^{2}-4}=4[/mm]
[mm]\gdw \pm \wurzel{a^{2}-4}=4-a[/mm]
[mm]\Rightarrow a^{2}-4=\left(4-a\right)^{2}[/mm]
So, jetzt das ausmultiplizieren und auflösen.
>
> lg
Gruß
MathePower
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
