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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 10.03.2006 | | Autor: | puma |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=-x³+3x-2.
a) Zeigen Sie, dass x=1 eine Nullstelle von f ist. Bestimmen Sie die restlichen Nullstellen mittels Polynomdivision.
b) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema und Wendepunkte.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen im Wendepunkt von f. Unter welchem Winkel schneidet die Wendenormale die y-Achse? |
Huhu, das obere sind nun meine HA's. Ich hab keine Ahnung wie man da bei den jeweiligen Aufgaben drangehen soll.
Nur bei b) weiß ich es.
Kann mir jemand zu a) und c) einen ersten Schritt sagen, wie man anfängt ?
Vielen Dank, puma.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo puma!
Aufgabe a
Wenn wir zeigen sollen, dass [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 1$ eine Nullstelle sein soll, brauchen wir doch nur einsetzen in die Funktionsvorschrift. Da sollten wir dann erhalten [mm] $f(x_1) [/mm] \ = \ 0$ :
$f(1) \ = \ ...$
Um nun die weiteren nullstellen herauszufinden, nehem wir eine  Polynomdivision vor:
[mm] $\left(-x^3+3x-2\right) [/mm] \ : \ (x-1) \ = \ ...$
Bei Aufgabe c sollten wir zunächst die Wendestelle [mm] $x_w$ [/mm] ermitteln. Und welche Steigung hat die Kurve an dieser Stelle?
Diese erhalten wir ja mit der Ableitung [mm] $f'(x_w)$ [/mm] .
Nun sollen wir eine Geradengleichung ermitteln, mit einem gegebenen Punkt sowie einer Steigung. Diese Steigung der Normalen (= Senkrechten) müssen wir uns ermitteln aus der Tangentensteigung.
Es gilt, wenn zwei Geraden senkreht aufeinander stehen:
[mm] $m_t*m_n [/mm] \ = \ -1$ [mm] $\m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_t} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{f'(x_w)}$
[/mm]
Und für die Geradengleichung verwenden wir die Punkt-Steigungs-Form:
[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_w}{x-x_w}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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