Kurze Frage zum Spatprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
dass das Volumen eines Spates [mm] |\vec{a}\times\vec{b}|*|\vec{c}|*cos(\alpha(\vec{a}\times\vec{b},\vec{c})) [/mm] sein muss, habe ich verstanden. Mir wird jedoch einfach nicht klar, warum man das gleich [mm] (\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} [/mm] setzen kann, verstehe ich jedoch nicht.
Wir hatten mal notiert, dass [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=|\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] ist, jedoch ist doch dort der Sinus statt dem Kosinus enthalten... Ist das egal?
Danke
Oli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
im Anhang findest du das Bild eines Spates:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dort habe ich einmal links ein rechtwinkliges Dreieck hinzugefügt.
Dort sieht man, dass der Winkel alpha, welchen ich unten links angedeutet habe, mit den Längen h und [mm] |\vec{c}| [/mm] folgende Beziehung eingeht:
[mm] cos\alpha=h/|\vec{c}| [/mm] => [mm] h=|\vec{c}|*cos\alpha
[/mm]
Nun gut, das Volumen kannst du dann weiterhin umschreiben in
[mm] V=|\vec{a}x\vec{b}|*h [/mm] (welches der Flächeninhalt der Grundfläche ist, da es sich hier um ein Parallelogramm handelt multipliziert mit der Höhe).
Also steht dort:
[mm] V=|\vec{a}x\vec{b}|*|\vec{c}|*cos\alpha
[/mm]
Nun zum Skalarprodukt:
Das ist definiert als
[mm] \vec{d}*\vec{e}=|\vec{d}|*|\vec{e}|*cos [/mm] alpha
Wenn du das dann mit der Formel von oben vergleichst, sieht man eine Ähnlichkeit:
für d setzte ich nun einfach [mm] |\vec{a}x\vec{b}| [/mm] an, für e setzte ich den Vektor c an und somit weiß ich dann, dass
[mm] |\vec{a}x\vec{b} [/mm] * [mm] \vec{c}| [/mm] genau das selbe ist, wie die oben angegebene Formel.
Ich hoffe, du konntest diese Überlegung einigermaßen nachvollziehen.
Sláin,
Kroni
PS: Habe das Bild des Spates aus der Wikipedia gezogen.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Parallelflach.PNG
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
ja , so weit verstehe ich das...
Meine Probleme habe ich mit:
"Das ist definiert als
$ [mm] \vec{d}\cdot{}\vec{e}=|\vec{d}|\cdot{}|\vec{e}|\cdot{}cos(\alpha [/mm] )$"
Woher weiss man das? Wie kann man das herleiten? Davon hab ich noch nie was gehört... Einfach als gegeben annehmen, ohne groß drüber nachzudenken?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Ach, das war doch die Herleitung über den Kosinussatz, stimmt's?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, ich denke schon.
Aber die Herleitung müssen wir z.B. nicht können, das einzige was man wissen sollte, ist, dass es diese Beziehung gibt.
Ansonsten alles soweit geklärt?
Sláin,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Jap, sonst ist alles klar! Danke nochmal :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
> ja , so weit verstehe ich das...
>
> Meine Probleme habe ich mit:
>
> "Das ist definiert als
>
> [mm]\vec{d}\cdot{}\vec{e}=|\vec{d}|\cdot{}|\vec{e}|\cdot{}cos(\alpha )[/mm]"
>
> Woher weiss man das? Wie kann man das herleiten? Davon hab
> ich noch nie was gehört... Einfach als gegeben annehmen,
> ohne groß drüber nachzudenken?
>
wenn Du die Definition des Skalarproduktes zunächst als gegeben hinnimmst, brauchst Du nur die Definition auf das Vektorprodukt und den Vektor [mm] \vec{c} [/mm] anwenden, schon steht Deine Behauptung da.
Damit die Definition einsichtig wird, kannst Du im [mm] \IR^2 [/mm] zwei Vektoren der Länge 1 betrachten und die beiden Koordinaten vom eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] mit der x-Achse abhängig machen.
Wenn du beide Vektoren skalar miteinander multiplizierst und die Additionstheoreme für sin/cos anwendest, wird die geometrische Deutung des Skalarproduktes einsichtig.
LG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mo 12.03.2007 | | Autor: | oli_k |
Was mich besonders stört, ist, dass aus dem Betrag des Vektorproduktes im nächsten Schritt das Vektorprodukt wird und die Betragsstriche plötzlich wegfallen, genauso beim c...
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Nun, das ist einfach das Skalarprodukt!
[mm] $\vec [/mm] m [mm] *\vec [/mm] n= [mm] |\vec [/mm] m | [mm] *|\vec n|*\cos(\alpha(\vec [/mm] m [mm] ,\vec [/mm] n))$
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