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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Ist im topologischen Raum [mm] \IR^n [/mm] die Abgeschlossenheit einer Menge [mm] A\subset \IR^n [/mm] äquivalent zu ihrer Beschränktheit? |
Hey Leute,
wär klasse, wenn mir das jemand beantworten könnte. Also ich geh im Moment davon aus, dass die beiden Begriffe äquivalent sind, allerdings könnt ich jetzt auf die Schnelle auch keinen Beweis dafür liefern. Also vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist im topologischen Raum [mm]\IR^n[/mm] die Abgeschlossenheit einer
> Menge [mm]A\subset \IR^n[/mm] äquivalent zu ihrer Beschränktheit?
> Hey Leute,
>
> wär klasse, wenn mir das jemand beantworten könnte. Also
> ich geh im Moment davon aus, dass die beiden Begriffe
> äquivalent sind, allerdings könnt ich jetzt auf die
> Schnelle auch keinen Beweis dafür liefern.
Ich auch nicht, weils nicht stimmt.
Nimm mal eine offene Kugel im [mm] \IR^n, [/mm] die ist sicher beschränkt, abgeschlossen ist sie aber nicht.
Der ganze Raum [mm] \IR^n [/mm] ist abgeschlossen , aber alles andere als beschränkt
FRED
> Also vielen
> Dank schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay gut, das hab ich nicht bedacht. Danke schon mal dafür. Dann hätte ich aber noch ne Frage. Und zwar, wenn ich eine stetige Abbildung f zwischen zwei topologischen Räumen [mm] \IR^n [/mm] und [mm] \IR [/mm] hab, also f: [mm] \IR^n-->\IR. [/mm] Ist dann für eine abgeschlossene, beschränkte Menge [mm] A\subset \IR [/mm] auch [mm] f^{-1}(A) [/mm] abgeschlossen und beschränkt in [mm] \IR^n [/mm] oder kann ich aus der Stetigkeit nur die Abgeschlossenheit folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wann heißt denn eine Teilmenge eines topologischen Raumes beschränkt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Das wurde eben nicht definiert, aber da wir uns ja auch in einem metrische Raum befinden, würde ich sagen eine Menge A heißt beschränkt, wenn es ein R>0 gibt, sodass für alle [mm] x\in [/mm] A gilt: [mm] \|x\|\le [/mm] R
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das wurde eben nicht definiert, aber da wir uns ja auch in
> einem metrische Raum befinden
Warum sagst Du das nicht gleich ?
>, würde ich sagen eine Menge
> A heißt beschränkt, wenn es ein R>0 gibt, sodass für
> alle [mm]x\in[/mm] A gilt: [mm]\|x\|\le[/mm] R
Ja was jetzt ? normierter Raum oder doch "nur " metrisch ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Sorry hätte ich vielleicht gleich dazu sagen sollen. Also es handelt sich um den [mm] \IR^n [/mm] mit irgendeiner Norm [mm] \|.\|. [/mm] Ich hab das in obiger Frage auch korrigiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei Y ein normierter Raum , [mm] y_0 \in [/mm] Y und [mm] f:\IR^n [/mm] --> Y definiert durch
$f(x) = [mm] y_0$
[/mm]
f ist stetig
Sei A = { [mm] y_0 [/mm] }. Dann ist A beschränkt und abgeschlossen und [mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \IR^n$ [/mm] ist nicht beschränkt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also d.h. in [mm] f^{-1}(A) [/mm] sind alle x enthalten, die von f auf [mm] y_0 [/mm] abgebildet werden. Dann ist aber [mm] f^{-1}(A) [/mm] doch nichts anderes als die n-dimensionale Sphäre mit Radius [mm] y_0 [/mm] und die ist nicht beschränkt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also d.h. in [mm]f^{-1}(A)[/mm] sind alle x enthalten, die von f auf
> [mm]y_0[/mm] abgebildet werden.
Ja, und wegen $ f(x) = [mm] y_0 [/mm] $ für jedes x [mm] \in \IR^n, [/mm] ist [mm]f^{-1}(A)= \IR^n[/mm] !!!!
> Dann ist aber [mm]f^{-1}(A)[/mm] doch nichts
> anderes als die n-dimensionale Sphäre mit Radius [mm]y_0[/mm]
Unsinn ! Es ist doch [mm] y_0 \in [/mm] Y
FRED
> und
> die ist nicht beschränkt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay habs kapiert dank dir.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] f:\IR^n-->\IR, x=(x_1,...,x_n)\mapsto \|x\| [/mm] eigentlich ist, wobei [mm] \|.\| [/mm] irgendeine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] ist. |
So hier also die Aufagbe in vollem Umfang. Hätt ich wohl gleich so posten sollen. Egal hier also nun mein Ansatz:
Die lokale Kompaktheit von [mm] \IR^n [/mm] und [mm] \IR [/mm] muss ich noch zeigen, aber krieg ich denk ich hin. Sei nun [mm] A\subset \IR [/mm] kompakt. Nach Heine-Borel gilt damit, dass A auch abgeschlossen und beschränkt. Dann hab ich mir überlegt, dass die Urbilder von A nichts anderes als abgeschlossene n-dimensionale Kugeln oder n-dimensionale Sphären sind, woraus die Abgeschlossenheit sowie Beschränktheit von [mm] f^{-1}(A) [/mm] folgt. Wiederum mit Heine-Borel ist somit [mm] f^{-1}(A) [/mm] kompakt. Da Urbilder kompakter Mengen wieder kompakt sind, ist f demnach eigentlich. Insbesondere hab ich damit die Stetigkeit von f nachgewiesen. Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]f:\IR^n-->\IR, x=(x_1,...,x_n)\mapsto \|x\|[/mm]
> eigentlich ist, wobei [mm]\|.\|[/mm] irgendeine Norm auf [mm]\IR^n[/mm] ist.
> So hier also die Aufagbe in vollem Umfang. Hätt ich wohl
> gleich so posten sollen. Egal hier also nun mein Ansatz:
> Die lokale Kompaktheit von [mm]\IR^n[/mm] und [mm]\IR[/mm] muss ich noch
> zeigen, aber krieg ich denk ich hin. Sei nun [mm]A\subset \IR[/mm]
> kompakt. Nach Heine-Borel gilt damit, dass A auch
> abgeschlossen und beschränkt.
Okay.
> Dann hab ich mir überlegt,
> dass die Urbilder von A nichts anderes als abgeschlossene
> n-dimensionale Kugeln oder n-dimensionale Sphären sind,
> woraus die Abgeschlossenheit sowie Beschränktheit von
> [mm]f^{-1}(A)[/mm] folgt.
Nein. Es ist zwar [mm] $f^{-1}(\{r\})=\mathbb{B}_r(0)$ [/mm] abgeschlossen für jedes [mm] $r\in\IR$ [/mm] (beachte dass dies für $b<0$ die leere Menge ist!), aber
warum sollte jetzt deshalb, wenn $A$ unendlich ist, auch [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] abgeschlossen sein? Was du hier brauchst ist die Stetigkeit von $f$ (Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen), und die folgt aus der umgekehrten Dreiecksungleichung [mm] $|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|$, [/mm] die für jede Norm gilt!
Und dass [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] beschränkt ist folgt auch nicht einfach so, das musst du schon genauer begründen!
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay also die Stetgkeit ist mithilfe der Dreiecksungleichung klar (hab ganz vergessen, dass man hier ja das [mm] \epsilon-\delta-Kriterium [/mm] verwenden kann). Allerdings steh ich bei der Beschränktheit von [mm] f^{-1}(A) [/mm] immer noch auf dem Schlauch. Hättest da vielleicht noch an kleinen Tipp? Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja, wenn A beschränkt ist, z.B. durch $|x|<M$ für alle [mm] $x\in [/mm] A$, dann überleg mal scharf was eine Schranke für [mm] $f^{-1}(A)$ [/mm] sein könnte...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also ist [mm] f^{-1}(A) [/mm] beschränkt, da [mm] \|a\|
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also ist [mm]f^{-1}(A)[/mm] beschränkt, da [mm]\|a\|
> mit [mm]S:=f^{-1}(M).[/mm]
Das macht doch so überhaupt keinen Sinn. S ist, so wie du es definiert hast, eine Menge in [mm] $\IR^n$.
[/mm]
> Das reicht dann so? Und S ist ja dann
> nichts anderes als die n-Sphäre mit Radius [mm]\|M\|[/mm] richtig?
Richtig, also was soll dann [mm] $\|a\|
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay neuer Versuch. Es ist [mm] f^{-1}(A) [/mm] beschränkt, da [mm] \|a\|<\|S\| [/mm] für alle [mm] a\in f^{-1}(A) [/mm] mit [mm] S\in f^{-1}(M). [/mm] Das sieht zumindest mal besser aus. Stimmt es auch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Okay neuer Versuch. Es ist [mm]f^{-1}(A)[/mm] beschränkt, da
> [mm]\|a\|<\|S\|[/mm] für alle [mm]a\in f^{-1}(A)[/mm] mit [mm]S\in f^{-1}(M).[/mm]
> Das sieht zumindest mal besser aus. Stimmt es auch?
Das stimmt schon (ich hoffe mit [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] meinst du eigentlich [mm] $f^{-1}(\{M\})$), [/mm] aber die Begründung fehlt.
Warum ist jetzt [mm] $\|a\|
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Au man ich habs versucht, kriegs aber irgendwie nich gebacken. Kannst du mir sagen warum des so is?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Fr 13.11.2009 | | Autor: | pelzig |
[mm] $x\in f^{-1}(A)\Rightarrow \|x\|=f(x)\in A\Rightarrow \|x\|
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Fr 13.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja ich kann mich nur vielmals bedanken. Dank dir.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Frage habe ich weiter unten beantwortet
FRED
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