L2 Chauchyfolgen von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Do 03.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Betrachte $T_n = \summe_{k=1}^{n}{\eta_k*1/k}$, wobei $(\eta_k)$ eine Folge unabhängiger ZV mit $\IP(\eta_k=1)=\IP(\eta_k=-1)=1/2$ ist.
a) zeigen Sie, dass $(T_n) eine Cauchyfolge in $L^2$ ist.
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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es ist klar, dass $\eta_k$ keine Dichte bzgl. dem Lebesguemaß haben kann. Der Ansatz müsste doch dann sein:
$(||T_n-T_m||_2)^2=\integral_{\Omega}{|T_n-T_m|^2 d\IP}=\integral_{\Omega}{|\summe_{k=m+1}^{n}{\eta_k*1/k}|^2 \ \ d\IP}$.
wegen $\eta_k$ reellwertig gilt doch dann:
$(||T_n-T_m||_2)^2=1/k^2\integral_{\Omega}{\summe_{k_{m+1}+...+k_{n}=2}{\vektor{2 \\ k_{m+1}, \ ... \ ,k_{n}} \eta_{m+1}^{k__{m+1}}} \ ... \ \eta_{n}^{k__{n}}} \ \ d\IP}$
wow, also:
$(||T_n-T_m||_2)^2=1/k^2{\summe_{k_{m+1}+...+k_{n}=2}{\vektor{2 \\ k_{m+1}, \ ... \ ,k_{n}}\integral_{\Omega} \eta_{m+1}^{k__{m+1}}} \ ... \ \eta_{n}^{k__{n}}} \ \ d\IP}=1/k^2{\summe_{k_{m+1}+...+k_{n}=2}{\vektor{2 \\ k_{m+1}, \ ... \ ,k_{n}} \ E(\eta_{m+1}^{k__{m+1}}}) \ ... \ E \ (\eta_{n}^{k__{n}}}))$
da die $\eta_k$ unabhängig sind, jetzt fallen doch alle Mischterme aus der Summe, weil der Erwartungswert von $\eta_k$ doch $0$ ist, also müsste ich doch um die behauptung zu zeigen noch nachweisen, dass die zweiten Momente der $\eta_k$ gleichmäßig beschränkt sind - hier komme ich leider nicht weiter. Irgendwelche Tipps, oder bin ich ganz auf dem Holzweg?
Gruß Kevin
ps: irgendwie erinnern die $T_n$ (für $n$ gegen unendlich) ja ein bisschen an die alternierende Reihe $\summe_{k=1}^{\infty}{(-1)^k/k}$, kann man das irgendwo ausnutzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Fr 04.06.2010 | | Autor: | kevin314 |
Okay, da habe ich vor lauter Bäumen den Wald nicht gesehen: bei den quadratischen Termen ist der Erwartungswert nat.1, weil [mm] $\eta_k=1$ [/mm] f.s. daraus ergibt sich der Rest...
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Hi
Kennst du den zur L2 Konvergenz äquivalenten Konvergenzbegriff, der den EW benutzt...?
DAmit sollte es gehen .
Hoffe das hilft ein wenig
Gruß
PS: Wie du wohl selbst rausgefunden hast....
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