LGS-homogen, keine Nullzeilen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben in der Vorlesung gelernt, dass ein homogenes LGS ohne Nullzeilen als Lösung den Vektor (0,0,0) hat. Nun stoße ich auf eine Aufgabe über Eigenvektoren einer Matrix und ich verstehe leider nichts mehr. Also ich habe die Lösung dieser Aufgabe. Wenn man die Matrix auf Dreieckform bringt und einer der Eigenwerte einsetzt bekommt man das folgende homogene LGS:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Die Lösung dieses LGS sollte den normierten Vektor (in der Aufgabe wird explizit nach System otrhonormierter Eigenvektoren gefragt): [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] Wie ist das möglich?
Ich sehe in der dritten Zeile [mm] -1*x_{3}=0 [/mm] also [mm] x_{3}=0
[/mm]
Zweite Zeile: [mm] 1,5*x_{2}=0, [/mm] also [mm] x_{2}=0
[/mm]
erste Zeile: [mm] 1*x_{1}=0 [/mm] also ist auch [mm] x_{1}=0
[/mm]
Sind meine Überlegungen falsch? Gibt es besondere Gesetze für LGS in denen man nach Eigenvektoren sucht? Verändert etwas die Suche nach Orthonormierten System von Eigenvektoren? Zur Info das Erste Eigenvektor(entspricht erster Eigenwert) ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}. [/mm] Bei dem verstehe ich ganz klar wie er berechnet wird. Nur der zweite und der letzte ( [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}}\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] ) versteh ich nicht. Werden Sie irgendwie auf dem ersten Orthonormiert, oder ohne LGS ausgerechnet?
Danke
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> wir haben in der Vorlesung gelernt, dass ein homogenes LGS
> ohne Nullzeilen als Lösung den Vektor (0,0,0) hat.
Jedes homogene LGS hat den Nullvektor als Lösung !
> Nun
> stoße ich auf eine Aufgabe über Eigenvektoren einer
> Matrix und ich verstehe leider nichts mehr. Also ich habe
> die Lösung dieser Aufgabe. Wenn man die Matrix auf
> Dreieckform bringt und einer der Eigenwerte einsetzt
> bekommt man das folgende homogene LGS:
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
> Die
> Lösung dieses LGS sollte den normierten Vektor (in der
> Aufgabe wird explizit nach System otrhonormierter
> Eigenvektoren gefragt): [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Wie ist das möglich?
Das ist alles etwas undurchsichtig. Gib die komplette Aufgabenstellung an !
FRED
> Ich sehe in der dritten Zeile [mm]-1*x_{3}=0[/mm] also [mm]x_{3}=0[/mm]
> Zweite Zeile: [mm]1,5*x_{2}=0,[/mm] also [mm]x_{2}=0[/mm]
> erste Zeile: [mm]1*x_{1}=0[/mm] also ist auch [mm]x_{1}=0[/mm]
> Sind meine Überlegungen falsch? Gibt es besondere Gesetze
> für LGS in denen man nach Eigenvektoren sucht? Verändert
> etwas die Suche nach Orthonormierten System von
> Eigenvektoren? Zur Info das Erste Eigenvektor(entspricht
> erster Eigenwert) ist [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}.[/mm]
> Bei dem verstehe ich ganz klar wie er berechnet wird. Nur
> der zweite und der letzte ( [mm]\bruch{1}{\wurzel{6}}\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> ) versteh ich nicht. Werden Sie irgendwie auf dem ersten
> Orthonormiert, oder ohne LGS ausgerechnet?
> Danke
> Gruss
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Eigenwerte sowie ein System orthonormierter Eigenvektoren folgender Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 } [/mm] |
Lösung:
Charakteristische Gleichung der Matrix: [mm] \lambda(-\lambda^{2}+10\lambda-9)
[/mm]
Eigenwerte: [mm] \lambda_{1}=0, \lambda_{2}= [/mm] 1, [mm] \lambda_{3}=9
[/mm]
Eigenvektror für [mm] \lambda_{1}=0: [/mm]
1. Überführung der Matrix in Dreiecksform (2te Zeile -0,5x1te Zeile und 3te Zeile -3x2te Zeile -> "neue" Matrix. 3te Zeile der "neuen" Matrix +2x2te Zeile der "neuen" Matrix ergibt: [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
2. Der Nullvektor ist: [mm] \pmat{ -1 & -1 & 1 } [/mm] und normiert, so wie es in Aufgabe verlangt wird ist er [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\pmat{ -1 & -1 & 1 }
[/mm]
Jetzt kommt das was ich nicht verstehe:
Der normierte Eigenvektor zu Eigenwert [mm] \lambda_{2}= [/mm] 1 ist: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ -1 & 1 & 0 } [/mm]
Warum?
Ich denke so:
Wenn man in der Dreieckmatrix [mm] \lambda_{2}= [/mm] 1 einsetzt bekommt man:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Das ist ein homogenes LGS ohne Nullzeilen. Also soll die Lösung ein Nullvektor sein. Warum ist es aber [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 }?
[/mm]
Genauso wenig verstehe ich der Eigenvektor zu [mm] \lambda_{3}=9. [/mm] Dort bekomme ich wieder ein homogenes LGS ohne Nullzeile. Laut Lösung ist aber der normierte Eigenvektor: [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}}\pmat{ 1 & 1 & 2 } [/mm]
Danke,
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Eigenwerte sowie ein System
> orthonormierter Eigenvektoren folgender Matrix: [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 }[/mm]
>
> Lösung:
> Charakteristische Gleichung der Matrix:
> [mm]\lambda(-\lambda^{2}+10\lambda-9)[/mm]
> Eigenwerte: [mm]\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=[/mm] 1, [mm]\lambda_{3}=9[/mm]
hab' ich keine Lust nachzurechnen - glaube ich einfach mal.
> Eigenvektror für [mm]\lambda_{1}=0:[/mm]
> 1. Überführung der Matrix in Dreiecksform (2te Zeile
> -0,5x1te Zeile und 3te Zeile -3x2te Zeile -> "neue" Matrix.
> 3te Zeile der "neuen" Matrix +2x2te Zeile der "neuen"
> Matrix ergibt: [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> 2. Der Nullvektor ist: [mm]\pmat{ -1 & -1 & 1 }[/mm]
Soll ich mal Deine Aussage übersetzen: [mm] $\pmat{0 & 0 & 0}=\pmat{-1 & -1 & 1}\,.$ [/mm] Das wäre die Aussage: "Der Nullvektor ist..."
Sag' lieber mal das, was Du auch wirklich meinst. "Der Kern der Matrix
(Frage an Dich: Welche Matrix? Hier ist nicht die Ausgangsmatrix gemeint,
sondern?) ist folgender Unterraum..."
(Oder vielleicht meinst Du auch nur: Multipliziert man die Matrix [mm] $A-0*E\,$
[/mm]
mit dem Vektor..., dann erhält man den Nullvektor...)
Zumal der Unterraum auch keine eindeutige Basis hat. Und selbst, wenn
man einen Unterraum hat, der nur von einem Nichtnullvektor erzeugt wird:
Wenn man dann diesen normiert, könnte man ihn immer noch mit [mm] $-1\,$ [/mm] multiplizieren und der neue wäre dann auch normiert und "wäre dann eine
Basis..."
> und normiert,
> so wie es in Aufgabe verlangt wird ist er
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}\pmat{ -1 & -1 & 1 }[/mm]
> Jetzt kommt das was ich nicht verstehe:
> Der normierte Eigenvektor zu Eigenwert [mm]\lambda_{2}=[/mm] 1 ist:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ -1 & 1 & 0 }[/mm]
> Warum?
> Ich denke so:
> Wenn man in der Dreieckmatrix [mm]\lambda_{2}=[/mm] 1 einsetzt
> bekommt man:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
Na, Dein Fehler ist ganz einfach: Anstatt für
[mm] $$A=\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 6 }$$
[/mm]
nun [mm] $A-\lambda*E$ [/mm] auszurechnen, hast Du für
[mm] $$B:=\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1,5 & 1,5 \\ 0 & 0 & 0 }$$
[/mm]
nun
[mm] $$B-\lambda*E$$
[/mm]
ausgerechnet. [mm] $A\,$ [/mm] ist ja nicht "gleich [mm] $\hat{A}\,$ [/mm] (genauer [mm] $\widehat{\;\;(A-0*E)\;\;}\,$) [/mm] in
Stufengestalt".
("Die 'Hut-Matrix' ist die Matrix des Ergebnisses des
Gaußalgorithmusses!")
> Das ist
> ein homogenes LGS ohne Nullzeilen.
Das ist sowieso Unsinn - dass Du schreibst "Matrizen ohne Nullzeilen
haben nur den Nullvektor als Lösung".
(Allgemein gibt es "Rangaussagen".)
Erstens geht es hier nur um quadratische Matrizen, jedenfalls denke ich, dass ihr nur solche momentan behandelt.
Und zweitens meinst Du dann nicht, dass man
an der Matrix erkennen kann, ob sie nur den Nullvektor als Lösung hat,
wenn sie keine Nullzeile hat - denn das ist "Humbug", sondern Du meinst
vielmehr:
Wenn man eine quadratische Matrix hat, und wenn man diese Matrix dann
(etwa mittels des Gaußalgorithmus) in eine neue Matrix übergeführt hat,
die dann in Zeilenstufenform vorliegen möge, dann erkennt man AN DER
MATRIX IN ZEILENSTUFENFORM (das Ergebnis des Algorithmus!!) dann, ob
es mehr als nur die triviale Lösung für den Kern der Matrix gibt.
Das, was Du oben machst und beschreibst, läßt für mich momentan einfach
nur den Schluß zu, dass Dir an manchen Stellen gar nicht klar ist, worauf
sich die Aussagen beziehen. Das ist auch nicht zwangsweise ein Vorwurf
an Dich, zum einen ist man halt manchmal verwirrt, aber zum anderen
sind manche Professoren auch "ein wenig chaotisch im Aufschrieb".
Wichtig ist jedenfalls, dass Du Dir das ganze nun irgendwie klar machst!
Denn obiges ist elementares Wissen für das weitere Studium, das muss
eigentlich sitzen!
Gruß,
Marcel
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Mein Fehler war wirklich doof.. Dazu habe ich die Begriffe durcheinandergebracht.. Sorry. Lerne Tag und Nacht, schlafe wenig..Die klausur ist bald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hey,
> Mein Fehler war wirklich doof.. Dazu habe ich die Begriffe
> durcheinandergebracht.. Sorry. Lerne Tag und Nacht, schlafe
> wenig..Die klausur ist bald
na, so schlimm' war's nun nicht. Denk' dran, dass es beim Lernen auch
dazugehört, mal Pausen einzulegen - ein überlasteter Motor geht nämlich
irgendwann kaputt - oder nimm' als Beispiel ein Betriebssystem: Wenn
zu viele Prozesse laufen oder einer "zu extrem" läuft, hängt das System.
Viel Glück bei der Klausur - aber nicht verrückt machen, sondern lieber echt
mal an und an "das Zeugs sacken lassen". Und Probeklausuren oder alte
Klausuren sind meist eh hilfreich, um wenigstens zu wissen, bei welchem
Zeug man sich doch noch "ein wenig verrückt machen sollte".
Gruß,
Marcel
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