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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Do 06.05.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Seien [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] n X n Matrizen und [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] Vektoren aus [mm] \IR^{n}. [/mm] Es sei angenommen, dass die LGS
[mm] A_{1}x [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] A_{2}x [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
jeweils eine eindeutige Lösung haben. Hat dann auch das LGS
[mm] (A_{1}+A_{2})x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] eine eindeutige Lösung? |
[mm] A_{1}x [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
=> x = [mm] A_{1}^{-1}b_{1}
[/mm]
[mm] A_{2}x [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
=> x = [mm] A_{2}^{-1}b_{2}
[/mm]
[mm] A_{1} A_{1}^{-1}b_{1} [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}= b_{2}
[/mm]
ist dann auch:
[mm] (A_{1}+A_{2})x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}
[/mm]
[mm] A_{1} A_{1}^{-1}b_{1} [/mm] + [mm] A_{2} A_{2}^{-1}b_{2} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2}
[/mm]
Kann das stimmen?
Lg
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Hallo StevieG,
boah, mein Internet spinnt gerade ...
> Seien [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] n X n Matrizen und [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm]
> Vektoren aus [mm]\IR^{n}.[/mm] Es sei angenommen, dass die LGS
>
> [mm]A_{1}x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
> [mm]A_{2}x[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
>
> jeweils eine eindeutige Lösung haben. Hat dann auch das
> LGS
>
> [mm](A_{1}+A_{2})x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] eine eindeutige Lösung?
> [mm]A_{1}x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
>
> => x = [mm]A_{1}^{-1}b_{1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, warum gilt das?
Die Lösung eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus einer Lösung des inhomogenen LGS und der Lösungsgesamtheit des homogenen LGS. [mm] $\mathbb{L}_{inh}=v+\mathbb{L}_{hom}$
[/mm]
Wenn das inhomogene LGS also eideutig Lösbar sein soll, muss das zugeh. homogene LGS eind. lösbar sein, dh. der Nullvektor ist dessen einzige Lösung und in [mm] $A_ix=b_i$ [/mm] ist [mm] $A_i$ [/mm] invertierbar ...
>
> [mm]A_{2}x[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
>
> => x = [mm]A_{2}^{-1}b_{2}[/mm]
>
> [mm]A_{1} A_{1}^{-1}b_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
> [mm]A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}= b_{2}[/mm]
Bis hierhin ...
>
> ist dann auch:
>
>
> [mm](A_{1}+A_{2})x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm]
>
> [mm]A_{1} A_{1}^{-1}b_{1}[/mm] + [mm]A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] +
> [mm]b_{2}[/mm]
>
> Kann das stimmen?
Warum sollte das gelten.
Wenn das LGS [mm] $(A_1+A_2)x=b_1+b_2$ [/mm] eind. lösbar wäre, so wäre wieder der Nullvektor die einzige Lösung des zugeh. homogenen LGS [mm] $(A_1+A_2)x=0$ [/mm] und [mm] $(A_1+A_2)$ [/mm] wäre invetierbar.
Das folgt aber i.A. nicht aus der Invertierbarkeit der [mm] $A_i$
[/mm]
Suche ein einfaches Gegenbsp.
[mm] $\pmat{1&0\\0&1}x=\vektor{1\\1}$
[/mm]
[mm] $\pmat{0&1\\1&0}x=\vektor{1\\1}$
[/mm]
Beide sind eind. lösbar, wie siehts mit dem zu betrachtenden LGS aus?
Gruß
schachuzipus
>
> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Do 06.05.2010 | | Autor: | StevieG |
Matrix A und B addiert ergibt: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] Diese Matrix hat den Rang 1, somit gibt es viele Lösungen für das LGS. Die erweiterte KoeffizientenMatrix : würde nach Anwendung der Gauß-Algorithmus
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } \to \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Dann gäbe es kein eindeutiges Ergebnis mehr.
Richtig?
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Hallo nochmal,
> Matrix A und B addiert ergibt: [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> Diese Matrix hat den Rang 1, somit gibt es viele Lösungen
> für das LGS. Die erweiterte KoeffizientenMatrix : würde
> nach Anwendung der Gauß-Algorithmus
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } \to \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Dann gäbe es kein eindeutiges Ergebnis mehr.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So ist es!
>
> Richtig?
Ja!
LG
schachuzipus
>
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